具p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分脈沖邊值問題解的存在性與唯一性

盛世昌，胡衛(wèi)敏，2

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆 伊寧 835000)

0 引言

1695年Leibniz和L’Hospital首次提出了分?jǐn)?shù)階微分和積分.分?jǐn)?shù)階微分的第一個(gè)定義是在19世紀(jì)末，由Liouville和Riemann定義的非整數(shù)微分和積分的概念.分?jǐn)?shù)階微分是傳統(tǒng)整數(shù)階微分的推廣.分?jǐn)?shù)階微分是描述各種材料和工藝的記憶和遺傳特性的極好工具.因此，分?jǐn)?shù)階微分方程的研究越來越受到重視.研究分?jǐn)?shù)階微分方程需要借鑒整數(shù)階微分方程的研究，整數(shù)階的微分方程中關(guān)于p-Laplacian算子和脈沖邊值條件的文獻(xiàn)見[1-4]，分?jǐn)?shù)階微分方程的研究中，關(guān)于帶p-Laplacian算子的方程研究已取得不少成果[5-10]，關(guān)于脈沖邊值條件的問題研究也逐漸增加[11-17]，而關(guān)于p-Laplacian算子和脈沖邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程文獻(xiàn)較少.本文討論一個(gè)具p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程脈沖邊值問題解的存在性，用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理給出了解的存在性與唯一性的充分條件.

CHAUHAN[5]討論了具p-Laplacian算子非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的脈沖邊值問題：

(1)

WANG[6]分析了具p-Laplacian算子的脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

(2)

BAI[7]用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題：

(3)

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文討論具p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程值問題：

(4)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[13]函數(shù)f∶[0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分是指

其中，右邊是在[0,+∞)逐點(diǎn)定義的.

定義2[13]函數(shù)f∶[0,+∞)→R，α>0,α階Caputo型分?jǐn)?shù)階微分是指

f(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[α]+1.

引理4[16](Arzela-Ascoli定理)K?PC(J,R)是相對(duì)緊的，當(dāng)且僅當(dāng)任何函數(shù)u(t)∈K在J上一致有界，在Jk上是等度連續(xù)的.

引理5[16](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)D?X是有界凸閉的(D不一定存在內(nèi)點(diǎn))，T∶D→D是全連續(xù)的，則T在D中存在不動(dòng)點(diǎn)，即存在x*∈D，使得Tx*=x*.

引理6 設(shè)φq(f(t,u(t)))∈C(J×R,R),u∈PC(J)是邊值問題(4)的解等價(jià)于u是如下積分方程的解.

(5)

證明 設(shè)u是方程(4)的解，對(duì)方程兩邊同時(shí)做α階積分，由引理1可得

當(dāng)t∈Jk時(shí)，存在常數(shù)ak,bk∈R，

(6)

由邊值條件u(0)=0,u′(1)=0可得

(7)

由右脈沖條件可得

(8)

由(7)可得

由左脈沖條件可得

ak+bktk=ak-1+bk-1tk+yk,

由(8)可得

由(7)可得

因此，對(duì)?j=1,2,…,m,有

將其代入(6)中，可得方程(5).

反之，設(shè)u滿足(5)，通過直接計(jì)算可知，u是(4)的解.

2 解的存在性

定義T∶PC(J,R)→PC(J,R),

其中，t∈(tk,tk+1],k=0,1,2,…,m.

由引理6可知，T的不動(dòng)點(diǎn)是方程(4)的解，下面用Schauder壓縮映像原理證明.

由于φq(f(t,u(t)))∶J×R→R是連續(xù)映射，顯然T是將J×R中的有界集映到R中的有界集.

第一步，要證TBr?Br.

對(duì)于u∈Br,t∈J′可得到

第二步，下證T是一個(gè)緊映射.

對(duì)?u,v∈Br,t∈J′，可得到

因此，T是緊映射.由上述證明，根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得，T有不動(dòng)點(diǎn)，也就是方程(4)的解.

3 舉例

設(shè)，u,v∈[0,∞),t∈[0,1]，顯然，

由定理1可得，此方程存在唯一的解.