概率統計在保險中的應用

摘 要：保險作為一種以經濟保障為基礎的金融制度安排，以合同的形式實現投保人轉移風險和理財計劃的目標。保險公司為提高保險理賠效率，需要建立概率模型，對不確定的事件進行數理預測。本文重點闡述了概率統計在保險中的應用，綜合描述了概率統計中隨機變量、中心極限定理、大數定律的定義，并結合具體案例加以分析，深入探究概率統計在承保及保險理賠中的重要指導意義。同時，通過對實際情況的總結和歸納，為使概率統計更好地應用于保險實務中提供建議。

關鍵詞：概率統計;保險;中心極限定理;大數定律;應用

本文索引：李詩琪.<變量 2>[J].中國商論，2022（06）：-102.

中圖分類號：F842 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2022）03（b）--03

概率論與數理統計是基于大量同類隨機變量的統計規律，對隨機現象出現某一個結果可能性的大小做出描述的科學，在自然科學及經濟工作中都有廣泛的應用。隨著金融市場的繁榮和發展，各式各樣的保險業務如雨后春筍般涌現。自然災害和意外事故是保險產生和發展的自然基礎，決定了風險的存在，由于風險具有損害性和普遍性，且單一風險具有不確定性。因此，在一定時間和空間內，風險發生頻率及損失程度只能被降低，卻無法被徹底消除，人們通過轉嫁風險，才能相對減小風險。保險作為風險管理的方式，需要估算風險發生的概率及損失率來作為開展業務、制定保費標準的依據，而概率統計恰恰能夠研究風險不確定性在大數中呈現出的規律性。本文就保險中的概率統計模型及應用情況進行簡單討論。

1 隨機變量與概率分布

在概率統計中，隨機變量是隨機事件的數量表現，隨機變量的概率分布描述的是變量取值與相應概率之間的對應關系。意外的發生具有不確定性，因此在保險中，為了達到統計事件結果的目的，需要使用隨機變量及其分布描述由意外造成的損失的數量及損失可能性的大小。

例：某航運公司為4艘船舶投保，發生事故的船舶數目是一個隨機變量，以X表示發生事故的船舶數目，X的可能取值是0、1、2、3、4，根據保險公司的統計，每種結果發生的概率如表1所示。

以上表達方式，是船舶發生事故的概率分布，在風險估計中，常常由大量統計數據抽象出可用數學公式描述的分布規律。保險理論中，一些隨機變量近似服從于理論概率分布，其中常用的有正態分布、二項分布等，二項分布可用來計算n個投保個體中有k個個體需要理賠的概率，當信息量不足時，通常使用正態分布作為近似估計。正態分布是大數規律下的表現形態，在保險概率統計中發揮著重要的作用。

2 中心極限定理

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理：設隨機變量服從二項分布，則對任意實數y恒有：

此定理是概率論歷史上第一個中心極限定理，專門針對二項分布，因此被稱為“二項分布的正態近似”。保險公司可以運用此定理初步估算保險業務的盈利情況及預判承保某一保險業務時，是否會虧本。

2.1 確定公司盈虧情況

假設某保險公司有3000人參加保險，投保人需要每年繳納保費10元，若被保險人死亡，保險受益人可以從保險公司領取2000元賠償金。已有數據顯示，人在一年內死亡的概率是0.001，不考慮保費以外的收入和賠償金以外的支出，分析保險公司虧損的概率。解：

設表示一年內被保險人的死亡人數

死亡人數服從分布，保險公司的年保費收入為元，需要賠付的賠償金為，利潤為。

由中心極限定理可知，近似服從分布正態分布。

故保險公司虧本的概率幾乎為0，此業務可以大力推廣。

2.2 評估發展目標可行性

中心極限定理可以幫助保險公司估算達到目標利潤值可能性的大小，評估發展目標的可行性。設該公司的目標年利潤為20000元，公司想要了解能達到目標年利潤的可能性為多大。

所以，該公司有87.6%的可能性達到年盈利20000元的目標。

2.3 核算償付金額

假設保險公司想要保證年利潤至少為20000元的概率不低于99%，計算可設的最大賠償金數額。

設賠償金為a元，則年利潤為元，

由中心極限定理可知，上式等價于?解得，

因此，保險公司若想保證每年的利潤不低于20000元的概率為99%，賠償金不可超過1421.73元。從本例中可以看出，恰當運用概率統計中的中心極限定理，可以幫助保險公司對業務的盈虧情況進行預測，同時能根據已經統計出的不同風險的發生概率、公司自身盈利需求等制定相應的保費標準。

3 大數定律

大數定律描述的是大量重復隨機事件的概率分布情況。當試驗次數足夠多時，大量隨機現象由于偶然性的相互抵消，會呈現出一定的數量規律。保險中常用的大數定律為伯努利大數定律和切比雪夫大數定律。

3.1 伯努利大數定律

設為n次獨立重復試驗中，事件A發生的次數，是事件A在每次試驗中發生的概率，則對任意給定的>0，總有：

伯努利大數定律用數學方式證明了隨機變量的頻率穩定性，由定律可以看出，當事件數量足夠多時，事件A發生的頻率依概率收斂于事件發生的概率，證明了n足夠大時，頻率的穩定性。在保險經營中，損失頻率指一定數量的危險單位在一定時間內發生損失的程度和次數。由伯努利大數定律可以看出，當保險標的的數目n足夠大時，損失頻率值趨于一個穩定值，即損失概率，而損失概率在保險公司制定保費、預估收益等環節中發揮著重要的參考價值。保險公司在估計某一類保險標的的損失概率前，往往需要先根據以往承保的數據計算損失頻率，當觀察次數足夠多時，損失頻率無限接近于損失概率，可被當作損失概率的近似估計值。

