基于BOPPPS混合式教學模式線性代數(shù)“金課”建設
——以“矩陣的初等變換”為例

王松華 趙世安 袁功林 劉雙花

（1.百色學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 百色 533000 2.廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧 530004）

0 引言

2018年陳寶生在新時代中國高等學校本科教育工作會議首次提出建設大學“金課”的要求[1]，隨后教育部首次正式使用“金課”概念，要求高校全面梳理課程教學內容，淘汰“水課”、打造“金課”；同年年底吳巖解讀了建設中國“金課”，其是具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度的一流課程；著力打造線下“金課”、線上“金課”、線上線下混合式“金課”、虛擬仿真“金課”和社會實踐“金課”等五大“金課”[2]。線性代數(shù)是高等理工類學科和經(jīng)濟管理類學科的專業(yè)基礎課，旨在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和抽象思維能力，是學習各類專業(yè)后續(xù)課程的基礎，其理論結構廣泛應用于自然科學和工程技術的各項領域[3]。矩陣的初等變換是線性代數(shù)一類的代數(shù)運算，在逆矩陣、矩陣的秩、向量組線性相關、線性方程組等具體線性代數(shù)問題上有著重要應用。一些學者以矩陣的初等變換為主線，提出頗有成效的教學改革策略[4，5]，研究說明，矩陣的初等變換在線性代數(shù)中具有理論與應用的重要意義。

1 BOPPPS混合式教學模式

以下闡述的BOPPPS教學模式和混合式教學模式的理論特征，充分契合了大學公共課“金課”的標準和內涵。

1.1 BOPPPS模式

加拿大教師技能培訓（ISW）采用的BOPPPS教學模式以教學目標達成為核心，構建了引言B（Bridgein）、教學目標O（Objective）、摸底P（Pre-assessment）、參與式互動教學P（Participatory Learning）、檢驗評估P（Post-assessment）和總結S（Summary）等確保課堂成功的教學模式。各個環(huán)節(jié)有效銜接是課堂教學的關鍵，充分考慮到教與學的特點，強調師生參與式互動學習[6]。該模式具有非常強的實踐性和可操作性，是較為先進的指導課堂教學各個環(huán)節(jié)的理論體系，教學安排更加條理化、合理化。教學中，需要通過開展有針對性的教學過程設計、采用形式多樣的教學手段來實現(xiàn)師生全方位參與式的互動教學，為課程目標的達成提供有效保障。

1.2 混合式教學模式

1999年美國率先提出混合式教學模式[7]，依托互聯(lián)網(wǎng)技術，有效融合線上教學和線下教學的優(yōu)勢，助力教師在引導、啟發(fā)、檢測教學的同時，提高學生學習的主動性、積極性與創(chuàng)造性[8]。目前關于線性代數(shù)的MOOC課程、SPOC課程及校本網(wǎng)絡課程非常豐富，有效推廣了雨課堂、騰訊課堂等線上線下混合式教學模式，極大優(yōu)化了課堂教學模式，此類教學模式深受教師和學生的歡迎。

1.3 BOPPPS混合式教學模式

BOPPPS模式和混合式教學模式各具特點，也存在不足。如BOPPPS模式，對學生的主動參與學習程度、前期學習基礎情況、學習目標明確度、課前預習和課后鞏固練習等因素要求比較高。限于線性代數(shù)的教學總課時較少，授課內容多，理論相對抽象等因素，線下課堂教學存在許多限制，阻礙了教學深化推進。混合式教學模式，在實際操作上也存在一些困難，如學生的自學能力和思維能力有限，自主學習的廣度和深度不足等。針對兩個模式的優(yōu)點和不足，取長補短，設計好BOPPPS混合式教學模式，充分利用現(xiàn)有的優(yōu)秀的教學資源和信息化平臺，科學融合線上線下的教學手段，有效地發(fā)揮BOPPPS模式的教學優(yōu)勢。

2 “矩陣的初等變換”課程教學設計

以下以全國普通高等教育“十二五”重點建設規(guī)劃教材《線性代數(shù)》[3]的第二章“矩陣”第2.5節(jié)“矩陣的初等變換”為例，本文所提到的教學大綱是以地方新建本科高校相關專業(yè)為藍本，課程內容、練習題目等課堂內容均出自該教材。

2.1 教學內容分析

該節(jié)主要介紹線性代數(shù)的矩陣的初等變換和等價、初等矩陣、初等變換求逆矩陣3個內容。教學目的為：了解矩陣的三種初等變換和三種初等矩陣，掌握利用初等變換把矩陣變成3種常用的矩陣的方法、初等變換與初等矩陣的關系。前置知識包括矩陣的概念、矩陣的運算、可逆矩陣等知識。理論上，三種初等變換和初等矩陣的概念相對簡單；應用上，利用初等變換計算出3種簡單的矩陣，是重點難點。本節(jié)課以40分鐘為例。

