高中數學教學中學生建模思維和能力的培養

蘇盈盈

（江蘇省漣水縣外國語高級中學，江蘇 漣水 223400）

建模并不是數學當中多么難以理解的內容。簡單來說，在數學應用題當中就有建模的身影存在。它體現在讓學生在應用題當中搜集有效信息，并通過這些信息構建模型，解答問題。其實這些年來，隨著素質教育的不斷深入，現階段的數學教學對于學生建模思維的培養也越來越重視。為了強化學生對于建模知識的理解，幫助學生更好地將所學的知識融會貫通，筆者就從以下幾點探討在高中階段開展數學建模教學的具體作用及其策略。

一、培養高中生建模思維和能力的意義

（一）符合當前素質教育的主流方向

在當前的教育環境下，素質教育的理念早已深入人心。而如何提升學生的數學綜合素養，完善學生的數學思維，一直都是當前數學教師應當思考的方向。通過建模教學的開展培養學生建模思維，將學生帶入到模型的建構當中，從建模活動當中激發學生創新和創造意識，讓學生能夠向著更高層次發展，是教師應當培養的目標，也是當前素質教育的一種主流趨勢。縱觀當前的數學教學而言，由于受到以往教育理念的沖擊，我國的教育在較長的一段時間內未能重視學生綜合水平的提升，只在乎教會學生有用的知識，忽略了學生主體意識的培養。這種情況的產生，不僅會使得當前教學的效率逐漸下降，也無法讓學生體會到學習數學的快樂。而現如今新課程改革當中明確提出了“要切實培養學生解決實際問題的能力”。因此，數學建模教學應當受到當前高中數學教師的重視，并及時地探索有效的方式滿足學生的學習需求，保證學生能夠養成相應的學科思維。

（二）是培養學生應用數學的有效方法

數學的教學不僅需要學生了解數學當中的重要公式理念、方法或者是結論，還要讓學生能夠探索這些本源知識的存在，在提高學生思維能力的基礎上培養學生自主運用數學解決實際問題的能力，以及解決實際問題的意識。而通過數學建模教學就能夠有效地培養學生的這些能力。在數學建模教學當中，需要學生從已知的條件出發，將題目當中所給的數字以及數量之間的關系轉化為實際數學模型。在進行創設模型解答問題的過程當中，不僅需要學生觀察模型創設是否合理、解答問題是否正確，還要讓學生在檢查之后帶到現實當中觀看結果是否符合實際生活。這樣既考查了學生收集信息處理加工的能力，又考查了學生應用數學獲取新知識的技巧。在拓寬學生知識面和能力面的基礎上改善了當前教學的方式，突出學生在課堂上的主體地位，真正提升了學生的數學綜合能力。

二、培養高中生建模思維和能力的必要性

高中數學涉及的內容相對較廣泛，并且難度較高。學生在學習的過程當中如果不能夠掌握一定的技巧和方法，很容易陷入學困或者是對數學難以提起興趣的境地。而開展數學建模教學，既能夠讓學生在趣味性的情境當中獲取知識，又能夠培養學生的學習興趣，還能夠讓學生養成樂于思考、不怕吃苦，以及堅持不懈的意志。同時，教師可巧妙地發揮數學建模的作用，幫助學生找到和認清解決數學問題的一般方法和規律。最重要的是，在開展建模教學的過程中，教師還能夠有機地將學生進行分組，讓學生以小組合作的方式進行學習，培養學生團結互助的優秀品質。數學來源于學生的實際生活，也必須要運用到學生的實際生活當中才會顯得更有價值和意義。以往的學習只是學生單純地理解和掌握，而真正到數學建模教學中，不僅需要學生理解和掌握，還要學生通過分析推理證明和驗證。因此，需要學生具有較強的聯想洞察力以及自主管理能力。特別是在新高考的模式下，新情境題以及數學文化類題目日益增多，統計案例和其他應用題文字繁長，更加急需培養學生的數學建模能力，將文字冗長的實際問題轉化為數學問題，建立適當的數學模型進而解決該題目。由此可見，在高中階段開展建模教學，是必要且迫切的課題。

