基于Kanai-Tajimi譜六參數黏彈性耗能結構地震響應的簡明封閉解

鄒萬杰， 姜 琰， 張夢丹， 葛新廣

(廣西科技大學 土木建筑工程學院，廣西 柳州 545006)

線性黏彈性阻尼器廣泛應用于建筑、航空及機械等領域的消能減振[1]。為較好逼近黏彈性阻尼材料的蠕變或松弛特性，Mazza等[2]提出了六參數黏彈性阻尼器模型，該阻尼器模型是將兩支Maxwell單元與一支Kelvin單元并聯組合，模型計算參數便于試驗數據擬合，且本構方程易于擴階，具有一般性，因此本文采用六參數黏彈性阻尼器模型分析耗能結構的動力特性具有較好的工程應用價值。

在抗震分析中隨機振動方法與反應譜方法和時間歷程法是3種并列的方法[3]，在進行抗震計算時，隨機振動法由于算法復雜，在實際工程中沒有廣泛應用。近年來林家浩等[4-6]提出的虛擬激勵法在國內外學界得到認同，廣泛應用于大型水利、大跨度橋梁、大跨度空間結構、多層與高層建筑及其他工程結構的抗震分析。該方法將隨機激勵轉化為確定性荷載，得到了功率譜的精確表達式，相對于傳統的CQC(complete quaddratic combination)法與SRSS(square root of the sum of the squares)法近似格式效率更高；但遇到多個平穩隨機激勵具有相干性時其計算量仍然十分巨大。鐘萬勰等[7-8]創建的精細積分法使計算效率進一步提升。李創第等[9]利用復模態方法研究了基礎隔震結構基于Kanai-Tajimi譜[10-13]激勵下的響應，但計算表達式較為復雜，且未能獲得響應的1階譜矩。

針對上述既有方法的不足，葛新廣等[14]基于Kanai-Tajimi譜的濾波方程從時域法的角度提出了線性結構隨機地震動響應的簡明封閉解。本文以葛新廣等所提的方法，成功獲得了六參數黏彈性阻尼結構基于Kanai-Tajimi譜激勵下系列響應(結構層絕對位移及其變化率、層間位移及其變化率)，0～2階譜矩的簡明封閉解，避免了傳統方法需要數值積分的問題；通過與虛擬激勵法的對比，驗證了本方法的正確性。本方法具體步驟如下：首先根據六參數型黏彈性阻尼器力學模型推導出等效的微分模型，將Kanai-Tajimi譜與白噪聲激勵的濾波方程聯立，重構易于獲得簡明解的黏彈性耗能結構地震動方程。其次，在重構的地震動方程基礎上，利用復模態分析法對建立的六參數黏彈性阻尼耗能結構運動方程進行復模態解耦，得到耗能體系地震動系列響應(結構層絕對位移及其速度、層間位移及其變化率)協方差的簡明封閉解。最后，基于隨機振動理論中的譜矩定義，獲得了線性多自由度耗能結構地震動系列響應方差及0階、1階、2階譜矩的簡明封閉解。

1 六參數黏彈性阻尼器多自由度耗能結構的地震動方程

設置六參數黏彈性阻尼器的n個自由度結構如圖1所示。在地震動作用下的動力方程表示為

圖1 結構計算簡圖

(1)

六參數黏彈性阻尼器的阻尼力PQ(t)為

(2)

圖2 黏彈性阻尼器六參數黏彈性阻尼模型

第1層的阻尼器阻力可表示為

(3)

第j層(j=2,3,…,n)的阻尼器阻尼力表示為

(4)

式中：kd0、cd0、kd1、kd2、cd1和cd2為黏彈性阻尼器的6個力學參數；pj1、pj2分別為第j層的阻尼器的分支阻尼力，其為輔助參數。

由式(3)和式(4)，將阻尼器阻尼力的輔助參數用矩陣形式表示

(5)

式中：P為2n×1列向量,P=[p11,p12,p21,p22,…,pn1,pn2]T；λ為2n階方陣，λ=diag[λ1,λ2,λ1,λ2,…,λ1,λ2]，“diag”為對角陣，且λ1=kd1/cd1，λ2=kd2/cd2；B為2n階方陣，其元素為B(1,1)=kd1，B(2,1)=kd2，B(j-1,2j-1)=kd1，B(2j,2j)=kd2，B(2j-2,2j-1)=-kd1，B(2j-1,2j)=-kd2,(j=2,3,…,n)，其余元素均為0。式(5)的推導如附錄B所示.

