數形結合思想在初中數學教學中的運用研究

毛宇佳

摘 要：數形結合思想作為重要的數學思想方法，在數學教學和解題中有著廣泛的應用。要運用好數形結合思想方法，需要教師掌握其特點和運用原則，注重從數學概念教學、提高學生解題能力、培養學生數學思維、激發學生數學學習興趣等方面進行運用，重視在教學中挖掘、滲透和提煉數形結合的思想方法，促進數學教學成效的提高和學生數學核心素養的發展。

關鍵詞：數形結合思想;初中數學;教學策略

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ? ? ? ? 【文章編號】1005-8877（2022）01-0037-03

Research on the Application of the Idea of Combination of Number and Shape in Junior High School Mathematics Teaching

MAO Yujia ?（Taiyan Middle School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， China）

【Abstract】As an important mathematical thinking method， the idea of combining number and shape has a wide range of applications in mathematics teaching and student problem-solving. To use the thinking method of combining number and shape well， teachers need to master its characteristics and principles of application， focusing on teaching mathematics concepts， improving students’ ability to solve problems， cultivating students’ mathematical thinking， and stimulating students’ interest in learning mathematics， pay attention to mining， infiltrating and refining the combination of numbers and shapes in teaching， in order to promote the improvement of mathematics teaching effectiveness and the development of students' core literacy in mathematics.

【Keywords】Combination of number and shape; Junior high school mathematics; Teaching strategy

數形結合是重要的數學思想方法，在數學教學與解題過程中有著非常廣泛的應用，著名數學家華羅庚曾說，“數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好”，把數學結合思想運用到初中數學教學中，無論對提高數學課程教學成效，還是培養學生的數學解題能力都有著重要的價值，因此教師在數學教學中要注重滲透數形結合的思想方法，從多種途徑加強實踐運用，才能使其發揮重要作用。

1.數形結合思想的內涵及其運用原則

（1）數形結合思想的內涵與特點

數形結合思想的內涵是指把數學中的代數知識與幾何圖形知識有機結合，利用各自的特點和優勢，快捷、容易地解決數學問題的一種數學思想與方法。其中“數”可拓展到代數、算式、數字、數學概念、數學定理與性質等方面;“形”可拓展到平面與空間幾何圖形、圖表、實物、符號等方面。“數”與“形”通過一定條件的互相聯系，并且在一定條件下能夠互相轉化。數形結合思想方法具有形象性、直觀性、又向性的特點。

（2）數形結合思想的運用原則

要想提高數形結合思想在教學和解題中的運用效果，需要堅持科學正確的運用原則：

第一，堅持等價原則。數形結合思想的運用需要建立在代數和幾何圖形性質相互等價的基礎上，并非任何數學問題都能運用，否則就會出現解題不嚴謹的問題。

第二，堅持雙向原則。數形結合思想的運用要堅持“數”與“形”能夠互相轉化、互相滲透的原則，這樣才能有效解釋數學問題的本質與內在聯系，有利于解決數學問題。

第三，堅持簡單原則。數形結合思想方法的運用，要有利于使抽象復雜的數學問題變得簡單化，從而有利于提高解題的效率與準確性。

2.數形結合思想在數學教學中的運用價值

（1）利用數形結合思想激發學生的學習興趣

由于數學知識具有抽象性和復雜性的特點，造成許多學生對數學學習缺少興趣，特別是有些難度的數學題更是讓學生產生畏難情緒，導致學習動力不足，制約了學生數學成績的提升。如果在數學教學中運用數形結合思想，就能把抽象、復雜的數學知識或數學問題變得形象直觀，使學生容易理解、掌握所學知識，提高數學解題能力，能給學生帶來成功的體驗，有利于轉變學生對數學學習的態度，提高學生對數學學習的興趣和動力，從而為提高數學學習成效奠定良好的基礎。

