讓學生親歷“解決問題”策略的形成過程

許曉玲

學習數學不僅僅在于掌握幾個數學公式，解答幾道題目，更重要的是對現實問題的觀察、研究、分析，并用數學的知識和思維去探究解決問題的思想與方法，并最終形成問題解決的策略，達到把大腦變聰明之目的。因此，“解決問題”策略的教學，目的不僅在于找到問題的答案，更重要的在于找到解決這類問題的一般性方法，使學生真正掌握解決這類問題的有效策略，提升學生的綜合概括能力。學生“解決問題”策略的形成不能直接從外部輸入，只能在解決問題的過程中通過親歷體驗獲得。體驗是心理活動，是學生在親身經歷的過程中獲得的意識與感受。在數學教學中，讓學生親歷解決問題策略的形成過程，就會使學生在解決問題時產生對策略的需要，在探索過程中感悟解題策略，在反思過程中歸納解題策略，在應用中體會解題策略的實際價值，并學會“數學的思維”，把研究“解決問題的策略”的學習轉變為自覺追求的學習目標。本文以“面積”復習課的教學為例，對學生親歷“解決問題”策略的形成過程進行介紹分析。

一、激發學生的內需是策略教學的前提

建立在解決問題自覺需求基礎上的策略，對于學生來說才是刻骨銘心的。在開展六年級下冊“面積”復習一課之前，學生已經積累了一些“割補法”的經歷和體驗。那么，如何喚醒孩子已有的這些經驗，引發學生產生“割補法”解題的需要呢？在實際教學中， 我主要采取了以下幾方面的措施。

（一）溫故喚醒

在教學中，逐個向學生出示探求三角形面積的四個圖（下圖）。

師（出示圖1）：同學們一定記得三角面積公式吧。

生：

師：誰還記得這個公式是怎么得到的？

生：用兩個完全相等的三角形拼成一個等底等高的平行四邊形.

師（出示圖2）：平行四邊形面積公式是怎樣的？

生：

師：為什么是這樣的？

生：通過割補的辦法，割去平行四邊形右邊的直角三角形（如圖3），變為等面積的長方形（如圖4）。

（二）提煉策略

通過上面的師生對話，既讓學生復習了三角形、平行四邊形面積公式的探求過程，又引導學生提煉了相應的策略，即可以用“割補”的辦法，化不規則的圖形為規則圖形，從而達到求不規則圖形面積的目的。

（三）練一練，嘗試策略的作用

向學生出示圖5，引導學生回顧梯形面積公式的探究過程。

師：你能有幾種方法探求出梯形的面積公式？

生1：我可以把它補成長方形，然后，把兩個角上的三角形再拼成一個三角形（如圖6）。

生2：我可以把它分割成一個平行四邊形和一個三角形（如圖7或圖8）。

生3：我還可以用兩個完全相同的梯形拼成一個大平行四邊形（如圖9）。

生4：我還可以作梯形中位線，把上面的小梯形翻折到右下側，拼成一個大平行四邊形（如圖10）。

學生的積極發言，思維的閃光，正是策略的內需。通過復習回顧活動，讓學生明確了數學公式的重要性，但更重的是要讓他們知道公式是在怎樣的策略指導下推出的。此時，我抓住機會，趨熱打鐵，揭示課題：《平面圖形面積的求法》。

首先，向學生提出問題：我校要建一個運動館，各項布置要求如圖11所示，請按照各編號小圖的要求，求出相應的圖形面積。

這里揭示課題的用意是讓學生知道生活中的圖形并非全部都是規則的，從而促使學生在學習時要靈活機動，不能按部就班，死記硬背。

二、適時的技能點撥是策略形成的保障

要主動、有效地運用“割補”策略，必須要有相應的畫圖技能和一定的洞察能力。如果學生無法統觀全圖，也不會畫圖，那么絕不可能在解決問題時自覺運用“割補”的方法，也就不可能真正使這種方法成為自己解決問題的策略。教學中，我發現讓學生作簡單的“割補”并不難，而讓學生根據有用的條件分割較復雜的圖形就沒那么容易了。這是知識與能力的飛越問題，需要老師進行適當的引導。“割補”是本課教學的難點，也是重點。為突破難點，我安排了以下三個教學環節。

（一）投影出示“試一試”的問題

在教學中，先給出第一組圖形——運動館的跳水臺與羽毛球場，已知數據如圖12、圖13。

第一組的跳水臺比較直接，只要20-6=14，即可得到半圓直徑，另一梯形數據較為完整，可直接用公式求得。

圖14的羽毛球場，需要觀察、分析，再作簡單的分割，形成圖15，即可用公式求得。

（二）引領指導

給出第二組圖形——花圃與排球場。問題是：已知圖中陰影面積（如圖16，圖18）所示，其中B，C，E，F分別為邊上的中點，求整個大圖的面積。 ?