將式(5)代入式(2)，則黏彈性阻尼器阻尼力用矩陣表示為

(6)

式中：D為n階方陣，其元素為D(1,1)=1，D(j,j)=1，D(j-1,j)=-1(j=2,3,…,n)，其余元素均為0；F為n×2n階方陣，其元素為F(j,2j-1)=F(j,2j)=1,其余元素為0，具體推導過程如附錄3所示。

地震動采用Kanai-Tajimi譜隨機模型，傳統方法中采用的該模型的功率譜密度函數為

(7)

式中：ωg、ξg分別為場地土的卓越頻率和阻尼比；S0為地震動強度常數。由式(7)可知，地震動功率譜密度函數的表達式較為復雜，在求解結構地震動響應的譜矩和方差時，其只能通過數值積分進行運算，計算效率和精度較低。

Kanai-Tajimi模型的濾波方程為

(8)

(9)

式中， δ(τ)為Dirac函數。

聯立式(1)和式(8)，將六參數黏彈性阻尼結構模型基于Kanai-Tajimi譜隨機地震動轉化為基于白噪聲譜的結構振動

(10)

引入狀態變量

(11)

則式(5)、式(8)和式(10)的狀態方法改寫為

(12)

式中，n=[-MIo2-1 0o1]T，

o1為n×1向量，o2為2n×1向量，o3為n×2n向量，o4為n×n向量，E1為2n階單位對角陣，E2為n階單位對角陣。

由式(12)可知，基于Kanai-Tajimi譜激勵的六參數黏彈性阻尼結構地震動響應轉化為六參數黏彈性阻尼結構基于白噪聲激勵下的響應分析，可利用白噪聲激勵的簡明特點獲得地震動響應的簡明封閉解，式(12)是1階微分方程組，需用復模態法求解。

2 六參數黏彈性阻尼結構地震動響應的封閉解

2.1 阻尼結構復模態解耦

由復模態法理論可知，式(12)存在特征值矩陣P和左、右特性向量矩陣U、V并且滿足關系式

(13)

式中，q為對角陣，其元素的實部為負數。

引入復模態變換

y=UZ

(14)

式中，Z為復模態廣義參數。

根據式(13)和式(14)，并利用復模態法的特性，式(12)改寫為

(15)

式中，η為復模態陣型強度系數向量，其方程為

(16)

由于q為對角陣，則式(14)的時域分量形式為

(17)

式中，zi,ηi,qi分別為Z,η,q的第i分量。

2.2 地震動響應的統一表達式

(18)

(19)

式中：uk,i為右特征向量矩陣U的k行i列元素；λk,i為結構響應的模態強度系數，并且λk,i=uk,iηi。

(20)

(21)

(22)

至此，結構各層位移及速度，層間變形及其變化率的杜哈梅積分表達式可統一表示為

(23)

式中：Xl(t)為設計變量；κl,j為設計變量對應的模態強度系數，Xl(t)的分量表達式Xl,i(t)為

(24)

3 地震動響應的功率譜及譜矩分析

3.1 地震動響應的協方差

由隨機振動理論及式(23)，結構響應Xl的協方差[14]為

(25)

由式(24)，結構響應分量的協方差為

(26)

將式(9)代入式(26)

(27)

根據Dirac函數的性質，式(27)簡化為

(28)

對式(28)積分

(29)

由式(23)及式(29)，六參數黏彈性阻尼結構基于Kanai-Tajimi譜的地震動響應的協方差為

(30)

式中，

(31)

由式(30)可知，六參數黏彈性阻尼結構基于Kanai-Tajimi譜的地震動響應的協方差可用結構振動復特征值指數的線性組合表示，表達式簡潔且物理意義明確。根據隨機振動理論，當τ=0時，結構的協方差即為其響應的方差

