磋磨之中品數(shù)學(xué)課堂的“教、學(xué)、問”
——“倍數(shù)與因數(shù)”一課的思考

楊星仙

（義烏市楊村小學(xué) 浙江義烏 322000）

一、以學(xué)定教

以學(xué)定教就是依據(jù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和學(xué)生的情況來確定教學(xué)的起點(diǎn)、方法和策略，有所教，有所不教。

1.教什么？

教什么？我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生提出：數(shù)學(xué)有三種形態(tài)，即原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)、教育形態(tài)，并曾多次強(qiáng)調(diào)：教師的根本任務(wù)在于把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。但是作為日常教學(xué)藍(lán)本的教材所承載的數(shù)學(xué)卻往往是一種介乎學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)之間的過渡形態(tài)，如何將它轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的教育形態(tài)則是我們關(guān)注的焦點(diǎn)。

在第一次磨課后，我發(fā)現(xiàn)了問題：通過前面的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)能夠通過乘法算式順利地說出誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)。緊接著，我安排了一道習(xí)題：說一說9和36，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)？誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)？學(xué)生回答：36是9和4的倍數(shù)，9和4是36的因數(shù)。學(xué)生的回答有點(diǎn)讓我驚訝，題目明明問的是9和36的關(guān)系，學(xué)生為什么非得要把4給扯上呢？我追問：36是9的倍數(shù)嗎？學(xué)生一致回答：不是，36是9和4的倍數(shù)。學(xué)生的回答不禁讓我深思：一方面，學(xué)生并沒有真正意義上理解倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系，只是在模仿定義而已；另一方面，北師大版的教材采用乘法算式來揭示“因數(shù)”與“倍數(shù)”的概念，有沒有可能對(duì)學(xué)生有負(fù)向遷移的作用？

我研究了一課研究團(tuán)隊(duì)潘可可老師的文章——“因數(shù)與倍數(shù)現(xiàn)行教材對(duì)比分析”。北師大版并沒有對(duì)“整除”下定義，而是通過情境中的一道乘法算式直接給出“倍數(shù)”和“因數(shù)”的概念。“9×4=36，36是9和4的倍數(shù)，9和4是36的因數(shù)。”人教版則利用除法算式給出概念的意義。“在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。”事實(shí)上，乘法算式與除法算式關(guān)系極其密切，乘除法本身就存在著互逆關(guān)系，兩者可以相互轉(zhuǎn)化。因此，借助整除來引出“倍數(shù)與因數(shù)”和“倍數(shù)”“因數(shù)”的產(chǎn)生背景是本質(zhì)上的統(tǒng)一而表達(dá)形式上的不同。無(wú)論用哪種形式，倍數(shù)與因數(shù)關(guān)系的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)可以整除。

經(jīng)過團(tuán)隊(duì)慎重討論，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，我決定選用人教版的教材。

2.怎么教？

（1）學(xué)習(xí)的內(nèi)容決定了教學(xué)方法

倍數(shù)與因數(shù)是一節(jié)概念課，目標(biāo)是聯(lián)系乘、除法認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)。北師大版教材在情境后直接出示了倍數(shù)和因數(shù)的定義。人教版教材在分類活動(dòng)后，也直接呈現(xiàn)了倍數(shù)和因數(shù)的定義。進(jìn)一步理解，這是一堂以學(xué)習(xí)陳述性知識(shí)為目標(biāo)的課。

心理學(xué)中，我們把知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)也叫描述性知識(shí)，它的心理過程主要是記憶。換句話說：倍數(shù)與因數(shù)就是陳述性知識(shí)，我們只需要記住就行了。從這個(gè)角度來看，這堂課是教師授課還是學(xué)生自學(xué)區(qū)別不大。

（2）學(xué)生的學(xué)情決定了教學(xué)方法

著名心理學(xué)家皮亞杰在其“發(fā)生認(rèn)識(shí)論”中明確指出：“10歲左右的兒童已基本具備了形象思維的能力，并成長(zhǎng)著邏輯思維的綠蔭。”四年級(jí)的孩子已然具備主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考的能力，這使學(xué)生自學(xué)形式的教學(xué)成為可能。

