基于主成分分析的供貨商選擇研究

摘 要：本文針對402家供應商進行量化分析排名。首先，整體分析A、B、C的需求量，整體的供貨量，誤差在某范圍內的訂單數。然后，個體分析每家供應商，確定評價指標，用主成分分析法各供應商按供應的原材料對應，將這個結果作為第一個指標。最后，利用SPSS求解，給出最終的供應商排名。

關鍵詞：量化分析;主成分分析;SPSS

一、研究背景

某生產企業所用原材料總體可分為A、B、C三種類型。企業每年按 48 周安排生產，需要提前制定 24 周的原材料訂購和轉運計劃，企業需要根據產能要求確定需要的供應商和訂貨量，確定轉運商，并讓轉運商將供應商每周的供貨量轉運到企業倉庫。該企業每周的產能為2.82萬立方米，每立方米產品需消耗的各類材料用量以及各類原料的采購單價和儲存費用。本文建立數學模型對402家供應商的供貨特征進行量化分析，確定50家最重要的供應商。

二、基于主成分分析的模型

1.模型的建立

（1） 利用主成分分析算法對商家數量進行數學降維

問題一要求對 402 家原材料供應商進行量化分析，建立反映保障企業生產重要性的數學模型，并從中選出 50 家最重要的供應商。即從多個存在一定相關性的變量之間，當變量的個數較多且變量之間存在復雜的關系時，增加了問題分析的難度。可以采用主成分分析算法來解決這個問題，主成分分析是一種數學降維的方法，該方法主要將原來眾多具有一定相關性的變量，重新組合成為一種新的相互無關的綜合變量。

（2） 主成分分析算法相關介紹

基本概念：主成分分析，英文簡寫 PCA（Principal Component Analysis），提取數據集的主要特征成分，忽略次要特征成分，達到降維目的。

（3） 主成分分析算法特點

PCA 通過線性變換，將 N 維空間的原始數據變換到一個較低的 R 維空間（R

在降維過程中，不可避免地要造成信息損失。如原來在高維空間可分的點，在低維空間可能變成一個點，變得不可分。因此，要在降維過程中盡量減少這種損失。

特征之間的相關性越弱，則特征就越應該作為主要成分被保留。

反之，如果兩個特征有較高的相關性，則只保留其中一個特征即可。為使樣本投影到低維空間后盡可能分散，它們的方差要盡可能大。

（4） 主成分分析算法的基本思想

數據集 X 有 N 個特征，M 個樣本。若將每個樣本用列向量 xj（j=1，2，...，M）表示，則該數據集可以用下面的矩陣表示：

選擇 N 個 R 維的正交基 pi（i=1，2，...，R）組成的矩陣：

所謂正交可以理解為兩個向量 Pij（i≠j）相互垂直，即一個向量在另一個向量的投影為 0。

通過正交基將維數 N 降到 R 后，可能帶來的一個問題是原本在 N 維空間可分的點，在 R 維空間變得不可分。

例如在三維空間上，位于垂直于某坐標平面的一條直線上的不同點，投影到該坐標平面上后成為一個點，從而使樣本的可區分性喪失，造成信息丟失。

為了避免這類問題，降維的一個基本原則是，降維后的點（或投影后的值）在新的低維空間里盡可能的分散。

于是 PCA 問題就變成一個正交基的優化問題，即尋找一組最優正交基，使得將 N 維數據集的樣本點投影到 R 維空間后，新的樣本點在 R 維空間盡可能的分散。

方差是刻畫樣本分散程度的統計量。對特征xj（j=1，2，…，M），其方差為：

為了簡化計算，將 xj 平移μ個單位，則樣本均值變換為 0。

用 a 表示變換過的 x，上式變換為：

方差值越大，則特征 aj（j=1，2，...，M）的各個分量越分散。另外，對多維特征空間，如果兩個特征是線性相關的，則這兩個特征是冗余的，只保留一個即可。因此，降維后的特征間應盡可能不相關。刻畫特征相關關系的統計量是協方差。協方差表示了兩個隨機變量 X，Y 同向（或反向）變化的程度。其絕對值越大，則同向（反向）變化的程度越明顯，說明兩者相關性越強。其值越接近 0，說明兩者同向（反向）變化的程度越不明顯，說明兩者的相關性越弱。