三、培養高中生建模思維和能力的策略

（一）融入生活實際，滲透建模思想

建模本質上就是將生活當中與數學有關的問題，以數字為媒介構建相應的情境模型，然后再深入到情境當中進行解決的一個過程。在高中階段，教師將建模的思維融入生活實際當中，通過實際的一些問題引發學生的注意，接著帶領學生建模思維融入其中，合理地選擇生活化的素材進行模型建造。最后再與學生一起解決，讓學生觀察教師在進行建模和解決問題過程中的數學建模方法，能夠有效地提高學生的數學思維。

生活中實際的例子有很多，教師要善于發現適合建模的真實案例，以此激發學生的學習興趣。例如，在進行講解《二次函數與一元二次方程》這一章節時，教師就可以通過舉出一些學生能夠理解的例子，讓學生進行思考。比如在商店大促銷時，某件商品的進價為25 元，如果按照原價賣出的話，可以賣出800件。但是如果商品每次漲價一元之后，商品的單次銷量就會減少20 件。那么，如果想要獲取最高的利潤，在定價為多少的時候最合理呢？通過這么一個最基本、最接近于生活的事例，可以讓學生進行思考，讓學生先明確方程當中的未知數，并思考方程當中商品單價和總營業額之間的關系。比如將定價設為X 元，那么這個X 一定要大于25 元才能盈利。而盈利的金額為X-25。也可以設漲價的金額為x，這樣設出來的方程最簡單。學生可用各種方法、各種思路，以不同的觀點看待這個數學模型。最后教師可以選出一個簡單的方程，先給學生列舉出來，比如(25-20+x)(800-20 x)=y。也可以讓學生轉換思路，用另一種方法列舉方程。通過這種方式，形象地為學生提出了生活中實際的建模例子，幫助學生更加直觀地體會建模的概念。

（二）聯系歷史文化，培養建模興趣

興趣是最好的老師。為了培養學生數學建模的興趣，課堂上教師可以聯系我國傳統的數學文化知識勾起學生的好奇心，培養學生的求知欲，更能讓學生體會到古人的數學思維，和古人在數學建模領域碰撞出思想的火花。

例如，在講解《等差數列的通項公式》這一章節時，為了能讓學生練習通項公式的運用，激發學生的學習興趣，并能培養和提高學生的數學建模思維和能力，教師可以引入這樣一個例題：《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題:“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問各得幾何。”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）這個問題中，乙所得為多少錢？當學生看到《九章算術》的時候就會引發學生對此題的興趣，畢竟是我國歷史中的數學瑰寶。教師再結合文言文的出現，更能抓住學生的眼球。此題需要建立等差數列的模型，設所成等差數列的首項為a1，公差為d，則依題意，列出關于首項a1和公差d的方程組，求解之后進而求出a2即可。

同樣，在講解《等比數列的前n項和》這一章節時，教師可以引入這樣一個例題：《算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381 盞燈，則該塔中間一層有多少盞燈？此題需要建立等比數列的模型，設所成等比數列的首項為a1，公比為2，則由等比數列前n項和公式解出a1，再利用等比數列通項公式求解即可。

通過這種形式，讓學生體會到我國文化的偉大，激發了學生數學學習的興趣，又培養了數學建模的思維能力。

（三）創設模型情境，探究建模技巧

為了幫助學生理解數學實際問題，強化學生對于數學問題的體會。教師就可以在課堂的開始，利用各種途徑為學生創設情境。在用語言創設情境激發學生興趣的基礎上，可以通過媒體信息技術將實際數學情境給學生構建出來，讓學生仔細觀察并體會其中的數字代表的實際意思。以這種方式在滿足學生學習興趣的基礎上，幫助學生收獲成功的喜悅。

例如，在進行講解《函數的應用》這一章節的過程中，也能夠讓學生在掌握數學知識的過程當中養成相應的建模能力。教師可以在課堂的開始就利用語言引出這么一個情境：“同學們，在疫情期間科研人員正在培養一株病毒原株，已知這個病毒原株其有2000 個病原體構成，每個病原體經過一個小時可以分裂三次，每次分裂都會增加一倍，那么兩個小時之后能夠得到多少株病毒株？”在給學生創設完情境之后，教師可以引導學生利用信息設備模擬出病毒的分裂，讓學生先理解題目表達的含義，再讓學生將其建構成數學模型進行思考。對這類模型題目而言，需要學生找到數量之間變量的關系，學會將其轉化為數學知識。比如，需要學生發現其中的冪函數關系，以2000 為起始點，每次增加一倍。那么第一次就是2000（2）1……第二次分裂以此類推。在給學生指明學習方向之后，讓學生進行思考，能夠有效地提升學生的數學建模能力。

