范疇與半群

喻秉鈞

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

1 預備知識

1994年,印度數學家Nambooripad在文獻[1]中利用一類特殊的有子對象范疇——正規范疇(normal categories)刻畫了正則半群的結構.Romeo和Muhammed在文獻[2-3]中將正規范疇推廣為“平衡范疇(balanced categories)”和“連貫范疇(consistent categories)”,把Nambooripad的結論推廣到一類特殊的富足半群——“一致半群(concordant semigroups)”;文獻[4-5]將他們的結論用簡化了的“平衡范疇”推廣到任意富足半群.本文將用“冪富范疇(idempotent ample categories)”把相關結論進一步推廣到任意左富足半群.

本文討論的范疇都是“小范疇”,即其對象類和態射類均為集合的范疇;所用范疇論和半群理論的基本概念和記號都是標準的,關鍵概念和記號將在各節陸續介紹,其余的請讀者參看文獻[1,6-10],不再詳細列出.

f∈(c,d),g∈(c′,d′),

fg存在當且僅當d=c′,且fg∈(c,d′),該部分合成滿足結合律.特別地,態射集(c,c)中有單位態射1c,從而(c,c)是幺半群.顯然,每個幺半群都是僅有一個對象的范疇.

凡未特別聲明,文中半群S都指冪等元集E(S)不空的任意半群.S的雙序集是三元組(E(S),ω,ωr),其中E(S)是S的冪等元集,2個擬序定義為:

ω={(e,f)∈E(S)×E(S)|ef=e},

ωr={(e,f)∈E(S)×E(S)|fe=e},

并有以下基本性質(參看文獻[7]):

1)ω=ω∩ωr是E(S)上偏序；

3) ?e,f∈E(S),有

eωf?efeωf,eωrf?eefωf.

半群S中的*-Green關系*、*定義(參看文獻[11])如下:

*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,

ax=ay?bx=by},

*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,

xa=ya?xb=yb},

并有以下基本性質：

?*,?*.

表示元素a所在*-(*-)類中的冪等元.這樣的*-(*-)類中的元素稱為是左(右)富足的,既左又右富足的元素稱為富足元,每個元素都(左,右)富足的半群稱為(左,右)富足半群.

3) 設e,f∈E(S),a∈Sf(eS)左(右)富足,則

為避免在術語使用上引起矛盾,規定范疇中態射和自然變換的合成都是從左至右施行的.以下術語都是在這樣規定下定義的(參看文獻[1,4-5,7])：范疇中的態射f稱為是一個單態射(monomorphism),若它右可消,即gf=hf蘊涵g=h；f稱為右可裂(right split),若有g∈,使得fg=1dom f,稱這樣的g為收縮(retraction).顯然,右可裂的態射必為單態射,其逆一般不成立.分別與單、右可裂對偶的概念是滿(epimorphism)和左可裂,不再詳述.既單且滿的態射稱為平衡(balanced)態射.本文將揭示這幾個概念與半群中元素的(左,右)富足性的自然聯系.此外,既左可裂又右可裂的態射稱為同構(isomorphism).Nambooripad在文獻[1,7]中已揭示,這是與半群中元素的正則性自然聯系的概念.

下述引理可由以上定義直接驗證,其證明略.

引理 1.1在范疇中,任二單(滿、平衡、左(右)可裂、同構)態射的合成,只要存在,仍為單(滿、平衡、左(右)可裂、同構)態射;任一單(滿)態射的左(右)因子仍是單(滿)態射.

2 有子對象的范疇和有冪等元的半群

熟知的擬序(滿足自反、傳遞的二元關系)和偏序(滿足反對稱性的擬序)都有自然的范疇表述,分別稱為前序(preorder)和嚴格前序(strict preorder)：稱范疇P是一個前序,若對其任二對象c、d,態射集P(c,d)最多包含一個元素；不含非平凡同構的前序,即只有1c(c∈vP)這樣同構的前序P,稱為嚴格前序.之所以需要這2個概念,因為半群S的冪等元雙序集中的2個擬序ω、ωr是要用范疇論手段來研究的重點,而它們與S中其余元素的關系,特別是對于左(右)富足半群、富足半群以及正則半群,全蘊涵在冪等元生成的主左理想與主右理想及其在包含關系下自然形成的偏序集中.為說明這種關系,需要“范疇的子對象關系”這個概念(參看文獻[1,6]).

定義 2.1稱范疇有子對象(subobject)P,若有一個子范疇P,滿足：

1)P是嚴格前序,且vP=v；

2)P中每個態射都是單態射；

3) 若態射f,g∈P,有h∈使得f=hg,則必有h∈P.

引理 2.1設S為半群,其冪等元集E(S)≠?.定義范疇L(S)如下：

vL(S)={Se|e∈E(S)},

L(S)(Se,Sf)={ρ:Se→Sf|

(?s,t∈Se)(st)ρ=s(tρ)}, ?e,f∈E(S),

那么有:

1) ?e,f∈E(S),L(S)(Se,Sf)≠?,且?u∈eSf,

xρ(e,u,f)=xu

是從eSf到L(S)(Se,Sf)上的雙射；

2) ?e,e′,f,f′∈E(S),u∈eSf,u′∈e′Sf′,ρ(e,u,f)=ρ(e′,u′,f′)?ee′,ff′,且u′=e′u;

3)ρ(e,u,f)、ρ(g,v,h)可合成的充要條件是fg,且此時有ρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=ρ(e,uv,h).