經(jīng)過幾次磨課，我最終決定用課堂自學(xué)的形式，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)來獲取知識(shí)。

二、以問促學(xué)

劉開于《孟涂文集》中云：“君子學(xué)必好問。問與學(xué)，相輔而行者也。非學(xué)無(wú)以致疑，非問無(wú)以廣識(shí)。”意思是問和學(xué)是相輔相成地進(jìn)行的，不學(xué)就不能提出疑難，不問就不能增加知識(shí)。

恰逢顧志能團(tuán)隊(duì)送教下我校，給我們帶來了“學(xué)生提問，以問引學(xué)”課堂模型和理念。于是，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，以問促學(xué)就具有了兩重意思：我們教師如何在問題的驅(qū)動(dòng)下有效促進(jìn)學(xué)生的深入思考呢？怎樣利用好學(xué)生的提問呢？我把這些先進(jìn)的教學(xué)理念融入了我的課堂中。

教學(xué)實(shí)錄片段1：

1.問題導(dǎo)入，激起求知欲

師：看到這個(gè)課題，你想知道什么？

生：什么是因數(shù)？什么是倍數(shù)？（板書：是什么 ？）

生：他們是什么關(guān)系？（板書：關(guān)系？）

生：什么時(shí)候會(huì)用到因數(shù)與倍數(shù)？（板書：應(yīng)用？）

師：同學(xué)們很會(huì)提問題，讓我們帶著這些問題來自學(xué)……

（設(shè)計(jì)意圖：①培養(yǎng)學(xué)生“問”的能力，發(fā)現(xiàn)問題，敢于提問。②讓學(xué)生自己來提問，然后研究自己提出的問題，“學(xué)為中心”“生本課堂”也才會(huì)成為現(xiàn)實(shí)。）

2.問題引領(lǐng)，自主探知

師：自學(xué)結(jié)束，接下去檢驗(yàn)一下大家的自學(xué)成果。看大屏幕：（出示PPT）你能給這些算式分分類嗎？思考一分鐘。

①24÷4=6 ②8÷3=2......2 ③30÷5=6 ④9÷5=1.8

⑤ 63÷9=7 ⑥20÷10=2 ⑦2÷0.5=4 ⑧21÷21=1

師：你來？

生：我覺得1，3，5，6，7，8歸為一類。

生：7不是的。

師：哦，原來是出現(xiàn)爭(zhēng)議了。沒關(guān)系，我們先把沒有爭(zhēng)議的定下來。

（PPT演示，留著在上面）

師：為什么我們把這些算式放在這一類？（指著第一類）

生：他們沒有余數(shù)。

師：很好，這也就是我們?yōu)槭裁窗?÷3=2......2放在第二類（板書：沒有余數(shù)）。

師：誰(shuí)還有補(bǔ)充？

生：整數(shù)的除法，所以被除數(shù)、除數(shù)都是整數(shù)。

生：商是整數(shù)也沒有余數(shù)。

師：說得好。不是所有的數(shù)都有倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系，他們是有條件的。只有當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù)，而且沒有余數(shù)時(shí)，這樣的算式才存在“倍數(shù)與因數(shù)”關(guān)系。

（板書：被除數(shù)、除數(shù)、商 整數(shù)）

師：那現(xiàn)在來回答2÷0.5=4屬于哪一類？

生：第二類。

師：這些算式有倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系，那么他們誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)呢？還是以24÷4=6為例。

