滲透幾何直觀 優化概念教學
——以《有余數的除法》教學為例

張 艷

（湖北省武漢市江夏區明熙小學，湖北 武漢 430299）

《數學課程標準（2022 年版）》中明確提出：加強中小學學生幾何直觀。所謂幾何直觀，主要表現為用圖表描述、分析問題，能感知多種幾何圖形及其構成要素，根據圖形特征對它們進行歸類；按語言描述畫出它們對應的圖形、分析它們的屬性；用圖表分析實際情境及數學問題、探究解題思路等。幾何直觀能起到以簡馭繁、化抽象為具體的作用。在小學數學教學中，教師巧妙地運用幾何直觀有助于學生透過表象抓住問題實質，明晰思維路徑和預測問題結果。

數學概念教學在小學數學教學中歷來都是個難題，低年級小學生的思維還處在具體形象思維的階段，如何讓小學生掌握好抽象問題呢？這是教師需要思考的一個重要課題。解決這一難題的有效途徑就是將幾何直觀和以形助數等思想貫穿于概念教學之中，有助于學生對數概念認識的深化。

《有余數的除法》內容是表內除法內容的拓展與擴充。在日常生活中，通常只有少數能被完全整除，而其中有的除法有余數則占據了大部分，這也是今后深入地認識分劃法時的一種重要依據，同時這一類內容也越來越廣泛地應用在了人們日常生活當中。所以，學習這些基礎知識，有著承上啟下、舉足輕重的意義。

在實際教學中，教師除了要提供足夠多的較形象的素材，使得學生能夠形成清晰的外觀之外，還要以此為基礎，指導學生進行分析與對比，適時抽象地揭示概念的本質，從而使得學生能夠在積極構建數學概念的過程中加強對于有關概念的認知。現以《有余數的除法——例1》一課為主要案例，說明在數學課堂的教學過程中怎樣利用簡單直觀教學方法將傳統數學教育中那些抽象而又不易掌握的概念、定理，更直接地呈現給學習者，將其具體內容內涵更加完整地表達，以及在求解時的靈活性應用，使數學能更加生動而有趣，以此提高學習效率。

一、運用幾何直觀，使學習于不知不覺中開始

人教版數學教科書二年級下冊第六單元《有余數的除法——例1》一課為本單元起始課程。例1 前有一張單元主題圖（如下圖1 所示），展示了學生用十一根小棒分別擺正方形、三角形和五邊形，提出各能擺多少個？這一設計是將主題圖設計成“前置學習單”，讓學生通過自己作業將擺出來的結果寫在學習單上，他們頭一天便在家里獨立完成了作業，并且通過自己探究動手作業、親歷、感受知識的生成過程等。最后，應用所學的理論知識處理現實問題，學以致用。這一環節雖然容易，但能起到承上啟下、便于操作、激發興趣、作好鋪墊等作用。

圖1 有余數的除法單元主題圖

在練習中，同學們興趣盎然，主動積極地完成這項前置作業，提升了完成率。同時通過動手、口講、眼看、動腦思考、拼擺等方式，觀察和呈現分別剩三根、兩根和一根小棒的情況，強化“有剩余”意義上的認識，促進同學們多元表征能力培養。

二、充分利用幾何直觀，使學生在潛移默化中理解

孩子怎樣認識知識？孩子們思維過程有什么規律？心理學研究證明，小學階段的孩子認知水平正處在由具體直觀階段到抽象階段的過渡階段，他們的最大特點是，一定不能脫離形象具體事物作為支撐突破難點。如在《有余數的除法——例1》課堂教學中，通過兩次“課中學習單”的運用，讓學生在直觀操作后思考，實現概念的理解。

首先讓學生解決如下生活實際問題：“6 個草莓，每2 個擺一盤，能擺幾盤？”利用教師“課中學習單”上的指引，即動手操作擺一擺、把算式寫一寫、各部分名稱說一說的教學活動，讓學生自主思索、共同溝通后,寫出算式6÷2=3（盤），以此回顧“正好分完”。在這個過程中，教師相機將圖片、文字“正好分完”和算式都板書在黑板上，最后全班互動，通過問題“怎么用除法？”“這個算式表示什么意思”“這個意思還在哪里看到了？”通過對圖片、文字、擺置過程與算式對應關系的觀察、分析、交流，從而誘發學生的思維，體驗從直觀到抽象再從抽象返回直觀，落實“有來有回”教學。

接下來繼續借助操作“將7 個草莓，每2 個擺一盤，能擺幾盤？”，第二次運用“課中學習單。

1.畫一畫：將7 個草莓，每2 個擺一盤，可以擺（ ）盤，還剩（ ）個。

2.寫一寫：用算式表示分草莓的整個過程與結果。

3.說一說：算式中每個數的名稱。

用直觀的方式，看到“平均分仍有余量”，有利于學生對所學內容的理解，建立起多元表征的關聯，達到學生對數學概念真正地深入理解。解決“商”和“余數”單位名稱這一教學重難點。（見下圖2）

圖2 有余數的除法情景圖

學生可能會有的想法：

1.7÷2=3

2.7÷2=3 多1

3.7÷2=3 剩1

4.7÷2=3……1

師生一起交流各表示法優劣，最后確定：余數要表示出來，在數學上這樣規定（板書）

7÷2=3（盤）……1（個）

要做到使每個學生在潛移默化中掌握內容，既要求教師對教學經驗內容的整體掌握，更要求教師在課堂過程中精心設計和指導所學內容，使每個學生在遵循自身思維規律的數學知識進程中認知和歸納、抽象思考和總結，進而掌握知識點間的縱橫內在聯系，進而形成他們對數學知識的本質性認知。

