數形結合 凸顯本質
——論小學高年級學生幾何直觀能力的培養

■福建省莆田市城廂區東海東蔡小學 王順清

直觀想象能力是數學核心素養的重要組成部分，指通過空間想象能力和幾何直觀表現，感知事物的發展變化規律，利用空間形式，尤其是圖形的理解力解決數學問題的素養，其中直觀想象能力就包含幾何直觀能力，因此，幾何直觀能力是小學生發展數學核心素養的一種重要能力。小學高年級是培養學生幾何直觀能力的起點，這個階段的學生處于具體運算時期向形式運算時期的轉變過程，學生的抽象思維在逐步萌芽階段，結合其直觀思維已經能獨立地利用具體事物進行運算。在直觀思維充分發展的前提下，部分高年級學生抽象思維能超過萌芽階段。在小學階段對學生進行幾何直觀能力培養，有助于其將復雜的數學幾何問題轉化為簡單明了的邏輯思維問題。此外，幾何直觀能力不只是在數學學科考試中占有較大比重，也會隨著課程的增加會逐步滲透各個學科中，尤其是以物理、化學兩門自然學科，這才有了“學好數理化，走遍天下都不怕”的認知。教師應認識到幾何直觀能力培養的重要性，這不僅有助于學生將復雜問題簡單化，也關乎學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等能力的發展，還影響著學生的成績。

小學高年級學生幾何直觀能力培養的影響因素較為多元，包括學生因素、教師因素、家庭因素、學校因素等，其中最主要的是學生因素中的非智力因素和學習策略因素。為了真正提升小學高年級學生的幾何直觀能力，教師需不忘初心，讓幾何落地生根，注重激活非智力因素，以及尊重學生主體。

一、幾何直觀能力的核心概念界定

對幾何直觀能力的分析解答，要先認識到其概念的復合性，將其拆分為基本概念認知梳理，最后再總結。

第一是對“幾何”的闡述，“幾何”即“幾何學”，被認為是數學學科中的一門分支，意為對物體位置關系，大小比較，形狀變化進行研究的學科。2000年美國數學教師協會（NCTM）則認為幾何是“三維空間存在的幾何概念的簡單認知，并探究簡單幾何圖形性質，從而識別實物異同的過程”。可以看到，美國教師協會的幾何定義在知識概念的基礎上加入了技能，是一個綜合性的概念，這同新課標規定的幾何概念界定不謀而合。

第二是對“直觀”的認知。顧名思義，“直”意為直接、直達，“觀”則是感觀，總結起來，“直觀”是人通過感受器官與外界直接接觸事物后，不經過任何間接加工手段，產生感受、知覺、表達等反映形式的過程。這一過程可以借助經驗、測試和聯想延伸，也可以直接觀察；可以感性也可以理性；可以抽象也可以具體，并無一個具體明確的要求。反映到幾何直觀上，就不能單純地認為只是一種“幾何圖形帶來的感性認知”，它更強調了人腦在識別客觀事物發展和猜想聯系的一種狀態摸索，進而對數量關系和空間形式整體把握的統籌觀念與能力。這一總結也貼近教學實踐和學生現狀，從更高的著眼點定義幾何直觀。

第三解釋“能力”這一概念，指人在完成一項界定目標或任務中體現綜合素質，尤其強調了推進任務順利完成的心理特征作用，以其活動領域分為一般能力、特殊能力、創造能力、超能力等。有學者簡單地把能力高低歸結為智力高低，這種總結是片面的。能力與智力應該是相互依存，共生互補，放在數學層面上，以數學核心六內涵為基礎，囊括一切直觀元素和表征現象，深入思考后解決數學學習的問題的一種能力，稱為“數學直觀能力”。

綜上所述，可以給出幾何直觀能力的定義：運用聯想或直接觀察所得的圖形、實物、標志，加以分析和思考后得出數學問題，并加以解決后進行歸納、總結、提升的能力。對此定義的認知也為后續現狀分析和策略提出提供理論依據。

二、小學高年級學生幾何直觀能力培養現狀

（一）水平、要素及內容現狀

現階段，小學高年級學生幾何直觀能力整體處于中等偏上的水平，且受性別影響，具體到水平、要素及內容現狀，卻存在較大的差異。就水平維度說，大部分學生能利用幾何直觀感知問題、表現問題，但能利用幾何直觀分析問題的不多。就要素維度說，由于小學高年級學生日常學習生活接觸的幾何圖形直觀問題較多，因此，對幾何圖形直觀問題解決的程度強于圖片直觀和符號直觀。具體而言，在涉及圖片直觀時，存在思維的連貫性較為欠缺的問題；在涉及符號直觀時，存在作圖習慣差、作圖不嚴謹、作圖不靈活等問題，學生以數學語言表達數學知識的能力還有待加強。就內容維度說，在圖形與幾何、數與代數、統計與概率、綜合運用四個部分中，統計與概率、圖形與幾何兩部分學生的答題正確率最高，原因在于相關知識大量以圖形、圖表呈現，直觀性很強，數與代數、綜合運用兩部分則較為抽象，學生使用幾何直觀方法解決相應問題的意識、能力都相對薄弱。

