巧用數形結合，解決實際問題

張彩萍

【摘? 要】數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門科學。本次研究的數形結合中，數屬數量，形屬空間變化，它們是數學研究中的兩個主要對象。同時，兩者之間在解決數學問題時更顯聯系緊密——數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。通過數形結合解決問題在數學學習中運用廣泛。考慮到小學生的思維特點，它也是小學數學教材編排的一個重要原則。本文將以蘇教版小學數學中的部分解決問題為實例，闡述數形結合在小學數學中的運用。

【關鍵詞】數形結合;小學數學;解決問題;蘇教版

一、以數化形，回歸問題原本

將數轉化為形去解決問題是蘇教版小學數學常用的一種方法。在當下的教育環境下我們不難發現：對于大部分小學生來說，對于條件較多，數據之間聯系復雜的問題，他們不太能夠通過直接讀題來分析問題，以明確數量之間關系，解決問題。此時，就需要將較復雜的數據類問題轉化為圖形問題，在解決問題時，使其回歸題目的幾何原本，借助圖形的直觀看清數之間的聯系，理清數量關系，以解決問題。

蘇教版教材中對以數化形的問題安排得較多，主要體現在小學中、高年級解決問題的策略中。和差問題與差倍問題是蘇教版數學四年級下冊學習的一個重難點。此類問題只有數據支撐，呈現出有兩種聯系的條件，需解決兩個問題。對于此類問題，學生通常無從下手。

如蘇教版四年級下冊“解決問題策略——畫線段圖”例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

在之前的學習中，一般告訴學生一個量以及所求量與這個量的關系，求取所求量。而在此類問題中，只告訴兩個量之間的兩個關系，求取這兩個量，學生開始犯難。但是如果將數轉化到線段圖中，就簡單多了。

線段圖如下：

從上圖中可輕易看出小寧與小春郵票數之間的關系，而解題的關鍵是通過將線段的“割”“補”“分”使兩條線段長度一樣。

以“補法”為例：通過將短的線段補齊，讓他與小春郵票數數量相等。求出小寧如果與小春郵票數相等時，總有票數為72+12=84（枚），從而將總郵票數平均分成兩份求出小春的郵票數。小寧的郵票數就求出來了。

小學數學中有些問題的數量關系比復雜，小學生解題無從下手，難以解決。此時，教師可在讀題的基礎上引導并鼓勵學生用線段圖表示出條件，這樣可以幫助學生找出數量間的對應關系，簡化問題，便于分析，從而降低問題難度。

二、化形為數，簡化圖形計算

化形為數，即將復雜的圖形問題化為簡單的數據求解，將形作為手段，數作為目的。小學高年級是學生思維發展由形象到抽象的過程。有些圖形簡單而富有規律，當題目中要求的數量多時，完全借助直觀圖形去解決反而十分復雜，且不利于小學生抽象思維的發展。這時，我們就應將其轉化為“數”去解決問題。

誠然，有些問題用形的思想解決反而過于復雜，化形為數，將圖形問題轉化為數的計算，可以簡化問題，使問題變得簡單明了，更易于解決。

三、數形結合，明朗復雜問題

數與形的轉化在蘇教版小學數學課本的編撰中往往不是單向出現的，在解決一些較復雜的數學問題時，往往對小學生，特別是中高年級的學生而言，需要學生具有數形互譯思想。解決一個問題時，既要用到以形助數的思想，也要用到以數解形的思想，即將一些復雜問題的數量關系用圖形表示出來，再通過對圖形的分析，將之列式算出結果。

如蘇教版小學數學六年級上冊“解決問題的策略——假設”中的例2：42位同學去劃船，一共租用了10條船，正好坐滿。每只大船能坐5人，每只小船能坐3人。租的大船、小船各有幾只？”

對于此類問題，條件較為復雜，學生首要想到用畫圖方式畫出船與人的示意圖：

不難發現，當假設船都是大船時，畫完圖并不能去解決問題。這時，我們要通過分析，利用數的思想，算出都是大船時多了多少人。5×10-42=8（人）。

分析：由于每條小船坐三人，所以小船每條比大船少：5-3=2（人）。

然后將數化為形，在圖中一一去除多余的人。

從而能夠輕易看出有6只大船，4只小船。

用算式表示為：8÷2=4（只），10-4=6（只）。

從這樣的一個教學過程中很容易看出數形結合的思想。數形互譯能使原本復雜的問題一下子變得簡單明朗。利用小學生形象思維與抽象思維并存的特點，通過數與形的轉化，不僅能巧妙解決問題，提升學生的思維能力，也能提升他們分析問題、解決問題的能力，這對其數學素養的培養與提升有所幫助。

蘇教版三年級上冊“長方形與正方形”單元的知識點并不是非常多，因此在復習這個單元時，我請學生自己回顧知識點，交流補充，最后出示整理的表格與一些小問題，大致如下：

1.什么是周長？

2.長方形與正方形的特征及其周長。

學生整理結束后，再以判斷題的方式鞏固知識點。知識回顧結束后，課堂還剩下大量時間，于是筆者從“比一比”“算一算”“拼一拼”“畫一畫”這四個方向引導學生通過習題進行復習。這節復習課在筆者看來中規中矩且充實。