生：24就是4的倍數(shù)，4就是24的因數(shù)。

生：24就是4和6的倍數(shù)，4和6是24的因數(shù)。

師：似乎有不同的意見。沒關(guān)系，先放一放，一會(huì)我們?cè)賮硌芯俊?/p>

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)倍數(shù)與因數(shù)有了基本的了解。

（設(shè)計(jì)意圖：用眼睛看得到的信息并不一定是正確的，用問題來促進(jìn)思考，通過思維加工后留下的，才是真正的知識(shí)。本環(huán)節(jié)我對(duì)教材上的分類材料進(jìn)行了加工，用問題促使學(xué)生明晰倍數(shù)與因數(shù)的概念：出示變式算式后，再讓同學(xué)們來分一分類。同樣也是分類，但是卻用了變式，這就增加了知識(shí)難度，實(shí)際上是考查學(xué)生對(duì)倍數(shù)因數(shù)的定義理解。通過反饋?zhàn)寣W(xué)生建立正確表象，體會(huì)倍數(shù)與因數(shù)的本質(zhì)涵義——整除，進(jìn)一步讓學(xué)生感知“倍數(shù)因數(shù)關(guān)系是有條件的，并不是所有的數(shù)都有這種關(guān)系”，最終突破了本堂課的難點(diǎn)。）

3.問題驅(qū)動(dòng)，交流明知

問題驅(qū)動(dòng)：辨一辨：下面的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由。

①因?yàn)?6÷4=9，所以36是倍數(shù)，4是因數(shù)。（）

②因?yàn)?×8=56，所以56是7和8的倍數(shù)，7和8是56的因數(shù)。（）

③因?yàn)? ÷7=0，所以0是7的倍數(shù)。

獨(dú)立完成后，

話題一：因?yàn)?6÷4=9，所以36是倍數(shù)，4是因數(shù)。（× ）

師：這句話正確嗎？

生：我覺得對(duì)，因?yàn)檫@個(gè)算式是整數(shù)除法算式。

生：1還沒講完，沒說36是誰(shuí)的倍數(shù)，4是誰(shuí)的因數(shù)。

生：這句話沒有明確36的倍數(shù)是誰(shuí)，那可能就是錯(cuò)的。

師：對(duì)的，這句話沒有說清楚誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)。那怎么改是正確的？

生：36是9的倍數(shù)，9是36的因數(shù)。

師：對(duì)，說關(guān)系的時(shí)候要清楚誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)。

話題二：因?yàn)?×8=56，所以56是7和8的倍數(shù)，7和8是56的因數(shù)。（√ ）

師：這句話究竟是對(duì)還是錯(cuò)？

生：錯(cuò)的，這里沒有除法算式。

生：對(duì)的。因?yàn)?×8=56，也可以寫成56÷7=8，所以56是7的倍數(shù)，7是56的因數(shù)。

師：還有補(bǔ)充嗎？

生：因?yàn)?×8=56，也可以寫成56÷8=7，所以56是8的倍數(shù)，8是56的因數(shù)。

師：所以56既是7的倍數(shù)也是8的倍數(shù)，7和8都是56的因數(shù)。

師：答錯(cuò)的同學(xué)，你同意他們的說法嗎？

生：同意。

師：（指著黑板上的算式）那么24÷6=4這個(gè)算式還可以寫成為24÷4=6。所以，……

生：24既是6的倍數(shù)還是4的倍數(shù)，6和4都是24的因數(shù)。

師：那么剛才那位同學(xué)的說法可以嗎？

生：一致同意，可以的。

（設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了判斷題，討論使人明辨，問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考。通過問題辨析，學(xué)生對(duì)倍數(shù)與因數(shù)更加明晰、更加深刻，為后面知識(shí)的應(yīng)用打好基礎(chǔ)。）

4.問題解決，鞏固新知

（1）接下來，我們來做一個(gè)互動(dòng)。老師出示兩個(gè)數(shù)字，請(qǐng)你快速說出誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)（出示卡片）。舉 例：64和8、28和7、1和19、33和3、9和9、18和4、8和a。挑戰(zhàn)自我：8和a。

（2）你能說出所有1，2，3，6之間的倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系嗎？

（3）研究學(xué)號(hào)之間的倍數(shù)因數(shù)關(guān)系，從而得到更多的規(guī)律。比如：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無(wú)限的，一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，2、3、5的倍數(shù)特征等。