第二組圖形，由于沒有給出具體的長、寬數據，學生死套公式計算的方法已經沒有效果，因為這是已知部分求總體的問題。此時，發現學生面面相覷、無從下手。這時，就需要老師及時地進行有效的點撥。

師：盡管公式已無法運用，但是我們前面探究公式的方法能否運用到呢？能否考慮通過“分割”找到大圖與陰影部分的面積關系呢？

少時，就有學生舉手。

生1：我可以在圖16中畫兩條輔助線，分割成圖17，這樣就知道大三角形的面積是小陰影面積的4倍。

生2：我也可以在圖18中畫兩條輔助線，分割成圖19，這樣就知道大正方形的面積是小陰影面積的8倍。

老師的一句話，點醒了學生的思維。

第二組圖形對很多同學來說還是有一定難度的，學生剛開始可能不知道怎樣通過分割找到部分與全體的比例關系，在畫輔助線的過程中很容易出現無從下手的現象，這樣就會對問題的解決產生阻礙。這時，老師的啟發就起到引領作用。同時，也能讓學生明白，掌握策略比死記公式重要得多。為了及時鞏固這一解題思想，我又出了第三組圖。

（三）鞏固掌握

給出第三組圖形——乒乓球場與足球場，已知數據如圖20、圖22，問題是：已知圖中陰影面積，E，F分別為邊上的中點，求整個大圖的面積。

在上面的第二組基礎上，盡管這一組更難，但還是有不少同學很快舉手作答。

生1：我可以在圖20中畫兩條輔助線，分割成圖21，這樣就知道小陰影面積是大正方形面積的 ? ?，所以，大正方形面積是：36÷ ? ? =96（平方米）。

生2：我可以在圖22中畫三條輔助線，分割成圖23，這樣就知道小陰影三角形外面三個小三角形各占大長方形面積的份數，圖中所示： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故小陰影三角形面積是大正方形面積的 ? ?，所以，大正方形面積是：3000÷ ? =8000（平方米）。

在教學中，第三組圖形如果獨立推出，那難度太大。需要學生靈活運用分割思想，找到合理的分割方法，才能解決問題。所以我作了第二組的鋪墊。一方面，通過第二組圖形面積的探求，讓學生對解題策略引起內在的迫切需求;另一方面，也為第三組問題的解決搭了臺階，起到承上啟下的作用。

通過上述教學，讓學生親歷了公式探求的復習，經過三個逐一提升的題組訓練，學生對“分割思想”解題策略的優越性已經深信不疑。這種讓學生體驗“解決問題”的策略形成的過程，有利于學生心智的開啟，也有利于學生創新能力的培養。

超越具體問題的解法和結論，趨向策略的形成，是新課程的解決問題教學與傳統應用題教學的本質區別所在。學生所掌握的解決問題策略是從具體問題中來的，對具體問題必然還存在著一定的依賴性。但是，隨著學習的深入，學生遇到問題的類型在不斷變換，而解決這些不同類型問題的策略卻始終如一。隨著學生對策略運用的越來越熟，對策略的理解也會越來越深，水到渠成之時，通過對這一階段學習的反思，引導學生領悟到：不管題目如何變化，自己掌握的解決問題的策略卻始終有用——這是學習“解決問題”策略的靈魂。

三、靈活訓練是策略上升為能力的必須

策略上升為能力的一個必要過程是靈活訓練。面對不同類型的問題，學生要能通過現象洞察問題的本質，抓住問題的核心，利用策略解決新問題。故下面我提出了一組更富思考性的問題。

出示圖24，提出問題：怎樣求圖中陰影三角形的面積？

由于問題中三角形的高未知，給問題解決帶來了很大的難度，需要艱苦探索。幾分鐘后，有學生舉手。

生1：我取下底中點，把梯形分割成三個面積相等的三角形，如圖25，而陰影三角形的面積也與此三角形相等。

生2：我也取下底中點，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，并延長補成一個大平行四邊形，如圖26，而陰影三角形的面積正是平行四邊形面積的四分之一。

此時，學生思維已進入高潮。我馬上追問，如果下底改成6，又將如何求面積呢？

出示圖27。問題：怎樣求圖中陰影三角形的面積？

由于這個問題中三角形高也未知，而梯形上下底不是2倍關系，帶來的難度更大，但上述策略還是可以借鑒的。因而，幾分鐘后，又有學生舉手。

生1：我取下底的三等分點，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，并把平行四邊形再分割成四個面積相等的小三角形，而原來的陰影小三角形的面積也與此三角形相等，如圖28，所以，陰影小三角形為：2×3÷4= ? ?。

生2：我也取下底的三等分點，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，并延長補成一個大平行四邊形，如圖29，而陰影小三角形的面積正是大平行四邊形面積的 ? ?，所以，陰影小三角形為：2×4.5÷6= ? ?。