對降維問題來說，希望保留下來的特征兩兩間是不相關的。因此要使其協方差的絕對值盡量小。由于各個特征經過平移，均值已為 0，因此有式：

特征均值為 0 的情況下，兩個特征的協方差簡潔地表示為其內積除以元素數 M。

當協方差為 0 時，表示兩個特征完全獨立。

為了讓協方差為 0，選擇基的方向一定是正交的。

則降維問題的優化目標為：將一組 N 維向量降為 R 維（R 大于 0，小于 N），其目標是選擇 R 個單位（模為 1）正交基，使得原始數據變換到這組基上后，各特征兩兩間協方差為 0，而特征的方差則盡可能大。

即在正交約束下，取最大的 R 個方差。

多個特征兩兩間的協方差可以通過協方差矩陣來表示。

將數據集 X 的特征進行 0 均值以后記為 A，即式：

N 維特征向量的協方差矩陣：

PCA 的優化目標是在新的低維空間，特征間的協方差為 0，特征維數為 R.則應該尋找一個能使上式變換為形如下式的 R 階對角方陣：

且對角線元素應是前式中對角線上前 R 個最大的元素，以滿足特征方差越大數據越分散的要求。

令 P 為 R×N 單位對角矩陣：

至此，使用 P 將特征 0 均值化的 N 維數據集，降維至 R 維。

實際應用時，還需要保證留下來的 R 維空間中的特征內積（方差）之和最大，以使樣本盡可能分散。

因此，要調整 P 的行向量與式（6-17）中對角線上最大的前R 個值相適應，以保證選擇的 R 維向量方差之和最大。

對 M 條 N 維特征數據，PCA 算法步驟可以描述如下：

（1） 將原始數據按列組成 N 行 M 列矩陣 X;

（2） 將 X 的每一行（代表一個特征）進行零均值化，即減去這一行的均值;

（3） 求出協方差矩陣 C=;

（4） 求出協方差矩陣的特征值及對應的特征向量;

（5） 將特征向量按對應特征值大小從上到下按行排列成矩陣，取前 R 行組成矩陣 P;

（6） Y=PX 即為降維到 R 維后的數據。

本題主要采用主成分分析算法來求解問題。

2.模型的分析

（1） 利用 SPSS 進行主成分分析求解

使用 SPSS 軟件對本模型進行主成分分析，根據近五年某 402 家企業訂貨量和供應商供貨量中的數據，對表格中的數據分別進行量化處理，并將因子分析-選項-系數顯示方式選擇“按大小排序”，得到關于訂貨量和供貨量的成分分析圖。其中二者總方差累計的數據分別為 89.636%（供貨量總方差解釋圖）和 89.727%（訂貨量總方差解釋圖），相差并不大。但是比較二者的前 50 項主成分總方差分析圖發現，前 50 項二者的總方差累計的數據分別為 80.814%（供貨量總方差解釋圖）和 69.604%（訂貨量總方差解釋圖），因此在從 402 家供應商中選擇主要的 50 家供應商時，由供貨量進行主成分分析的結果時更準確。

（2） 從成分矩陣中選擇前 50 項得出最重要的 50 家供應商將因子分析-選項-系數顯示方式選擇“按大小排序”，得到關于供貨量的成分矩陣圖。從中選擇前 50 項，即可確定最重要的 50 家供應商。

故對 402 家供應商的供貨特征進行量化分析，建立反映保障企業生產重要性的主成分分析模型，確定 50 家最重要的供應商為 S259、S032、S401、S145、S389、S097、S164、S187、S399、S220、S278、S079、S018、S053、S061、S370、S106、S311、S316、S243、S302、S020、S029、S198、S043、S391、S107、S118、S230、S087、S354、S309、S274、S325、S171、S101、S052、S050、S006、S377、S021、S047、S249、S091、S398、S109、S048、S179、S205、S192。

3.模型評價

（1） 模型的優點

主成分分析法的優點：第一，可消除評價指標之間的相關影響。第二，可減少指標選擇的工作量。第三，當評級指標較多時還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數綜合指標代替原指標進行分析，主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時，可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個主成分來代表原變量，從而減少了計算工作量。

（2） 模型的缺點

主成分分析法的缺點：主成分的解釋其含義一般多少帶有點模糊性，不像原始變量的含義那么清楚、確切。

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作者簡介：侯星竹（2001.12- ），女，漢族，遼寧省鐵嶺市人，渤海大學數學科學學院，本科在讀