（二）五六年級的差異性

從整體上看，五六年級幾何直觀能力不存在顯著的差異。但具體到幾何直觀知識和方法掌握的熟練度上，六年級學生是強于五年級的。在水平維度上，相比五年級，六年級學生無論是在知識經驗基礎還是學習心理上，都是明顯占優的。但在五年級學習剛剛學習的新知識中，六年級學生的優勢并不明顯，這也說明及時復習對學生幾何直觀能力的重要意義。在要素維度上，六年級學生無論在數學知識還是技能方面，都是明顯占優勢的，但在圖片直觀上，六年級學生的優勢并不明顯，這需要教師進行額外的關注。在要素維度上，六年級學生不僅在數學知識和技能上比五年級學生強，而且已經深入學習了如何運用分數乘除法解決問題，在數與代數等方面是遠遠強于五年級學生的。五六年級的差異性，需要教師采取差異化的教法和引導方式，幫助學生補齊短板，提升綜合能力。

三、小學高年級學生幾何直觀能力培養的影響因素

小學高年級學生幾何直觀能力培養的影響因素有學生因素、教師因素、家庭因素、學校因素等，下文將詳細闡述學生因素、教師因素兩個部分。

（一）學生因素

學生因素是小學高年級學生幾何直觀能力培養的最主要因素，畢竟，幾何直觀能力培養的主體是學生。在學生因素中，非智力因素和學習策略因素的占比較大。對前者，分為元認知策略、認知策略、尋求支持策略、策略意識和策略情感五部分，上述策略越高，學生幾何直觀能力就越強，反之亦然。對后者，主要涉及學生的興趣、情感、意志、動機，比如，學生喜歡上數學課、喜歡了解幾何直觀方面的知識甚至希望在數學領域取得一定成就，那么幾何直觀能力就越強。這種正相關現象也是學生能力培養的最大內在動因，這也側面印證了“興趣是最好的老師”這一觀點。

（二）教師因素

教師是小學高年級學生幾何直觀能力培養的引路人。教師采用怎樣的教法方法、對幾何直觀能力的認知程度以及與學生的關系等，都會深入影響學生幾何直觀能力培養。以師生關系為例，如果一個班上的學生都喜歡數學教師、喜歡上數學教師的課，那么就越能對教師的畫圖分析等教學方法產生進一步的理解和感知，教師也愿意將更多的理論和思考傳遞給學生，而不是僅僅給出一個正確答案。反之，如果一個班上很多的學生不喜歡數學教師、不喜歡上數學教師的課，那么學生就不愿理解教師培養學生幾何直觀能力的具體教學目標、內容和措施，從而導致教學失去了針對性。另外，隨著二十一世紀互聯網和大數據的興起，形形色色的多媒體教學工具逐漸進入教師的視野，教師要能利用這些科技帶來的便利，并將其轉化為幫助學生理解幾何課程的助力，更形象、更生動地涵蓋所要傳授的內容知識。要注意的是，教師利用多媒體教學不代表要全權依靠多媒體教學，對一些傳統的優良教學方法也要結合著用，雙管齊下，教學效果才會有明顯提升。