上述兩位同學之所以能快速找到解決問題的突破口，關鍵在于他們已無意識地應用了類比思維，從而使問題得到了很好的解答。

這組變式題，是靈活運用“割補法”思想解決問題的典范。通過上述三個環節的訓練和這組的靈活提升，學生對“割補法”思想就有了新的認識，為進一步把方法提升為策略打下了基礎。

四、及時總結，不斷反思，是策略形成的必要環節

策略的有效形成，必然伴隨著學生對自己學習行為的不斷反思。心理學研究表明，策略性知識是一種內隱的程序性知識。與顯性的陳述性知識相比，這類知識更隱蔽、更內斂，且常常附著在具體的問題解決過程中，不易直觀把握，更不易用清晰的語言概括策略的內涵。一種解題策略的形成要比一個知識點的獲得困難得多。

一般情況下，學生解題策略的形成要經歷三個階段。第一階段是模仿形成階段，這一過程主要在數學知識的學習、獲得基礎上開始的，但這時的學生一般只留意數學知識，會忽視聯結這些知識的觀點，以及由此產生的解決問題的方法和策略，即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”“似有所悟”的境界;第二階段是初步應用階段，隨著解題策略滲透的不斷重復與加強，學生對解題策略的認識開始走向明朗，開始意識到理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會進行有意的概括總結;第三階段是自覺應用階段，這是學生解題策略的成熟階段，到了這時，學生能根據具體的數學問題，恰當運用某種解題策略進行探索，以求得問題的解決。

在教學過程中，及時地引導學生對自己解決問題的過程進行反思，有利于提高學生對自身形成策略過程的認識，也更有利于學生加深對策略的進一步理解。策略教學必須在“觀察、思考、猜測、操作、交流、推理”等富有思維內涵的活動過程中，通過學生的自主建構，依靠學生的不斷體悟與反思予以落實。解決完問題后，教師要幫助學生把解決問題過程中的體驗進行整理、歸納，使學生最終內化成自己的策略。以“割補的策略解決問題”的教學為例，我引導學生對解題的過程和方法進行反思：回顧解題過程，體會解題關鍵，反思解題方法，提取解題策略，體驗策略價值，讓學生意識到“分割補形”既便于加工信息，又便于分析數量關系，確定正確的思路，根據圖可以從不同的角度思考，用不同的方法解決問題。

策略背后往往蘊涵著豐富的數學基本思想和方法。對策略的教學不能認為只是教授一種解題知識，而必須上升到數學基本思想和方法上來。在本課中，隨著學習的深人，學生所遇到問題的類型在不斷變換，而解決這些不同類型問題的策略卻始終如一：“分割補形”。在學生對“割補”策略的運用越來越嫻熟的同時，其對“數形結合”“變與不變” 等重要的數學思想的感受也越來越深刻。為了讓學生將“分割補形”思想真正內化成解決問題的策略，我又給出了一組探究性問題，讓學生在課外進行研究。

問題：求下列各圖（圖30、圖31、圖32）陰影部分的面積。

五、在實踐中運用內化，彰顯策略教學的生命力

從學生的解題策略形成過程分析匯總，我們不難發現，學生學習解題策略不可能像學習數學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程，是逐步積累而形成的。這一過程是從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級的螺旋上升過程。因此，教學是整體的，也是立體的。“割補”策略教學以后，將會給學生留下些什么，給學生帶來怎樣的影響，這是在課后我所關注的一個問題。

在接下來的教學中，我想，應鼓勵學生對同一圖形用不同的分割補形思想解決問題，體會到“割補”策略的多樣性;鼓勵學生在解決實際問題中將“割補”策略與其他策略有機結合，體驗解題策略的靈活性;讓學生在數學學習和數學思考中不斷增強方法的積累、方法的運用意識，不斷強化“策略意識”，訓練運用“策略”的技能，體驗“策略存在”和“策略運用”的價值。學生在潛移默化的浸潤中，漸漸對“割補”策略的運用自然了。當看到他們在解題中主動涂涂畫畫尋找思路，“割補”不再是老師的要求和教材的提示，而內化為學生自身的需求，這樣，學生個體的策略性知識結構也就逐漸形成了。

結束語

解決數學問題需要有一定的方法與策略，解決問題的策略又是在解決問題的活動中形成和積累的。策略的獲得并非自然生成、一蹴而就。在教學中，教師應以策略為抓手，有效地引導學生經歷問題的產生、理解與思考過程。以理解為線索，在實踐中學習技能，以不變涵蓋多變，不斷用解題策略“敲打”學生的思維，讓學生在一次次的“敲打”過程中不斷積累、不斷感悟、不斷明朗，在真切的體驗中獲得真正的感悟與發展，實現策略意識的形成，策略技能的掌握，直到最后的主動應用。

（310005 ?浙江省杭州市建新小學）