例1：在學習多項式乘多項式時，如果直接進行多項式的相乘法則講解，學生面對抽象的字母和數字組成的多項式，會讓學生產生枯燥、抽象的感覺，難以激發學生的學習興趣，也不利用學生記憶這些運算法則，如果運用圖形配合多項式的講解，就能使枯燥、抽象的字母或數字運算變得形象直觀，使學生容易理解掌握運算法則，有利于學生發現多項式相乘的特點與規律。如計算（a+b）（m+n）時 ，可借助于圖1進行理解，能讓學生發現兩個多項式相乘就是四個長方形的面積之和，這樣既直觀又容易理解，有利于激發學生的學習興趣。

（2）利用數形結合思想加深數學概念理解

要想學好數學知識掌握概念與規律是基礎，數學概念與規律還是進行數學思維的基礎和起點，由于數學概念與規律包含許多知識點，是經過多次抽象而形成的結論，具有高度的抽象性和嚴謹性，如果讓學生單純地從語言文字進行理解，會給學生帶來較多的困難。如果利用數形結合思想，從“數”和“形”兩個方面去理解，就能讓學生容易理解數學概念與規律的內涵與本質，也有利于學生掌握和記憶數學概念與規律的性質及其相互聯系，能構建完整的知識體系。

例2：由于一元二次方程和二次函數屬于兩個不同的數學概念，為了讓學生真正理解兩個數學概念，掌握它們之間的相互聯系，可利用數形結合思想，借助于二次函數圖像，讓學生深刻理解兩個數學概念，很容易發現兩者之間的密切聯系。假設二次函數[y=ax2+bx+c（a>0）]的圖像如圖2所示，通過分析圖像與x軸的三種位置關系（相離、一個交點、兩個交點），就能使二次函數與一元二次方程相聯系，二次函數圖像的三種位置關系對應一元二次方程解的三種情況（無實根、兩個相等實根、兩個不相等實根，并且圖像與x軸的交點，就是方程的根）和判別式[b2-4ac]的三種情況（<0、=0、>0）。通過運用數形結合思想，不但能讓學生加深對一元二次方程與二次函數概念的理解，還能把兩者有機結合起來，這樣學生在遇到函數問題或方程問題時，就能通過相互轉化，拓展解題思路，從而快速解決問題。

（3）利用數形結合思想提高數學解題能力

解題是數學學習的核心，提高學生的數學解題能力也是數學學習的主要目標，把數形結合思想運用到學生的數學解題訓練中，能夠把抽象的數學問題變得形象直觀、使復雜的問題變得簡單容易，使學生非常容易找到解決問題的方法，從而有效提高學生的數學解題能力。

例3：已知[a]、[b]均是大于0的正數，且[a+b=6]，求：[a2+4+b2+9]的最小值。

解析：對于這樣代數求最小值的問題，大多數初中生不容易直接通過代數運算的方式求出結果，如果借助數形結合思想，轉換解題思路，把代數問題轉化成幾何問題，構建兩個直角三角形的斜邊，這樣此題就容易求解。可構建如圖3所示的圖形，從圖中可看出把此問題變成了求解MN+NP線段的最小值的問題，也就是MP兩點之間的最短距離的問題。通過做輔助線，求出⊿MQP的斜邊MP就是代數式的最小值。[MP=AQ2+QP2=52+62=61]，可見通過數形轉換，使該問題比較容易求解。

（4）利用數形結合思想培養數學思維能力

要想提高學生的數學學習和解題能力，需要重視培養學生的數學思維，在數學教學中運用數形結合思想方法，可以從“數”和“形”兩個方向認識和理解數學知識，可以用形象思維理解抽象的代數問題，有利于發展學生的直覺思維。可以用代數的抽象思維理解圖形問題，有利于培養學生的創造性思維。

例4：比較[1m]與[m]的大小。

解析：雖然比較兩個代數式大小的方法有多種方法，但都比較煩瑣，如果運用數形結合思想方法，通過構建兩個函數，借助于圖形的直觀性就容易解決此問題。可構造兩個函數：[y1=1x]，[y2=x]，將兩個函數的圖像放在同一坐標系中，如圖4所示，就能形象直觀地看出：

