Nagumo條件下四階邊值問題解的存在性

鄧瑞娟

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241003)

0 引言

自然界中很多現(xiàn)象都有微分方程與之相對應(yīng)，因此對這些復(fù)雜微分方程解的研究一直都在繼續(xù)，其中非線性常微分方程就是研究中的一大熱點(diǎn).非線性常微分方程被大量地應(yīng)用于核物理、生物數(shù)學(xué)、動力學(xué)、彈性梁等各個(gè)領(lǐng)域，正是因?yàn)榉蔷€性常微分方程廣泛的應(yīng)用背景，對其解的研究引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注.雖然絕大多數(shù)非線性常微分方程沒有辦法給出解析解，但只要有解的存在性結(jié)論，就可以運(yùn)用數(shù)值方法得到方程的近似解.其中，對于二階、三階邊值問題各界學(xué)者的討論已經(jīng)非常充分[1-5]，如鄧正平[5]運(yùn)用各種不動點(diǎn)理論，分別討論了在非線性項(xiàng)f滿足一次增長、超線性增長、次線性增長等不同條件下方程

u?(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈R

的2π-周期解的存在性.

關(guān)于四階邊值問題研究也有一些成果[6-8]，如在文獻(xiàn)[6]中，筆者運(yùn)用特殊的導(dǎo)數(shù)估計(jì)技巧研究了方程

的四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性.

但是目前對于具有四階常微分算子Lu(t)=u(4)(t)+a3u?(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)的邊值問題

(1)

解的存在性討論的并不多.本文受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，在非線性項(xiàng)f滿足一定的增長條件下，運(yùn)用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理討論邊值問題(1)解的存在性.

1 預(yù)備知識

本文始終假設(shè)邊值問題(1)滿足如下條件：

(H1)對于?M>0，都存在gM∈C+(R)滿足：

(2)

使得f(t,x,y,z,w)對于(t,x,y,z,w)∈[0,1]×[-M,M]3×R，滿足：

(H2)存在非負(fù)常數(shù)b0，b1,b2,b3，滿足b0+b1+b2+b3+a2-a0<1,b1≥a0,C0>0,使得非線性項(xiàng)f(t,x,y,z,w)滿足：

f(t,x,y,z,w)z≥-b0x2-b1y2-b2z2-b3w2-C0，(t,x,y,z,w)∈[0,1]×R4.

設(shè)h∈L2(I)，首先考慮如下四階線性微分方程邊值問題:

(3)

記P(λ)=λ4+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0為四階線性微分算子L對應(yīng)的特征多項(xiàng)式.

引理1 假設(shè)P(2πki)≠0,k=0,±1,±2,…，對于?h∈L2(I)，四階邊值問題(3)存在唯一解u=Sh∈H4(I)，且解算子S∶L2(I)→H4(I)為線性有界算子.

假設(shè)u∈H4(I)為邊值問題(3)的解，則u(m),m=0,1,2,3,4,可展開為L2(I)中的傅里葉級數(shù)，根據(jù)傅里葉展開及其系數(shù)的相關(guān)公式u(m),m=0,1,2,3,4,可展開為

(4)

(5)

另一方面，對于?h∈L2(I)易驗(yàn)證由(5)式確定的u(t)為線性方程(3)的解.綜上所述，u=Sh為邊值問題(3)的唯一解，且由(5)式可知，S∶L2(I)→H4(I)為線性有界算子.

證明 設(shè)u∈H4(I)為邊值問題(1)的解，對引理1中(4)式運(yùn)用Parseval等式，可得到

于是有

證明 假設(shè)存在M1>0，使得

(6)

在上述不等式兩邊乘以u?(t),u?(t)>0，可得到

對上式兩端在[t2,t1]上積分，并在兩端取ρ=u?(t)，可得到

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)P(2πki)≠0,k=0,±1,±2，…，連續(xù)函數(shù)f∶[0,1]×R4→R滿足條件(H1)和(H2)，則邊值問題(1)至少有一個(gè)解.

證明 假設(shè)F(u)(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t))，由f的連續(xù)性可知，F(xiàn)∶C3(I)→C(I)也連續(xù)，且把有界集映射為有界集.

定義算子A=S○F，其全連續(xù)性可由引理1及C4(I)→C3(I)的緊性直接得出.下面運(yùn)用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理證明邊值問題(1)解的存在性.根據(jù)算子S的定義，只需證明A在C3(I)中存在不動點(diǎn).為得出這一結(jié)論，考查同倫簇方程

u=λAu,λ∈(0,1).

(7)

設(shè)u∈C3(I)為方程(7)的解，其中，λ為(0,1)中某個(gè)特定的常數(shù)，則u=λAu=λSF(u)=S(λF(u)).根據(jù)S的定義，u即為方程(3)的唯一解，其中，h=λF(u).因此，u∈C3(I)滿足如下方程：

u(4)(t)+a3u?(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)=λf(t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)).

先將上述微分方程兩端同時(shí)乘以u″(t)，然后在[0,1]上積分，再結(jié)合u(k)(0)=u(k)(1),k=0,1,2,3和條件(H1)，得到

經(jīng)過整理可得

(8)

結(jié)合(8)式并運(yùn)用引理2，有

可見，u在H3(I)中有界.于是有

則同倫簇方程的解集在C3中有界，此時(shí)A中C3存在不動點(diǎn)，而該不動點(diǎn)即為邊值問題(1)的解.

例1 考慮如下四階邊值問題：

且b1≥a0,C0>0.由定理1可得，微分方程至少有一個(gè)解.

上述例題具有四階線性常微分算子，同時(shí)非線性項(xiàng)f具有u″(t)和u?(t)，因此，解的存在性結(jié)論無法從其他文獻(xiàn)獲得.