3.2 切比雪夫大數定律

設，，，…，為兩兩不相關的隨機變量序列，且它們的期望值存在，記為（），每個隨機變量的方差有界，即存在常數，使，， 則對，，特別是，若有相同的期望，則。

切比雪夫大數定律的意義在于，對同一隨機變量進行n次觀測，隨著n的增加，所得觀測值的平均值無限趨近于期望值的均值，若隨機變量的期望相同，則觀測值的平均值密集地分布在期望值附近。在保險經營中，要遵循收支相抵原則制定保費，就需要切比雪夫大數定律的運用。保險公司對某一個被保險人支付的賠償金是不確定的，但當被保險人的數量足夠多時，總支出即賠償金的總額是基本確定的。保險公司為了實現收支平衡，會將總支出平均到每一個投保人身上，即形成總賠償金等于純保費總額。

該定理應用于保險業務中，相當于n個投保人同時投保n個保險標的，每個標的都有可能發生損失，且標的之間是否發生損失相互獨立，每個投保人獲得的賠償金為（），則平均每位投保人得到的實際賠償金可以表示為。由于標的相互獨立，故隨機變量也相互獨立， 又因為的期望值都存在，所以賠償金滿足切比雪夫大數定律的基本條件。當投保人數n足夠大時，每個被保險人所獲賠償金的均值等于每個被保險人獲得賠償金期望值的均值，代表保險公司向每個投保人收取的純保費，因此平均每個被保險人所獲賠償金與純保費相等。

例：有5000人參加某保險公司的人壽保險，根據公司以往經驗，一個人在一年內死亡的概率為0.002，被保險人死亡后，受益人可獲賠償金2000元，純保費應當如何制定？（）表示第i個保險受益人能領取到的賠償金。的概率分布如表2所示。

根據切比雪夫大數定律，純保費應當制定為4元。

本例中，假定風險獨立且同分布，是對風險進行了簡化。在現實問題中，風險并不一定同分布，不同的被保險人發生損失的概率不一定相同，保險公司要給付不同個體賠償金的期望值也存在差異，這時保險公司對不同的投保人就不會采取損失均攤原則，而會通過估計被保險人風險水平，制定不同的保費標準和免賠額，實行差異化費率，這種方式仍將大數定律作為理論依據。

4 在保險實務中的應用

保險公司在運用概率統計的知識分析保險實務時，需要注意以下幾點。

4.1 確保數據真實有效

保證數據的真實性和有效性，對損失概率等信息的估算需要基于真實有效的數據，來源不明、可靠性欠缺的數據會影響判斷的準確性。

4.2 分組分析事故原因，技術手段解決問題

在分析前，按照事故發生的時間、類型、經濟損失等對事故進行分組，有利于進一步分析事故發生的規律。數理統計雖可以反映出事故發生的原因，但解決問題仍然需要技術手段的支持。

4.3 注意事故調查的連續性和數量性

保險公司可以借助數理統計整理大量的事故信息，尋找事故的規律性，也能督促投保人消除保險標的的不安全因素和隱患，強化防災防損工作的實施，從而科學地降低風險。大數定律同時要求保險公司保證事故調查的持續性和數量性，及時跟蹤事故調查進度，講求事故調查的實效性。

4.4 加強償付能力監管，拓展承保業務量

當保險事故發生后，保險公司需要按照保險合同的規定，給付被保險人保險金，被保險人能否及時得到足額賠付是保險質量高低的體現，保險公司的償付能力是決定被保險人能否享受應有權益的基礎，也是公司能否長足穩定發展的關鍵。因此，保險公司需要重視對自身償付能力的監管，估算未來可能的償付風險，核算可能的償付金額，積極尋求途徑提高償付能力，維護被保險人權益。

保險是將少數不幸個體發生的損失分攤給投保人，大數定律作為保險經營的數理基礎，可以通過投保人人數的增加，將少量個體遭受損失的不確定性轉化為大量單位下的可預測損失。因此，保險公司可以通過增加承保業務量來提高償付能力和產品核心競爭力。

5 結語

在風險的基本含義中，損失的發生具有不確定性的狀態，投保人想要將未來可能的風險轉移給保險人，所以選擇投保。概率統計的研究對象是事物發展的不確定性及其中可能隱藏的規律性。保險存在的基礎恰好與概率統計的研究對象不謀而合，因此概率統計在保險發展中具有重要的指導意義。保險公司在處理實際問題時，需要重視概率論中大數定律的重要內涵，以此為數理基礎，通過收集大量已有數據，科學建立保險產品模型，綜合運用概率論及保險經濟的相關知識，為保險業贏得更加廣闊的發展空間。

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Application of Probability Statistics in Insurance

School of Statistics and Information， Shanghai University of International Business and Economics

Shanghai? 201620

LI Shiqi

Abstract： As a kind of financial system arrangement based on economic security， insurance achieves the goal of transferring risk and financial plan of the insured in the form of contract. In order to improve the efficiency of insurance claims， insurance companies need to establish a probability model to predict uncertain events. This research focuses on the application of probability statistics in insurance， comprehensively describes the definitions of random variables， central limit theorem and law of large numbers in probability statistics， analyzes them with specific cases， conducts in-depth analysis of the important guiding significance of probability statistics in underwriting and insurance claims. At the same time， through the summary and induction of the actual situation， it provides suggestions for the better application of probability statistics in insurance practice.

Keywords： probability statistics; insurance; central limit theorem; law of large numbers; application