高中物理碰撞及“類完全非彈性碰撞”問(wèn)題的巧析

陳達(dá)超 樊佳歡

（江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌 330022）

1 對(duì)于碰撞問(wèn)題的理解

1.1 碰撞分為彈性碰撞、非完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞

（1）彈性碰撞：碰撞后的兩個(gè)物體都快速地恢復(fù)了原來(lái)的形狀，只有能量的轉(zhuǎn)移而沒(méi)有能量的轉(zhuǎn)化，此過(guò)程中機(jī)械能是守恒的，動(dòng)量也守恒。

（2）非完全彈性碰撞：能量損失一小部分，機(jī)械能不守恒，但動(dòng)量還是守恒的，兩個(gè)物體的形狀不能完全恢復(fù)，有部分能量轉(zhuǎn)化為熱能了。

（3）完全非彈性碰撞，兩個(gè)物體相碰后不分開(kāi)，連在一起了，動(dòng)能損失最大，機(jī)械能不守恒，但動(dòng)量還是守恒的。碰撞發(fā)生的過(guò)程伴隨著聲、光、熱等的產(chǎn)生，系統(tǒng)總機(jī)械能因此而損失。

1.2 教學(xué)中遇到的問(wèn)題

（1）教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往不能很好地理解什么時(shí)候是動(dòng)量守恒，什么時(shí)候是機(jī)械能守恒。

（2）由于彈性碰撞、非完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞過(guò)程中的現(xiàn)象不明顯，會(huì)對(duì)學(xué)生的理解造成極大的困難。

（3）教師在平時(shí)講授碰撞問(wèn)題的過(guò)程中傾向于用數(shù)學(xué)化的推導(dǎo)來(lái)得出碰撞的結(jié)論而忽視了碰撞中的物理過(guò)程，從而使得學(xué)生難以從物理的角度去理解碰撞過(guò)程中的物理現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于碰撞問(wèn)題的理解模糊不清，甚至產(chǎn)生偏差。

1.3 對(duì)于碰撞問(wèn)題的深入理解

（1）針對(duì)學(xué)生對(duì)于碰撞過(guò)程中遇到的理解困難問(wèn)題，教師在教學(xué)碰撞問(wèn)題的時(shí)候可以采用下類裝置來(lái)便于學(xué)生理解碰撞中的物理過(guò)程。如圖1所示，在碰撞的兩個(gè)小球之間安裝一個(gè)彈簧，當(dāng)A球開(kāi)始接觸到彈簧，并且開(kāi)始擠壓彈簧直到A、B兩球達(dá)到共速的時(shí)候，可以清晰地觀察到A、B兩球中間的彈簧被擠壓而縮短，這時(shí)候說(shuō)明彈簧具有一定的彈性勢(shì)能。同時(shí)還能知道，只有當(dāng)A、B兩球共速的時(shí)候彈簧的縮短量是最大的。因此A、B構(gòu)成的系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，并且由于能量守恒可以知道碰撞前系統(tǒng)的機(jī)械能大于碰撞后的機(jī)械能。由此可以得出當(dāng)A碰撞B達(dá)到共速的時(shí)候，機(jī)械能是不守恒的，并且機(jī)械能的損失是最大的，即完全非彈性碰撞。這樣的教授過(guò)程可以使得學(xué)生更好地觀察到碰撞過(guò)程中的物理過(guò)程，而不是讓學(xué)生的注意力完全集中在數(shù)學(xué)計(jì)算上。

圖1 小球碰撞模型

（2）同時(shí)可以知道當(dāng)A球和B球分開(kāi)的時(shí)候，彈簧是處于原長(zhǎng)的狀態(tài)，所以彈簧是不具備彈性勢(shì)能。由此可以知道這種碰撞是沒(méi)有機(jī)械能損失的，即完全彈性碰撞。

（3）彈簧有擠壓，但是沒(méi)有擠壓到最短的位置，這時(shí)候彈簧具有彈性勢(shì)能，但具有彈性勢(shì)能并非是最大狀態(tài)，即非完全彈性碰撞[1]。