三、借助幾何直觀，促使學生在循序漸進中掌握知識并形成技能

由理解知識轉變為掌握技能是學生在數學學習道路上的必經之路。掌握本領的過程不是一朝一夕就能完成的，更不是機械重復和單調操練的結果，它要使學生通過層層深入逐步掌握方法，形成本領。教師在教學中應充分利用直觀和比較的方法，對有余數除法和剛學過的表內除法兩種情形不斷進行比較展示。

如在探究活動結束后，教師趁熱打鐵引導學生對比觀察，歸納總結并提出問題：“今天分了兩次草莓，有什么異同？”通過獨立思考、小組交流，全班匯報，讓學生發現在現實情境中分物時的不同，以及今天學習的有余數的除法與以前學習的表內除法算式的橫式的對比，并通過追問“這兩種情況都是平均分嗎？余數表示了什么？”“進一步理解余數除法的含義。更引發了學生的數學思考，讓學生感受到原來數學知識并不是割裂的，而是相互之間存在著內在聯系。從而為合理建構知識網絡作支撐，而且也培養了他們的分析、比較和歸納能力。

以上內容，發揮了直觀模型圖示的功能，使抽象的余數知識更加簡單易懂，也有利于孩子對感性認識的積累，為他們進行抽象概念“余數”的含義做好了基礎。通過在之后的分析小結中，再通過直觀形象指導學生開展分析、對比和推論的練習，從而歸納概括出有余數除法的真正含義是什么。這樣不但可以帶動學生觀察力、分析抽象和遷移能力的提高，而且對于培養學生的直覺與洞察能力，也大有裨益。

四、借助幾何直觀，使知識技能在春風化雨中得到鞏固提高

構建了數學模式以后，要想讓他們對初建模式有較豐富的積淀，就必須讓他們懂得應用數學模型的方法解答，同時在解決的實踐中不斷地累積關于數學教育方面的知識，從而獲得關于數理建模方面的努力方法，并最終養成了運用數學模式方面的有關技巧，從而提高了數學知識水平和提高了數學素質。

例如，例題之后“做一做”的兩道題，第1 題的呈現由實物抽象成了圖形，學生幾何直觀持續在抽象、發展。第2 題的展示涉及平均分（含等分）的事物的2種情況，除了不斷鞏固有關知識之外，還能讓學生更深刻地感受到有余數除法中商與余數單位的用法。從而借助于“做一做”交流不同的表征方式以加深學生的理解。（見下圖3）

圖3 基礎訓練

課堂總結時教師可提問：“今天有什么收獲？”“對自已與同伴的表現怎樣評價？”“還有什么想了解的？”在學生總結時借助黑板上的直觀板書，能夠更好地幫助學生從知識上升為方法，從方法提升為思想，從思想拓展為素養。

在下節課《有余數的除法——例2》教學余數與除法的關系時，例2 借助于逐步加入小棒根數擺正方形這一活動，方便學生觀察、對比和進一步分析得出余數和除數之間有什么聯系——余數小于除數。尤其要在特定情境下理解“余數小于除數”的原理，并遵循“實踐—認知—再實踐”的認識規律，引導學生在親自動手中探究余數小于除數。擺的過程也可以作為前置作業，同時也是這節課的“課后學習單”。如表1：

表1 課后學習單

在下節課上，教師提問：9 根小棒，每4 根分一組，結果怎樣表示？

生：9÷4。

師：結合圖形來看，我們可以說說這道題中除法算式中的商的大小是多少呢？

生：2，分成兩組后又多出了一根小棒。

師反饋板書：9÷4=2……1，說明基本算理。

此時教師再適時抽象出帶余數除法中的橫、豎式兩部分，讓學生交流圖中各組成部分，從而使學生在表象能力的支撐下獲得真實經歷的體會，能對本來抽象的算理產生直觀清晰的認識。

例1——例3 的教學內容都是充分利用直觀和對比，幫助學生理解含義及關系，為后面的筆算教學領悟實質、奠定基礎。

“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。”數形結合的思維方式能恰到好處地將數與形之間互相轉換，將一個看似無從解答的提問簡潔化、明確化，給人“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之感。利用幾何直觀教學法可以讓一個問題，從不同方面相互襯托、相互轉化，實現教學過程優化。基于此，運用幾何直觀有助于學習者認識并把握更抽象的數學范疇，乃至對后面高度抽象概括的數學規律、復雜的數量關系，有著舉足輕重的意義。

五、總結

幾何直觀是《數學課程標準》中提出的核心概念之一。碰到較復雜和抽象的物體時，運用直觀方法，借助圖形對其進行描述刻畫，可更加易懂，這也是現代社會要培養的學生具備運用幾何直觀。在數學啟蒙教育過程中，教師尤其需要引導學生把握好數學問題解決策略，需要從小學生的認識規律入手，并從積極參與中獲得關于形狀的基本認識。在課堂教學中教師要注重學生最基本的生活經歷和生活經驗，注意引導孩子在實際生活中建構起關于形狀的經驗及其與認知間的聯系，要讓學生主動積極地投入到教學過程當中，借助一組又一組的直觀畫面從視覺上給予他們直觀上的理解，借助直觀畫面發展他們的思維能力、想象能力以及數學思考方法等，從而為其可持續發展奠定堅實的根基。