要素與結構：變式教學促發深度學習

朱向陽　陳于青

【摘 要】深度學習是核心素養培育和發展的基本途徑。運用變式教學可促發深度學習，教師優化課堂教學四個關鍵要素，引導學生積極主動參與，以結構化思維把握數學知識本質和思想方法。具體實施策略為：選擇學習材料，以變式促自主性學習;組織學習序列，以變式促有層次推進;展開學習活動，以變式促多角度理解;改造學習經驗，以變式促結構化思維。

【關鍵詞】要素 結構 變式教學 深度學習

郭華教授對深度學習的內涵、意義和實現路徑做了深入系統的研究，她認為深度學習是核心素養培育和發展的基本途徑。本文以北師大版數學五年級下冊“用方向和距離確定位置”的教學實踐為例，闡述變式教學促發深度學習的具體實施策略。

一、選擇學習材料，以變式促自主性學習

“活動與體驗”是深度學習的核心特征，也是變式教學的關鍵要素。教師選擇一份好的學習材料，以變式搭建學習支架，將靜態的“知識”轉化為一項具體的活動或任務，激發學生興趣，促發高階思維，學生主動深度經歷習得的過程。

【片段1】

呈現情境—智慧老人帶著淘氣、笑笑和奇思來到公園玩尋寶游戲（見圖1）。

問題1：圖上的信息都能看懂嗎？（重點反饋：“上北下南，左西右東”“比例尺”）

問題2：智慧老人藏好了寶箱，并給他們每個人提供了一條關于寶箱位置的線索，如果是你，你最希望得到什么線索？

北師大版數學教材用參觀動物園描述各個館位置的情境，引導學生從直觀圖逐步走向點的精準定量刻畫，先探討都在東北方向的兩個點如何區別（方位+角度），再辨析區別同一方向的兩個點的方法（距離），最后綜合分析平面上確定一個點的位置需要“方向”和“距離”兩個要素。這樣的安排契合學生的認知水平，順應知識發展過程，但是也有缺憾：整個過程過于平坦，缺少挑戰性;弱化了空間觀念的培養;弱化了對知識內涵本質的理解。

教師改造這個學習材料的意義有三點：（1）驅動探索。把原教材中的看圖說“獅虎山”的位置，改造成更開放的尋找未知“寶藏”的位置，根據線索開展尋寶游戲，一下子拉近了數學和學生的距離，更具有挑戰性和趣味性，能更好地驅動后續的探索活動。（2）激活經驗。“方向標”和“比例尺”的解釋以及寶箱線索的猜想喚醒學生關于方位的知識經驗，掃除障礙，為后續的探索活動奠定基礎。（3）聚焦主線。把探索活動聚焦在如何確定位置（尋寶）的主線上，探究知識本質—如何在平面中確定一個點的位置。

二、組織學習序列，以變式促有層次推進

合理組織學習序列，搭建過程性變式支架，設置合理的鋪墊，有層次地推進教學活動，讓學生主動探索、發現、經歷“知識”形成的全過程，體驗“知識”發現的關鍵環節，這是深度學習的機制，它能降低學生理解的難度，提高學生理解的深度與廣度，幫助學生體會所學內容的重要價值。