（設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，層層遞進(jìn)，提升學(xué)生思維。①請(qǐng)學(xué)生說出a和8的因數(shù)倍數(shù)關(guān)系。當(dāng)問題出來的時(shí)候，立馬有學(xué)生質(zhì)疑當(dāng)a=3的時(shí)候，沒有倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系。于是，我順勢(shì)提出問題：那么a取哪些值的時(shí)候，a和8有倍數(shù)因數(shù)的關(guān)系呢？當(dāng)學(xué)生在實(shí)踐的時(shí)候發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，a可能是8的倍數(shù)，8也可能是a的倍數(shù)，由此分成兩類討論。這道題滲透了學(xué)生分類討論的思想，此外又為求倍數(shù)與因數(shù)埋下了伏筆。②找出1，2，3，6之間的所有的倍數(shù)因數(shù)關(guān)系，并通過這些關(guān)系發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。這道題培養(yǎng)學(xué)生有序、全面思考的能力，并為后面找因數(shù)、找倍數(shù)教學(xué)做了鋪墊。）

三、教學(xué)相長(zhǎng)

1.教學(xué)相長(zhǎng)就是要處理好教師和學(xué)生的關(guān)系

在校外借班上公開課，最怕就是學(xué)生冷場(chǎng)。課堂上教師和同學(xué)有距離感，那么這堂課就要打折扣了。反之，教師和學(xué)生有情感流動(dòng)，那么這堂課才富有生命力。那么，怎樣快速地與彼此陌生的孩子們建立起這種關(guān)系呢？由于這堂課內(nèi)容是數(shù)與數(shù)的關(guān)系，我便從人與人的關(guān)系入手。受楊凱明導(dǎo)師啟發(fā)，我設(shè)計(jì)了課前互動(dòng)環(huán)節(jié)：先由學(xué)生介紹自己，然后老師出示一家三口照片，猜一猜人物關(guān)系，最后引出本堂課的課題——數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。課后，同學(xué)們和我一一說再見。有個(gè)同學(xué)跑上來期待地問我：老師，你還會(huì)來給我們上課嗎？我欣慰答道：一切皆有可能，不是嗎？生活的小確幸不就是“再來一份”嗎？

2.教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的關(guān)系

新課標(biāo)指出：教師必須牢固確立以學(xué)生為中心的教育主體觀、以學(xué)生能力發(fā)展為重點(diǎn)的教育質(zhì)量觀、以完善學(xué)生人格為目標(biāo)的教育價(jià)值觀。我始終認(rèn)為教育的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)，更重要的是教學(xué)生自己學(xué)。我認(rèn)為本堂課的創(chuàng)新點(diǎn)是學(xué)生的自學(xué)。但是如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自學(xué)呢？尤其這是一堂公開課，班上學(xué)生的情況是未知的，而且學(xué)生自學(xué)的能力良莠不齊。基于以上考慮，我安排了自學(xué)攻略，現(xiàn)場(chǎng)對(duì)學(xué)生自學(xué)做指導(dǎo)——①閱讀材料后，嘗試?yán)斫饫锩娴膬?nèi)容；②用橫線劃出關(guān)鍵句和關(guān)鍵詞；用記號(hào)標(biāo)出不懂的和要提醒大家的地方。在平時(shí)授課時(shí)，我們也可以根據(jù)課的知識(shí)類型，處理好教與學(xué)的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性[1]。

四、磋磨之中悟真義

有匪君子，如切如磋，如琢如磨。怎么引入？怎么突破重難點(diǎn)？怎么設(shè)計(jì)練習(xí)？怎么進(jìn)行互動(dòng)銜接？怎么設(shè)計(jì)板書？……我修改了6次教案，磨了5個(gè)班的課。每次磨完一節(jié)課，我都能發(fā)現(xiàn)新問題；每解決一個(gè)問題，我對(duì)“教、學(xué)、問”三字的內(nèi)涵就多一分理解；每多一分理解，我更能體會(huì)到處理好“教、學(xué)、問”三者關(guān)系的重要性。期間，我們經(jīng)歷過失敗后的低落、困頓后的迷茫、嘗試后的驚喜、沖破后的自信、努力后的蛻變。是的，一堂課的滋味就是如此美妙！

教育亦如烹小鮮，同樣都是煎炒炸，廚藝顯高低。路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。