當[m=±1]時，[1m=m];當[m<-1]或[0<m<1]時，[1m>m];當[-1<m<0]或[m>1]時， [1m<m]。運用數形結合思想方法，不僅使解題變得非常簡單，而且還打破了學生的思維定式，培養了學生的思維發散能力，使學生的數學思維更加靈活。

3.數形結合思想在數學教學中的運用策略

（1）加強數學教材內容研究，挖掘數形結合思想素材

雖然數形結合思想方法是重要的數學知識，但教材并沒有用單獨的章節介紹數形結合思想方面的內容，這些知識都隱含在教材各章節的知識中，要對學生開展數形結合思想教學，需要教師加強對教材內容的研究分析，全面挖掘教材知識中包含的數形結合思想方法素材，才能為課堂教學提供豐富的教學資源。例如，在“有理數”這一章中，把有理數在數軸上表示，在數軸上表示絕對值，有理數加減乘除運算等都包含著“以形助數”的數形結合思想素材;在勾股定理、位置與坐標、平面直角坐標系、一次函數的應用、一元一次不等式、反比例函數圖像及應用、一元二次方程、二次函數的圖像與性質、完全平方公式、三角形內角和與面積、統計圖形分析、相似三角形性質與判定、成比例線段等知識中都包含著豐富的數形結合思想方法的素材，充分挖掘這些素材才能為教學提供豐富的資源。

（2）加強數形結合思想滲透，重視數學解題應用訓練

由于數學思想方法是高度抽象和濃縮的數學知識，要真正理解掌握其本質和精髓，并能做到熟練運用，需要教師在平時的教學中，有目的、有意識地加強數形結合思想方法教學內容的設計，重視對數形結合思想方法的滲透教學，使學生養成自覺運用數形結合思想方法的意識。要加強數形結合思想方法運用的解題應用訓練，才能不斷提高運用數形結合思想方法解題的能力。首先，加強模仿應用訓練。就是參照教材和教師所講例題中數形結合運用的例子，進行模仿解題訓練，讓學生初步了解數形結合思想方法運用的基本方法步驟，體會數形結合思想方法的本質內涵;其次，自主解題訓練。就是讓學生開始自主進行數形結合思想方法解題訓練，逐漸掌握數形結合思想方法的運用技巧。

（3）加強數形結合思想總結，積累數形結合運用經驗

要提高學生對數形結合思想方法的運用能力，需要進行長時間的總結和積累運用經驗，因此在數學教學中，教師要注重指導學生在數學學習和解題訓練中不斷總結運用技巧、積累運用經驗，才能使學生的數形結合思想方法運用能力得到提升。例如，在學習了一次函數[y=kx+b（k≠0）]知識后，可從對① [k>0]情況下：[b=0]、[b>0]、[b<0]時和② [k<0]情況下：[b=0]、[b>0]、[b<0]時的“數”（函數解析式）、“形”（函數圖像）和函數性質三個方面的關系進行總結;同樣也可對二次函數[y=ax2+bx+c]在[a>0]、[a<0]、[a=0]不同情況下的“數”“形”“性質”進行歸納總結。通過歸納總結，就能讓學生發現這些函數中包含的數形結合思想方法，使學生在數學解題應用中熟知不同情況下的數形結合運用技巧，從而有效提高學生的數學解題能力。

4.結語

總之，把數形結合思想方法用于初中數學教學中，無論是提高課程教學成效，還是發展學生的數學核心素養都具有重要的意義，因此教師要注重全面挖掘教材中的數形結合思想運用事例，加強數形結合思想方法的滲透教學，重視歸納總結數形思想運用技巧，從多方面發揮數形結合思想方法的作用，促進初中數學教學成效的提高，使學生的數學核心素養得到全面發展。

參考文獻

[1]黎家能.數形結合思想在初中數學教學中的應用研究[J].讀書文摘，2016（20）.

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