通過(guò)上述的方法，可以把碰撞過(guò)程中的物理過(guò)程放大，使得學(xué)生理解碰撞過(guò)程中的物理過(guò)程，明白原來(lái)機(jī)械能的損失是由于小球碰撞過(guò)程中的小球形變產(chǎn)生的。有的小球在碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的形變?cè)谂鲎步Y(jié)束后可以恢復(fù)原來(lái)的形狀，這就相當(dāng)于圖1中的彈簧可以恢復(fù)原長(zhǎng)，不產(chǎn)生機(jī)械能的損失，屬于彈性碰撞。有的小球在碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的形變?cè)谂鲎步Y(jié)束后不可以恢復(fù)原來(lái)的形狀，這就相當(dāng)于圖1中的彈簧壓縮到最短的情況，產(chǎn)生機(jī)械能的損失最大，屬于完全非彈性碰撞。有的小球介于這兩者之間，屬于非完全彈性碰撞。

1.4 完全非彈性碰撞的深入理解

通過(guò)上面的解析，可以明白完全非彈性碰撞是有機(jī)械能損失的，且機(jī)械能的損失是最大的。在此基礎(chǔ)上結(jié)合高中物理碰撞類題目可以發(fā)現(xiàn)，高中物理題目中完全非彈性碰撞的能量損失只涉及熱能和形變所產(chǎn)生的能量的損失。因此在本文中不討論由于光、聲等因素導(dǎo)致完全非彈性碰撞中機(jī)械能的損失。

高中題目中由于物體形變及發(fā)熱引起的系統(tǒng)機(jī)械能損失模型如下：模型1和模型2就是經(jīng)典的完全非彈性碰撞的物理模型。在模型1中機(jī)械能的損失是由于球體發(fā)生形變并且不能恢復(fù)而產(chǎn)生的，而模型2中的機(jī)械能損失是由于子彈在物塊中摩擦生熱而導(dǎo)致的。結(jié)合上面圖1的模型，都可以把模型1中由于球體形變而損失的這部分機(jī)械能和模型2中由于摩擦而損失的這部分機(jī)械能理解為儲(chǔ)存在了圖1模型中的彈簧內(nèi)，且這部分儲(chǔ)存的能量不能再次釋放出來(lái)。

模型1：A、B兩球質(zhì)量都為m1，碰撞前A球以v0速度碰撞B球，碰撞后A、B兩球都以v的速度共同向右運(yùn)動(dòng)。

模型2：子彈質(zhì)量為m，初速為v0，射向一質(zhì)量為3 m的物塊，之后它們以速度v共同向右運(yùn)動(dòng)。

1.5 “類完全非彈性碰撞”的深入理解

類完全非彈性碰撞是指具有完全非彈性碰撞的特點(diǎn)，即碰撞后物體達(dá)到共速，但在碰撞的整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能卻是守恒的。因此本文中將這類題型定義為“類完全非彈性碰撞”問(wèn)題。其典型模型就如圖2所示：小球A與小球B之間存在一個(gè)彈簧，小球A以初速度v0碰撞靜止的小球B，當(dāng)A、B兩球達(dá)到共速的時(shí)候，A、B小球構(gòu)成的系統(tǒng)損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，系統(tǒng)過(guò)程的機(jī)械能不變，這樣的模型我們將其定義為“類完全非彈性碰撞”。

圖2 類完全非彈性碰撞模型

2 完全彈性碰撞及“類完全非彈性碰撞”問(wèn)題的巧析

高中階段有大量的完全非彈性碰撞及“類完全非彈性碰撞”的題目，許多學(xué)生對(duì)于這類題目難以下手，因此下文中針對(duì)這兩類題型進(jìn)行巧析，希望對(duì)讀者有所啟示。

2.1 完全非彈性碰撞問(wèn)題的巧析

通過(guò)上文中對(duì)完全非彈性碰撞的深入理解，筆者知道了在完全非彈性碰撞的題目中可以把系統(tǒng)損失的那部分機(jī)械能認(rèn)為是儲(chǔ)存在圖1模型中的彈簧中，并且這部分能量是取不出來(lái)的。并且結(jié)合高中物理完全非彈性碰撞的題目，可以發(fā)現(xiàn)，高中物理完全非彈性碰撞的題目只涉及碰撞過(guò)程中由于發(fā)熱而導(dǎo)致機(jī)械能損失的計(jì)算。這就意味著學(xué)生在解題的時(shí)候可以把這份損失的能量和題目所要求的量建立起聯(lián)系來(lái)，從而解出答案，使得解題過(guò)程和思維難度都有所降低[2]。例如，在例題1中就可以用該方法進(jìn)行求解。

