“互聯網+”背景下“一階線性微分方程”混合式教學探析

別群益 楊雯靖 周艷平

（三峽大學理學院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

常微分方程中“一階線性微分方程”是最基本也是最常見的一類方程。不論是數學專業的常微分方程[1，2]還是非數學專業的高等數學[3]課程，該知識點是要求學生熟練掌握的?；旌鲜浇虒W法是將傳統面對面“線下”教學與以現代信息技術為平臺的“線上”教學進行有機融合的一種新型教學模式[4]?！盎ヂ摼W+教育”背景下，海量的學習資源使學生對知識的獲取更加迅速、便捷，名校名師的優質在線教學強烈沖擊著傳統的數學課堂教學。因此，基于優質在線教學資源的課堂教學改革勢在必行。以高等數學課程中“一階線性微分方程”教學內容為例，我們探索線上線下混合式教學的一些具體做法。

求解一階線性微分方程，常用的方法是常數變易法。該方法是由法國著名數學家Lagrange發現的。所謂常數變易法，是先求解一階線性非齊次微分方程所對應的齊次方程，將所得通解中的常數變為一個未知函數。為了求出這個未知函數，將該含有未知函數的解代入原方程解出這個未知函數，從而得到原方程的通解。盡管常數變易法在教材上給出了詳細的講解并給出了一些具體例子，但學生在運用該方法時，總感覺是知其然而不知其所以然。對于該內容的教學，我們考慮分三個階段進行。即課前預習、課堂探究和課后練習。其中課前預習和課后練習放在線上進行，而課堂探究是教學的主戰場，在預習的基礎上進行線下探究式學習。

1 課前預習

課前預習的開展主要是在線上進行。首先讓學生在互聯網上觀看一些關于常數變易法的視頻，完成老師事先準備好并放在班級QQ群上的電子資料。這些資料主要是幫助學生弄清楚為什么可以將齊次方程通解中的常數變換成一個函數。課前預習所達到的目標是學生能夠回答如下問題：

問題1：什么是一階線性微分方程以及對應的齊次微分方程？

問題2：常數變易法的解題步驟是什么？

問題3：由常數變易法得出的求解一階線性微分方程的求解公式是什么？

問題4：為什么可以進行常數變易？

其中前三個問題均可以在教材上通過學生的預習找到答案，但問題4是難點。為幫助學生課前思考并進行線上討論，老師可設計如下資料：

一階線性微分方程的一般形式為：

其中p（x）和q（x）都是x的連續函數。

為了求解一階線性微分方程（1），通常教材主要介紹的是常數變易法。并且由常數變易法可以得出方程（1）的一個求解公式。

首先，求解方程（1）對應的齊次線性方程

通過變量分離，可得該方程的通解為

這里C是任意常數。因為一階微分方程的通解中只能含有一個任意常數，故其中的不定積分-∫p（x）dx只需求出一個原函數即可。

其次，為了求出一階非齊次方程（1）的通解，可以將方程（1）右端項q（x）移到左邊變成

其中u（x）是一個待定函數。為了求出u（x），首先將式（6）關于x求導，得

將y與y′代入方程（1）得

即

兩邊積分得

將上式代入（6），有

上式就是一階非線性微分方程（1）的通解。需要說明的是式中不定積分所表示的是對應被積函數的某一個特殊的原函數。

通過比較（3）和（6）兩個式子可知，為了求解一階線性非齊次方程（1）的通解，我們先求出對應齊次方程的通解，然后將其中的常數C變為一個待定函數u（x），將該解代入原方程求出待定函數u（x），從而得到一階線性非齊次方程（1）的通解，這就是通常所說的常數變易法。

2 課堂探究

課堂是教學的主要陣地，對于“一階線性常微分方程”知識點的探究，課堂上主要呈現兩個方面的內容：常數變易法的本質；積分因子法的探究。對于常數變易法的本質，由于學生課前通過線上的視頻以及電子資料預習了，所以這部分內容特別是式（5）的推導，教師可以在課堂上對于常數變易法作小結，讓學生再次領會常數變易法的本質。

積分因子法是在學習完常數變易法之后，通過分析常數變易法的求解過程，舉一反三地引入的方法。該方法在高等數學教材上一般是沒有呈現出來的。而這種方法的優點是容易理解，且相比常數變易法，計算更簡潔。

接下來探究積分因子法。從常數變易法的求解過程中，特別是從（6）和（7）這兩個式子中可以探索出一些新的結果。具體地，由（6）式可知

將其代入（7）式并展開得

即

也就是

上式實質上是在原方程兩邊同時乘以因子e∫p（x）dx[注意到這里p（x）是已知的連續函數]，這樣可使方程轉化為（8）的形式，從而再利用不定積分求出原方程的通解。這種求解方法可稱之為積分因子法。

對于積分因子法，也可以從另外一個角度進行探究。首先讓學生思考如下問題：

問題5：當p（x）=0時，方程（1）如何求解？

問題6：當p（x）≠0時，方程（1）左邊的兩項能否進行合并，使之成為一個關于x的函數a（x）和未知函數y的乘積的導數，即左邊寫成的形式？

為了確定函數a（x），使得（9）式左邊能夠拼湊成導數形式將其展開得:

為了和（9）式左邊一致，函數a（x）需滿足

這里p（x）是一個已知函數。

顯然未知函數a（x）滿足的是一階線性齊次微分方程:

為解此方程，將其分離變量得

兩邊積分，有

這里只需找到一個特解y就可以作為需要的函數a（x），所以根據（10），找到一個y，使其滿足：

即y=e∫p（x）dx，所以要找的函數a（x）是e∫p（x）dx。這樣式（9）變為：

也就是

兩邊積分得

所以

這里C為任意常數，其中的不定積分只表示對應的被積函數的一個原函數。式（11）可以作為求解一階線性微分方程通解的公式。若直接套用該公式求解，往往稱之為公式法。

教學過程中教師可以讓學生思考如下問題：

解：為了將左邊寫成一個導數的形式，由于p（x）=-根據前面的分析，兩邊同時乘以函數需要指出的是雖然這個不定積分有無窮多個原函數這里只需取一個函數即可。這樣原方程變為

上式左邊可以寫成導數的形式，即

兩邊積分得

所以，原方程的通解為

問題8：求方程y′-ytanx=secx滿足y（0）=1的特解。

解：這里p（x）=-tanx，計算其中為C任意正常數。在x=0附近選取一個積分因子cosx，原方程兩端同乘以這個積分因子，得：

即[（cosx）y]′=1，也就是（cosx）y=x+C。由初始條件y（0）=1，可得C=1，故所求微分方程的特解為：

3 課后練習

課后練習作為電子資料放在QQ班級群里。學生先獨立思考，然后師生在群里進行討論答疑。課后練習題如下：

求解下列微分方程（要求用三種方法求解，即公式法、常數變易法及積分因子法）。