（四）貼近教材內容，模擬建模問題

教材作為學生能夠接觸到的最直觀的學習資源，其中涉及的知識內容是最符合學生認知的資源。教師應當充分利用好這部分知識，基于教材當中的例題進行改編，讓學生站在新的角度上思考實際問題，以合適的題目作為問題的背景，模擬建模的問題。在豐富學生所學內容的基礎上，提高學生的建模思維。

如果充分將教材當中的模型素材進行運用，會起到意想不到的教學效果。例如，在講解《正弦定理》這一部分的知識點時，教師可以在課堂的開始，從書本當中給學生挖掘這么一個題目。比如“在海面上，以燈塔為基準點，在正向60°的方向，有一艘正在以30海里每小時航行的漁船。漁船的正前方的30 海里，有一處暗礁。為了提醒這艘漁船在暗礁之前停下，燈塔處出動了一艘航海快艇，打算在暗礁之前攔下漁船。現在已知，漁船到燈塔的距離為30 海里，漁船與燈塔的夾角為30°那么快艇的速度需要達到多少？”這個題目相對較困難，其中的難點在于學生能否將此圖形進行合理地轉換，通過建模的思維將這些具體的坐標和事物聯系起來。為了強化學生對這一部分知識的理解，教師可以鼓勵學生動起手來，畫出相應的圖形。最后以正弦定理當中的比值公式算出燈塔到暗礁的距離，然后再除以一個小時，就能得出結果。

（五）開展課后活動，強化建模能力

真正培養學生的建模習慣，讓學生養成用數學眼光看待事物的能力是教師應當努力的方向。為此教師可以在課堂的開始給學生著重講解一些重要的知識點，然后再讓學生針對某些問題從零開始進行建模，將實際的生活現象建構出一個合適的模型，加強學生解決數學問題的能力。

例如，在進行教學《計數原理》這一章節的時候，由于本章節重點是讓學生掌握計算原理在實際生活當中的應用，強化學生的模型建構能力，教師就可以在教學當中，先給學生提出一個較簡單的數學模型問題。比如“書架的第1 層放著4 本不同的計算機書，第2 層放著三本不同的文藝書，第3 層放著兩本不同的體育書”那么隨機地在每層選擇一本書，一共有多少種搭配？先以這個最簡單的例子，讓學生利用手中現有的書本資源進行模擬練習，將其進行歸類。經過學生的實踐探索，能夠得出一共有24 種不同的搭配方法。這時候教師則可以引出一些值得學生課下思考的活動，比如“如果第1 層的書不選擇第1 本，第2 層的書不選擇最后一本。那么一共有多少種選法？”這個模型類的題目較以上而言難度更高，更值得學生在課下進行活動探索。以這種問題引發學生建模的興趣，提高學生應用數學的能力。

學校也可以在課后以班級為單位組織開展數學建模競賽，讓更多的學生積極參與到數學建模中來，從而激發學生進行數學建模的興趣，進而提高對數學學習的興趣，形成良好的數學學習氛圍，提高數學成績。這樣更有利于讓學生將數學知識與生活、與大自然，與物理化學等學科聯系在一起，體現數學在各個領域作為基礎學科的重要性。

（六）有效進行總結，鞏固培養成果

高中的數學學習過程較快，課程非常緊湊。所以，教師不能忽視了對學生學習成果的分析與總結，否則學生的數學思維能力不能得到有效地鞏固和提升。為了培養和鞏固學生數學建模思維和能力，教師要每隔一個階段，例如一次大型考試結束過后，對學生近期存在的問題進行分析總結，對一些存在的問題用數學建模的方法進行解決，達到鞏固的目的。

四、結語

總而言之，對于現階段的高中數學建模教學而言，如何讓學生認識到建模的實質，提高學生的建模思維是教師應當努力的方向。為了深化學生的建模思維，讓學生能夠將數學運用到實際的生活當中，教師應該在課堂的開始，為學生創設合理的模型情境，帶領學生深入到情境當中找到其中數量與實際意義的關系。接著再深度挖掘教材背后的知識，讓學生能在建模的過程中感受到數學的趣味性、實用性，以此提高學生學習數學的興趣。