正要離開教室，一位學生的聲音傳入我的耳中：“復習課真無聊，每天都在不停做題目，上課做，下課做，回家做，我感覺這幾個題目我都快背下來了，真無聊?！痹瓉砉P者認為中規中矩的課，在學生看來是無聊的;筆者認為充實的課，在小朋友看來就是做題目。而最重要的知識點回顧，學生覺得可以直接無視。該如何改變這個狀態呢？怎樣才能讓小朋友都參與進來呢？怎樣才能使復習課有趣且能鞏固所學呢？筆者不禁陷入沉思。

意識到這些問題，通過多方請教，筆者決定將動手操作的思想方法加入到課堂之中。第二天，筆者在另一個班再次進行“長方形與正方形”的單元復習。

上課時，筆者請小朋友拿出課前發放的紙（長12厘米，寬8厘米的長方形），并提問：

1.這是什么圖形？

2.它有哪些特征？（要求指一指、說一說）

3.你還知道長方形的什么知識？

4.這個長方形的周長在哪里，誰愿意來指一指。

5.請同學們算出這個長方形的周長，并討論算法。

學生通過測量，全員參與，算出周長。之后，筆者又提出要求：

1.只有長方形，你們能在這個長方形中找到一個最大的正方形嗎？（學生動手折一折，剪一剪，討論方法）

2.正方形有什么特征？

3.如何算出這個正方形的周長？

4.說說長方形和正方形的相同點和不同點。

學生此時因親自測量操作而興致盎然，對正方形、長方形的特征印象深刻，同時對如何在長方形中畫一個最大的正方形更為熟悉。接下來，筆者引導他們思考：

1.剪成的正方形周長與剩下的小長方形周長之和等于原來大長方形周長嗎？

2.把剪正方形剩下的長方形拼一拼，能拼成什么圖形，你能算出新圖形的周長嗎？

3.你們會把剩下的長方形紙剪成周長相等的兩個圖形嗎？

……

學生們紛紛參與進來，通過不斷的操作、思考，表現得興趣濃厚，在動手操作中將散碎的知識點凝聚在一起，形成了體系。

在這節復習課中，給筆者留下最直觀的印象是每個學生都參與到課堂之中，學生臉上洋溢著的是學習帶給他們的快樂。興趣是學生學習的動力源泉，從一定意義上來說，學生在課堂上展現出一定的興趣，那課堂就成功了一半。作為一節復習課，學生已經沒有了像學習新知那樣的好奇心和熱情，因此如果教師單單去引導學生如何去回憶知識，如何去做練習，是遠遠不夠的，這節課可能是枯燥的。而動手操作則能帶給學生探索的欲望、學習的熱情，激發學生的學習興趣，這對調動他們在復習課上的積極學習狀態以及自己汲取知識大有裨益。

在做中學是學生掌握數學知識的一個重要方式。小學生正處于從形象思維向邏輯思維發展的重要階段，而動手操作有助于這一思維的發展。在數學復習課上，教師可能會以平鋪直敘的形式展現課堂，但這對學生思維的發展可能不夠。對此，我們可以嘗試用動手操作的方式進行復習，拓展復習課形式的同時，強化學生的動手操作能力。在本節課中，學生通過操作漸漸明白，為什么在長方形中截取一個最大的正方形，正方形的邊長就是長方形的寬。他們通過折紙感受到了邊的重合，通過思考，發現了真理，加深了對知識的印象，也在這個過程中提升了思維能力與解決問題的能力，為以后解決更難的問題提供了操作基礎和思維基礎。

認真備課是課堂教學的必備因素，復習課也不例外。充足的準備是成功的一半，所以在課前我們一定要有所思考：今天的主題任務是什么？將從哪個點開始展開？需要學生完成操作的操作有哪些？除了這些思考的內容，我們必須意識到學生的狀態，學生的思維水平，正視的學生之間的差異。我們所要達到的復習目的是否能夠通過操作得以實現。我們所有的提問或者舉措是否具有可實施性。所以，教師在設計教學內容時，要做到簡潔、明確，可實施性強。對學生提出的要求也必須是清晰的。

蘇教版小學數學教材的編排多以基礎知識內容為主，其中，數形結合解決問題的思想貫穿始終，尤其是在解決問題的策略這一模塊，更是著墨頗多。但若是學生只是單純地解題，而無教師引導，可能會導致學生對某類問題無從下手。所以，作為教師，我們應當有意識、有目的、有計劃地滲透數形結合思想，從而幫助學生形成利用數形結合思想去解決問題的習慣與經驗。同時，教師應當認真研究教材，挖掘教材中的數形結合思想。通過認真分析、認真備課，查閱資料等方式去豐富教學資源，引導學生發現數與形之間的本質聯系，帶領其探索更好的分析、解決問題的方法。利用教材或課外的豐富素材引導學生利用數學結合的方式解決問題，使學生逐步形成數形結合思想，以提高學生的數學核心素養。

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