【片段2】

教師在課堂實踐中，把教學活動分四個層次展開推進。

層次一：解析單一線索價值

師：智慧老人分別給了他們什么線索？

淘氣線索：寶箱在噴泉的東北方向。

笑笑線索：寶箱在噴泉的北偏東20°方向。

奇思線索：寶箱距離噴泉300米。

核心問題：根據線索，你認為誰最有可能先找到寶箱？

追問跟進：如果你是他們，你根據線索會怎么找？先在腦中想一想，他們分別應該在什么地方找？

讓全體學生根據同學回答展開想象后，再用課件動態演示每一條線索對應的圖形（見圖2），引導學生比對、調整想象的圖形。

小結：每條線索都是有價值的，都縮小了尋找的范圍，有的縮小到了一塊區域，有的縮小到了一條射線上，有的縮小到了一個圓。

層次二：解析線索組合價值

師：剛才通過分析，每條線索都只是縮小了尋找范圍，但都還沒有準確指出寶箱的位置，現在允許他們三人兩兩合作。

核心問題：哪兩個人合作是最有利的？

追問跟進：先想想有幾種合作的可能，再次發揮你們的空間想象能力，每種合作的結果會是怎樣的？

課堂活動：獨立思考—小組交流—集體反饋。

讓全體學生根據同學回答展開想象后，再用課件動態演示每種線索組合對應的圖形（見圖3），再次引導學生比對、調整想象的圖形。

小結：一共有三種合作，淘氣和笑笑的合作，結果還是一條射線，對笑笑來說是無效的合作;淘氣和奇思的合作，讓范圍縮小到一條四分之一的圓弧線上，這是一次有價值的合作;笑笑和奇思的合作，居然把范圍縮小到了一個點上，寶箱的位置就非常準確了。

核心問題：如果你是智慧老人，要寫一條線索告訴他們準確的寶箱位置，該怎么說呢？自己先試試，和同桌說說看。

追問跟進：要說清楚一個點的位置，只要說清楚哪兩條線索就行了？

生齊答：方向（準確的方向）和距離。（師板書：方向、距離、確定位置）

層次三：解析觀測點價值

核心問題：淘氣和笑笑就讀同一所學校，但是描述的學校位置卻不同（見圖4），你猜誰是對的？

追問跟進：明明是同一所學校，為什么說的位置卻不一樣呢？

小結：描述位置的時候，除了要說清楚方向和距離，還要說清楚觀測點。

層次四： 解析內涵本質

師：確定位置還有別的方法嗎？

核心問題：四年級的時候已經學過了用數對確定位置，今天我們又學了用方向和距離確定位置，兩者之間有什么共同點和不同點（見圖5）？

追問跟進：兩種方法確定位置都用了兩條信息，每條信息都代表一條線，交叉就會形成一個交點，這個發現非常了不起喲！你想過嗎？為什么偏偏是兩條信息？什么時候只要一條信息？什么時候需要三條信息？

這樣的學習序列組織，對活動序列和思維序列都做了有層次推進的安排，既有開放性、挑戰性，也為學生的探索活動提供合理的支架。活動序列方面，把難以一次完成的確定位置知識的建構，分成四個層次：層次一完成單一線索的圖形表征，層次二完成兩條線索確定位置的初步理解，層次三體驗位置的相對性，層次四完成平面內兩要素確定位置的本質理解，循序漸進地有層次推進完成知識建構。思維序列方面，首先采用了從抽象到直觀的逆向序列，為學生探索提供了極大的空間，同時設置了變式應用，讓學生在直觀和抽象之間來回穿梭，深化理解;其次，在直觀操作和符號操作之間設置了半抽象的表象操作，即“腦中想象”，并進行多次“比對—調整”，提供建構支架的同時發展了空間觀念（見圖6）。

三、展開學習活動，以變式促多角度理解

教師充分展開學習環節，搭建概念性變式支架，多角度理解“知識”，先“舉三反一”凸顯內涵本質，再“舉一反三”遷移應用，讓理解更深刻。

1. 變式表征加深理解

北師大教材的安排，突出逐步精準定量刻畫的過程：同一區域的不同方向刻畫（精準方向）→同一方向不同點的刻畫（精準距離），但是沒有對方向和距離的信息要素進行解析，學生很難深刻體會為什么需要這兩個要素來確定位置。

本課例做了一些改變，從抽象定量描述逐漸表征為直觀圖形的認知，其間經歷了從要素單一價值的解析到要素組合價值的解析，經過數次“想象—比對—調整”的完整過程，對每個要素和每種組合進行圖形表征的深入刻畫和對比，學生深刻體驗兩個必要要素（方向和距離）形成一個“交點”確定位置的過程。有了圖形表征支架的支撐，學生可以清楚“看見”“平面內精準刻畫一個點需要兩個要素”，理解更深刻。同時，在數次“想象—比對—調整”的過程中，充分發展了學生的空間觀念。

2. 變式對比凸顯本質

把握數學“知識”的內涵本質，是建構數學知識結構的前提。如果教師直接告知，那么學生缺少自我深度加工的過程，這樣的學習是淺層次的，沒有生長力。因此，教師要設計變式，開展對比分析，讓學生通過“歸納”“演繹”等形式去主動發現、把握。