例題1：如圖3所示，一質(zhì)量為m=1 kg的物塊A放在一質(zhì)量為M=2 kg的凹槽B物體上，A、B之間的摩擦系數(shù)為0.2。當(dāng)物塊A以初速v0=6 m/s向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，A物塊在凹槽B中與凹槽B發(fā)生反復(fù)的碰撞最終與凹槽B一起達(dá)到共速，求此過(guò)程中A物塊運(yùn)動(dòng)的路程。

圖3 完全非彈性碰撞例題

解析：由于A物塊一開(kāi)始有速度，而凹槽B沒(méi)有速度，最終兩物體一起共速向右運(yùn)動(dòng)，且A、B之間存在摩擦力，由此可以知道A、B過(guò)程的系統(tǒng)符合完全非彈性碰撞的模型。并且可以通過(guò)動(dòng)量守恒定律算出其碰撞前后的速度，進(jìn)而算出系統(tǒng)碰撞前后機(jī)械能的損失量。有了機(jī)械能的損失量，再把這一能量和題目所求的物理量聯(lián)系起來(lái)，最終得出答案。

得v=2m/s，

得機(jī)械能的損失量ΔE=12J，

A、B之間的摩擦力f=mgμ=2N

所以s=ΔE/f=6 m

2.2 “類完全非彈性碰撞”問(wèn)題的巧析

通過(guò)對(duì)上文中的完全非彈性碰撞的深入理解我們知道了，所有的完全非彈性碰撞都可以把它們損失的那部分能量看成是存儲(chǔ)在了圖1模型中的彈簧里，只是在完全非彈性碰撞中不能把儲(chǔ)存在彈簧里的這部分能量給取出來(lái)。但在某些“類完全非彈性碰撞”的題目中這部分能量就能再次釋放出來(lái)，且在整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能是守恒的，所以可以把這類題目看成是完全非彈性碰撞進(jìn)行求解，因此本文把這類題目稱為“類完全非彈性碰撞”題目。例如，例題2就是一種“類完全非彈性碰撞”的題目。

例題2：如圖4所示，小球A和1 4圓弧面的實(shí)驗(yàn)小車，原來(lái)靜止在光滑的水平地面上，一個(gè)質(zhì)量m=1 kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以v0=10m/s的水平速度沖上小車，小車質(zhì)量M=4 kg，其左端水平且距地面高度h=0.2 m，g取10 m/s2，求小球沖上小車后能上升的最大高度？

圖4 類完全非彈性碰撞例題

在該題中，沒(méi)有涉及彈性形變和摩擦生熱從而導(dǎo)致機(jī)械能損失的情況，因此把小球和小車看成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的。但是由于小球滑上小車并在小車右端開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小球與小車以共同的速度向右運(yùn)動(dòng)，因此可以把這個(gè)問(wèn)題看成是“類完全非彈性碰撞”的問(wèn)題來(lái)解決[3]。

解析：小球A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，A和B在水平方向上合外力為零，在水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒。在最高點(diǎn)處，小球A和圓弧軌道B共速，故可知mv0=（m+M）v，此時(shí)v為小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)小球和車的速度。把小球和車看成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)損失的動(dòng)能Δ全部轉(zhuǎn)換為小球A的重力勢(shì)能。由此我們可以得到h=1.47m。

在該題目中，雖然系統(tǒng)的機(jī)械能沒(méi)有損失，但是依然可以近似地認(rèn)為小球和小車發(fā)生的是完全非彈性碰撞，且把系統(tǒng)中損失的動(dòng)能儲(chǔ)存在了小球的重力勢(shì)能中。結(jié)合圖1的模型就可以理解為，小球碰撞小車最終達(dá)到共速，而小球的重力勢(shì)能就相當(dāng)于模型中的彈性勢(shì)能。

通過(guò)上面的分析可以清晰地知道在“類完全非彈性碰撞”的題目中，雖然沒(méi)有涉及系統(tǒng)機(jī)械能的損失，但是依然可以近似地認(rèn)為系統(tǒng)是在做完全非彈性碰撞，且系統(tǒng)損失的動(dòng)能以另外別的能量形式給儲(chǔ)存起來(lái)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文從對(duì)碰撞問(wèn)題的分析理解上努力讓學(xué)生明白什么是完全彈性碰撞、非完全彈性碰撞及完全非彈性碰撞，并從物理學(xué)的角度解釋了完全非彈性碰撞機(jī)械能損失的原因。同時(shí)介紹了高中物理中常見(jiàn)的完全非彈性碰撞及“類完全非彈性碰撞”的模型，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合高中物理常見(jiàn)的題目巧析這兩類題型，希望能夠給予廣大的教師或?qū)W生以啟迪。