(32)

3.2 地震動響應的功率譜分析

由隨機振動理論，結構動力響應的單邊功率譜可通過Wiener-Khinchin關系求解

(33)

式中，SXl(ω)為結構響應Xl的單邊功率譜密度函數。

將式(32)代入式(33)并積分

(34)

3.3 地震動響應譜矩的解析表達式

(35)

對式(35)進行積分

(36)

根據隨機振動理論，結構平穩地震動響應的2階譜矩與其平穩地震動響應的0階譜矩相等，即

(37)

(38)

六參數黏彈性阻尼結構響應的1階譜矩為

(39)

對式(39)積分

(40)

由方同和葛新廣的研究可知

(41)

即譜矩αXl,1為

(42)

根據式(37)、式(38)及式(42)可知，六參數黏彈性阻尼結構地震動響應的0～2階譜矩均有封閉解析解，表達式更為簡潔，無需數值積分，運算效率及運算精度均有較大提高。

4 算 例

采用一榀5層鋼筋混凝土框架進行地震動分析，該框架結構設防烈度為8度(0.30g)，三類場，設計分組為兩組。結構1層～5層的質量m1～m5=4×105kg層間剛度為k=3.32×107N/m;結構阻尼采用瑞雷阻尼，阻尼比ξ=0.05。6參數黏彈性耗能結構的參數分為kd0=6.64×104N/m,cd0=6.64×103N/m,kd1=33.2 N/m,cd1=4.98 Ns/m,kd2=9.96 N/m,cd2=1.99 Ns/m。Kanai-Tajimi譜地震動參數取值[15]如下：ωg=15.71 rad/s，ξg=0.8,S0=111.34×10-4m2/s3。

4.1 結構系列響應功率譜對比分析

為驗證本文方法的正確性，將簡明封閉解法結構系列響應的功率譜密度函數與傳統虛擬激勵法進行對比分析。

(43)

(44)

圖3 地面加速度功率譜對比圖

虛擬激勵法與本文方法的第2層位移及第4層層間位移的功率譜密度函數對比圖，如圖4和圖5所示。

圖4 2層結構位移功率譜對比圖

圖5 4層結構層間位移功率譜對比圖

4.2 本文方法計算效率分析

為驗證本文方法的計算效率，將本文方法與虛擬激勵法進行對比，在同一臺電腦上，以結構第2層為例，選取積分區間為[0,1 000 rad/s],表中虛擬激勵法積分步長分別選取：(1) 0.50 rad/s;(2) 0.10 rad/s;(3) 0.01 rad/s。本文方法和虛擬激勵法的計算效率及精度如表1所示。

表1 計算效率及誤差分析

4.3 系列響應譜矩的對比分析

4.3.1 虛擬激勵法積分步長的影響分析

為驗證本文方法所得到的結構系列響應0～2階譜矩的正確性，將其結果與虛擬激勵法進行對比分析。當積分步長和積分區間的選取值不同時，用虛擬激勵法所得結構響應方差和譜矩結果有較大差異；故將積分區間上限暫定500 rad/s；0～2階譜按積分步長0.50 rad/s、0.10 rad/s、0.01 rad/s進行取值分析，對比結果如圖6～圖11所示。

分析圖6～圖11可知：①積分步長取值越小，虛擬激勵法所得譜矩越逼近本文方法所得譜矩，說明本文方法的正確性，驗證了本文所得解為封閉解；②同一積分步長下(0.10 rad/s)，虛擬激勵法2階譜矩與本文方法2階譜矩所得結果相距最遠，說明在0階、1階和2階譜矩中，2階譜矩受積分步長影響最大。