本課例在學習的關鍵環節有兩次重要的“變式對比”：（1）兩個要素不同組合的價值對比，讓學生發現只有“準確方向+距離”的組合可以確定一個點，凸顯了這兩個要素是確定位置的本質。（2）“數對確定位置”和“方向、距離確定位置”的對比，它們本身是“確定位置”的兩種變式，通過“有什么共同點”的歸納，教師引導學生主動發現“平面內確定位置”的本質是：用兩條信息刻畫兩條線，形成“交點”。這樣的變式對比，不僅讓學生主動發現、把握“知識”本質，有助于其建構知識結構，還能加深學生對變式本身的體驗，有助于其提升思維品質。

3. 變式應用拓展提升

變式應用，既是在具體和抽象中的來回穿梭練習，也是對學習成果的檢驗，有助于學生理解把握、遷移應用“知識”，真正將學習內容內化為自身的知識結構。因此，變式應用的設計，在教學中顯得十分重要。

在本課例中，教師采用的變式主要有：（1）情境變式。把確定位置的非本質因素進行變式，如“尋寶游戲”“海上救援”“真人CS游戲”等形式，除了關注趣味性，更重要的是變換知識的載體，引導學生抽象出問題本質。（2）水平變式。設計不同水平層次的變式問題，讓學生拾級而上。例如，水平一：看圖描述位置，只需根據圖上信息，按模式回答;水平二：根據描述位置畫圖，需要解析要素信息，并運用量角器度量、按比例換算圖上距離等完成;水平三：根據信息描述相對位置，如“乙在甲的東偏北30°方向500米處，那么甲在乙的什么位置？”學生需要在圖中表示出準確的相對位置，再進行觀察描述或者直接在腦中想象完成。（3）形式變式。如“進行角色轉換”，讓學生來出題，學生需要站在更高的視角，跳出來俯視學習內容，進行整體把握。形式變式同時更具開放性，能夠培養學生的發散思維（見表1）。

四、改造學習經驗，以變式促結構化思維

在前期的學習過程中，學生會積累諸多的經驗，有些是不重要的、淺層次的，而有些是核心的、深層次的。教師要極力助推學生發展結構化的思維，有意識地把重要的學習經驗納入其認知結構當中，發展學生的記憶、理解、關聯能力。

1. 知識結構化

“數對確定位置”和“方向、距離確定位置”的對比，通過三個有層次變式問題引領，使知識結構化。

“確定位置還有別的方法嗎？”—回憶喚醒原有經驗，篩選相關經驗，聯結前后學習內容。

“兩者之間有什么共同點和不同點？”—橫向看，歸納知識本質，同類知識結構化。

“為什么偏偏是兩條信息？什么時候只要一條信息？什么時候需要三條信息？”—縱向看，通過推理、聯結，打通“一維”“二維”“三維”空間，揭示確定位置的本質。

2. 方法結構化

方法的結構化絕非一日之功，教師需要在每一節課上有意滲透與引導。課堂教學中實施的策略主要有兩條：（1）強化體驗。如“圖形表征”變式幫助理解，在教學關鍵處、解決問題的核心處，放大、拉長“想象—比對—調整”的過程，讓學生充分體驗“圖形表征”的價值。（2）適時梳理。在學生充分體驗的基礎上，教師通過明確指向性的問題，引導學生對學習過程和方法進行梳理和評價，如“我們是如何學會的”“運用了什么好的方法”等，對本課例應用的“數形結合”（借助多元概念性變式表征理解）等數學思想方法進行強化，使其深植于學生內心深處。

運用變式，優化課堂教學關鍵要素：選擇學材、組織學序、展開活動、改造經驗，引導學生全身心、積極主動地以結構化思維把握數學知識本質和思想方法，應是數學教師不懈努力追求的目標。

本文系浙江省教育科學規劃2019年立項課題“變式理念下小學數學課堂結構多元重組的例證研究”（課題編號：2019SC310）的階段性研究成果。

（作者系：1.浙江省義烏市繡湖小學教育集團黨總支書記、總校長，浙江省特級教師，正高級教師;2.浙江省義烏市西江小學副校長）

責任編輯：趙繼瑩