四、對策與建議

為了真正提升小學高年級學生的幾何直觀能力，必須從“教”與“學”兩方面入手，對此，筆者提出以下幾點對策。

（一）不忘初心，讓幾何落地生根

學校應該看到幾何直觀能力是小學高年級學生發展數學核心素養的重要組成，認識到幾何直觀能力培養對小學高年級學生的重要作用，不忘初心，讓幾何落地生根。第一，學校應積極開發培養小學高年級學生幾何直觀能力的新課程，強調課程內容的應用性和形式的多元性。比如，針對六年級學習的“比例和圖形”，教師可以設計一堂“我來畫學校”的活動課，讓學生通過畫草圖、實地測量和比例換算，最終完成一幅學校的地圖，讓其在動手動腦中實現幾何直觀能力的提升。此外，要加強教師隊伍對幾何直觀的認知程度，正如上文所述，盡管當前小學高年級學生幾何直觀能力整體處于中等偏上的水平，卻在水平、要素及內容上存在明顯的差異性。因此，學校應從學生的長遠發展出發，讓教師對這種差異性保持清醒的認知，加強自身的理論修養和實踐能力，并提供相關的規劃課題，帶動整個教師隊伍。第二，應強調教師主導發揮作用。一是要加強理論知識學習，明晰幾何直觀的內涵，理解幾何直觀的意義。教師要利用好新課標和各種參考文獻，從自身教學實際出發，關注和研究學生在幾何直觀上存在的問題，進行分析、思考，然后研讀新課標和各種參考文獻中的解決辦法、具體案例及實施意見，再將其實踐與平日的課堂教學中，有意識地引導學生用幾何直觀的方式解決問題，進而理解“幾何直觀能力的意義是什么？”“過往教學存在的問題是什么？”“教師應該怎樣教？”二是加強空間觀念的培養。教師要有在平日的教學中有意識地滲透、體現幾何直觀能力，比如，在講授“長方體的表面積”一課時，教師可以借助教學用具、紙盒紙箱等實物讓學生對長方體表面積組成有一個初步的認知，再讓學生動手“分解”一個長方體，利用幾何直觀分析問題。

（二）注重激活非智力因素

非智力因素對小學高年級學生幾何直觀能力培養的影響很大。為此，教師必須充分重視起學生的興趣、情感、意志、動機等，既讓學生對幾何直觀感興趣，又要對教師有親近感。這就要求教師要提升教學素養，古語有云：“身正為師”“十年樹木，百年樹人”。學生學習是一個長周期的過程，教師的一言一行規范與否都會對學生的后續學習產生深遠影響。誠然在當今推行素質教育的大背景下，一線教師的教學素養有了極大提升，但對形成閉環的素養框架還仍有差距。教師必須時刻反思，發揮良好的示范作用，引導學生時時刻刻養成規范良好的學習習慣。例如，在畫圖過程中，教師規范使用直尺、圓規等作圖工具，用自己的實際行動影響學生。這種影響可以有助于提升學生的學科成績和加強學生能力的培養，還能影響學生之后的人生軌跡，帶來的好處毋庸置疑。同時，教師可以增強自己的人格魅力，提升在學生心目中的影響力、感召力，從而使每一節課都事半功倍。比如，在執教的“圓的周長”這堂課時，教師可以創設實物情境，帶來瓶蓋、膠帶、鐘表等有圓形的實物，讓學生進行觀察和測量，對學生的突發奇想，對身邊的看起來不算規范圓形物體進行測量，要持有包容的態度，提醒他們這些不是標準的圓形，測量的誤差可能會比較大，既讓學生感受到數學的嚴謹性，又讓學生感受到數學的趣味性。

（三）尊重學生主體

小學高年級學生幾何直觀能力培養中，教師只是引路人，學生才是真正的主體。為此，教師必須給予學生充分的理解和尊重。首先，要意識到“教育是慢的藝術”，小學高年級學生幾何直觀能力的培養不是一蹴而就的，而需要一段時間的堅持。因此，教師需在每次教學中設定一個主題，給學生一定的時間觀察、想象和思考。比如，在“圓柱的認識”這堂課中，教師可以先給定“圓柱體”這一主題，讓學生觀察、想象并動手畫一畫，提升學生對其的感知力。其次，要充分利用多媒體課件等手段，不僅要突出其直觀性、便捷性，更要標準、耐心地示范，不能因課件方便就進行“快餐式”“填鴨式”教學，以使學生跟上教師的思維節奏。再次，要重視學生本身的發展。筆者在課堂觀察中發現，一些教師存在急于推進課程，忽視學生學習、發展規律的問題。比如，在“圓柱的認識”這堂課中，有些教師雖然采用了符號，幫助學生直觀地理解知識，但沒有留給學生充分的時間觀察、動手作圖、理解和思考。對此，教師必須重視學生本身的發展，在課堂教學中，應標準、耐心地示范。比如，在繪制線段圖分析解決問題時，應把握好學生的思維節奏，注意學生出現次數較多的問題，盡量避免“直接給答案”或直奔方法講解，而應“啟發再啟發”，為學生留足夠的時間動手作圖、理解數量關系、感受用數學語言表達信息的過程。

五、結語

總之，幾何直觀能力是小學高年級學生發展數學核心素養的重要組成。本文從小學高年級學生幾何直觀能力培養現狀出發，提出非智力因素和學習因素是影響這一能力的主要因素，并從“教”與“學”兩方面提出針對性建議，以真正提升小學高年級學生的數學素養。