圖6 積分步長對結構位移0階譜矩的影響分析

圖7 積分步長對結構位移1階譜矩的影響分析

圖8 積分步長對結構位移2階譜矩的影響分析

圖9 積分步長對結構層間位移0階譜矩的影響分析

圖10 積分步長對結構層間位移1階譜矩的影響分析

圖11 積分步長對結構層間位移2階譜矩的影響分析

4.3.2 虛擬激勵法積分區間的影響分析

由4.3.1節可知，本文方法所獲得譜矩為精確解，可為虛擬激勵法積分步長的取值提供參考。根據相關文獻，目前對于虛擬激勵法的積分區間的確定沒有明確規定，因此，本文對其合理的積分區間進行了研究。4.3.1節研究表明積分步長取0.10時虛擬激勵法基本與本文方法基本重合，為此，分別取積分區間上限為20 rad/s，50 rad/s，100 rad/s，圖12～圖17中0～2階譜矩按積分步長為0.05 rad/s進行分析，圖18～圖21中0～2階譜矩按積分步長為0.01 rad/s進行分析。

對比圖12～圖14及圖15～圖17可知，區間積分上限對0階譜矩、層間0階譜矩影響小；對1階、2階譜矩及層間1階、2階譜矩影響大。對比圖13～圖14與圖18～圖19、對比圖16～圖17與圖20～圖21可知，當積分上限取值相同時，積分步長取值越小，計算結果精度越高。

圖12 積分區間對結構位移0階譜矩的影響分析

圖13 積分區間對結構位移1階譜矩的影響分析

圖14 積分區間對結構位移2階譜矩的影響分析

圖15 積分區間對結構層間位移0階譜矩的影響分析

圖16 積分區間對結構層間位移1階譜矩的影響分析

圖17 積分區間對結構層間位移2階譜矩的影響分析

圖18 積分區間對結構位移1階譜矩的影響分析

圖19 積分區間對結構位移2階譜矩的影響分析

圖20 積分區間對結構層間位移1階譜矩的影響分析

圖21 積分區間對結構層間位移2階譜矩的影響分析

5 結 論

針對六參數黏彈性阻尼結構基于Kanai-Tajimi譜隨機激勵下系列響應的求解，提出了簡明封閉解法，獲得如下結論：

(1) 將推導出的六參數黏彈性阻尼結構精確等效的1階微分型本構關系與Kanai-Tajimi譜的濾波方程聯立，將復雜的地面運動轉化為易于獲得結構響應解析解的白噪聲隨機地震動；基于隨機振動理論，獲得了結構系列響應的功率譜及結構0～2階譜矩的統一簡明封閉解。

(2) 將推導得到的結構隨機響應的功率譜、譜矩與傳統的虛擬激勵法進行對比，通過算例表明，本文方法與虛擬激勵法完全重合，證明該方法所獲得的功率譜密度函數二次正交化的準確性。

(3) 運用傳統的虛擬激勵法分析結構隨機響應時，積分步長與積分間距的選取對得到的響應精度有較大影響，但目前相關文獻對此沒有明確規定。通過算例分析可知，本文方法不僅可以得到結構響應的封閉解，還可為傳統虛擬激勵法求解結構系列響應確定積分步長和積分間距提供重要參考。

附錄A.式(2)的推導

(A.1)

附錄B.式(5)的推導

式(5)的展開式為

(B.1)

把式(5)改寫為

(B.2)

式中:P為2n×1列向量,P=[p11,p12,p21,p22,…,pn1,pn2]T；λ為2n階方陣，λ=diag[λ1,λ2,λ1,λ2,…,λ1,λ2]，“diag”為對角陣，且λ1=kd1/cd1，λ2=kd2/cd2；B為2n階方陣，其元素為B(1,1)=kd1,B(2,1)=kd2,B(2i-1,2i-1)=kd1,B(2i,2i)=kd2,B(2i-2,2i-1)=-kd1,B(2i-1,2i)=-kd2,(i=2,3,…,n)，其余元素均為0。

附錄C.式(5)的推導

式(6)的展開式為

(C.1)

式(C.1)可表示為

(C.2)

D為n階方陣，其元素為D(1,1)=1,D(i,i)=1,D(i-1,i)=-1,(i=2,3,…,n)，其余元素均為0；F為n×2n階方陣，其元素為F(i,2i-1)=F(i,2i)=1(i=1,2,…,n),其余元素為0。