2.2 課前教學設計

教學設計是最基礎的環(huán)節(jié)。根據(jù)BOPPPS模式的結構，結合混合式教學模式的特點，確定學習目標，制定出BOPPPS混合式教學模式的具體教學活動安排表[9]（見表1）。充分考慮到學生的前期學習情況，如學生對矩陣的概念、性質和運算的掌握程度，根據(jù)教學的時間和環(huán)境的各方面因素統(tǒng)籌制定好教學方法。本次教學設計，從引導學生的角度出發(fā)，充分調動學生學習主動性，適當給教學中參與式互動教學P與檢驗評估P等2個重點環(huán)節(jié)預留更多的時間和空間，引言B、教學目標O、摸底P這3個環(huán)節(jié)，線上安排時間分別為10～15分鐘、2～5分鐘、2～5分鐘不等，線下時間安排為2分鐘、1分鐘、1分鐘。具體時間安排應根據(jù)學生的前期知識基礎做適當調整。

表1 BOPPPS混合式課堂教學設計表

2.3 教學過程設計

（1）引言B。設計問題，實例引入，激發(fā)學生的學習興趣。回顧伴隨矩陣求解逆矩陣問題，要計算大量的伴隨矩陣和矩陣的行列式的值，存在計算量大容易出錯的風險；當矩陣是n階方陣，利用伴隨矩陣是不能求解逆矩陣。這個環(huán)節(jié)，線上提前給出預習內容，提出本節(jié)課的學習內容，目標、重點和難點，關鍵知識點等。

（2）教學目標O。教學目標包括學習目標和能力目標。知識目標：要求學生了解和掌握矩陣的初等變換的概念及符號；使學生能熟練利用矩陣的初等變換，把一般矩陣化為3種常用的矩陣；理解初等矩陣的定義和性質定理。能力目標：培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的數(shù)學思維能力；培養(yǎng)學生養(yǎng)成積極主動學習和嚴謹務實的科學態(tài)度。線上明確知識目標和能力目標，時間為2～5分鐘。

（3）摸底P。通過線下問卷、作業(yè)反饋信息、線上提問、集體討論等多種方式進行摸底。以引言為基礎，提問學生：3階伴隨矩陣需要計算出矩陣行列式多少個元素的代數(shù)余子式？n階方陣可逆的充分必要條件是什么？上次作業(yè)，我們有哪些體會可以一起分享。線上提出問題，時間為2～5分鐘。

（4）參與式互動教學P。這是課堂教學的核心，學生主動參與學習，通過師生有效互動來實現(xiàn)課堂教學目標。教學過程，教師是主導，學生是主體，教師緊扣問題導向，激發(fā)學生積極思考。采用獨立思考、分組討論、師生互動交流的方式，解決以下問題：為什么要引入矩陣的初等變換？矩陣的初等變換和行列式的計算類似和差異點是哪些？矩陣的等價關系給我們提供了什么樣的信息？3種常用的矩陣在結構上分別具有哪些特點？3種常用的矩陣之間有一種什么樣的變換關系？為什么要引入初等矩陣？矩陣的初等變換和初等矩陣具有哪方面的關系？兩個同型矩陣的充分必要條件定理揭示了矩陣的初等變換在運算上的哪些優(yōu)勢？

（5）檢驗評估P。采用分組討論、小組學生代表上講臺現(xiàn)場展演形式進行。具體安排為：用矩陣的初等變換把化為行階梯形矩陣、行最簡形矩陣和標準形矩陣。已知利用初等變換計算E（1，2）A E（1，2）A，A（1，2）E A（1，2）E。

（6）總結S。回顧整理本節(jié)課的教學內容，總結課堂教學的知識點、重點和難點，進一步鞏固學習目標，構建系統(tǒng)化知識，分析學習目標達成情況。具體內容：矩陣的初等變換是一類代數(shù)運算，有3種變換；利用矩陣的初等變換可以很快得到3種簡單的矩陣；初等矩陣是為了矩陣后續(xù)的理論研究做準備；給出課后作業(yè)、下一講的課程預習要求。

3 結語

本文以建設線性代數(shù)“金課”為目標，以“矩陣的初等變換”為例，探索BOPPPS混合式的教學模式，為高等理工類學科和經(jīng)濟管理類學科的數(shù)學類專業(yè)基礎課的教學提供了參考。該模式相對于傳統(tǒng)的教學模式，優(yōu)化了教師與學生、教學與學習、理論與應用的關系，有利于大學“金課”建設。在未來的教學實踐活動中，還需要不斷挖掘BOPPPS模式豐富的內涵，優(yōu)化更新混合式教學模式，以構建更為完善的BOPPPS混合式教學模式。