證明1) ?e,f∈E(S),ρ∈L(S)(Se,Sf),記eρ=u,不難驗證u∈eSf且

同時,易知對任意

必是L(S)(Se,Sf)中的一個態射.這說明

是從eSf到L(S)(Se,Sf)的滿射.如果

ρ(e,u,f)=ρ(e,v,f),u,v∈eSf,

那么

u=eu=eρ(e,u,f)=eρ(e,v,f)=ev=v.

因此,這是雙射.

2) 若ρ(e,u,f)=ρ(e′,u′,f′),則Se=Se′,Sf=Sf′,故ee′,ff′,進而

u′=e′u′=e′ρ(e′,u′,f′)=

e′ρ(e,u,f)=e′u,

其逆易直接驗證.

3) 由范疇中部分合成的定義,ρ(e,u,f)、ρ(g,v,h)可合成的充要條件是Sf=Sg,即fg,且此時?x∈Se有

xρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=xuv=xρ(e,uv,h),

故

ρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=ρ(e,uv,h).

注 2.1由引理2.1可知,?e∈E(S),L(S)(Se,Se)中的恒等態射有形

1Se=ρ(e,e,e)=ρ(e,e,f)=

ρ(f,f,e)=ρ(f,f,f), ?f∈E(Le).

應當指出,盡管右平移er和fr在Se=Sf上的限制也都是其上的恒等映射,但在態射集

L(S)(Se,Se)=L(S)(Se,Sf)=

L(S)(Sf,Se)=L(S)(Sf,Sf)

中沒有形為ρ(e,f,e)=ρ(e,f,f)和ρ(f,e,e)=ρ(f,e,f)的態射,因為當ef但e≠f時,有e?fS且f?eS.這說明,不是任何右平移(在主左*-理想的限制)都是L(S)中的態射.

稱L(S)為S的主左*-理想范疇.該范疇中的態射與S的Green關系及*-Green關系有以下命題所述的緊密聯系.特別地,冪等元雙序中之擬序ω確定了L(S)有一個自然的子對象關系,即冪等元生成主左理想之包含關系?.

命題 2.1設S、L(S)定義如引理2.1,e,f∈E(S),u∈eSf,ρ=ρ(e,u,f),有:

1)e*u?ρ是單態射；eu?ρ右可裂.

2)u*f?ρ是滿態射；uf?ρ左可裂.

3)e*u*f?ρ是平衡態射；euf?ρ是同構.

4) 定義L(S)的子范疇P(S)為：vP(S)=vL(S)且?e,f∈E(S),

那么P(S)是L(S)的一個子對象選擇,其子對象關系為

?e,f∈E(S),Se?Sf?eω

5)L(S)中每個包含ρ(e,e,f)(eω)都右可裂；每個收縮恰有形ρ(f,g,e),g∈E(Le)∩ω(f).

證明1) 設e*u,可證ρ是單射,從而是單態射.事實上,?x,y∈Se,若

xρ(e,u,f)=yρ(e,u,f),

即xu=yu,那么由e*u和x,y∈Se立得

x=xe=ye=y.

若eu,則u正則,故有g′∈E(Lu).由uf=u得g′f=g′,如此

g=fg′∈E(Lg′)∩ω(f)=E(Lu)∩ω(f).

這樣,存在

u′∈V(u)∩Le∩Rg,

有

fu′e=fgu′e=gu′e=u′,

故

ρ(f,u′,e)∈L(S),

使得

ρ(e,u,f)ρ(f,u′,e)=ρ(e,uu′,e)=

ρ(e,e,e)=1Se.

這證明了ρ(e,u,f)右可裂.

2) 設u*f,為證明ρ是滿態射,設

ρ(e,u,f)ρ(f,x,g)=

ρ(e,u,f)ρ(f,y,g),x,y∈fSg,

即

ρ(e,ux,g)=ρ(e,uy,g).

因為ux,uy∈eSg,由引理2.1的1),得ux=uy,于是

x=fx=fy=y,

故

ρ(f,x,g)=ρ(f,y,g),

即ρ是滿態射.

若uf,則u正則,故有

g′∈E(Ru).

由eu=u得eg′=g′.如此

g=g′e∈E(Rg′)∩ω(e)=E(Ru)∩ω(e).

這樣,存在

u′∈V(u)∩Rf∩Lg,

有

fu′e=fu′ge=fu′g=u′,

故

ρ(f,u′,e)∈L(S),

使得

ρ(f,u′,e)ρ(e,u,f)=ρ(f,u′u,f)=

ρ(f,f,f)=1Sf.

這證明了ρ(e,u,f)左可裂.

3)是1)與2)的推論.

4) 由P(S)的定義易知它是以S的冪等元生成主左-理想之間的自然包含關系為偏序的偏序集,且每個包含

是Se向Sf?Se的單射,從而是單態射.為證明P(S)滿足定義2.1的3),設eω、gω且有

ρ(e,u,g)∈L(S),

使得

ρ(e,e,f)=ρ(e,u,g)ρ(g,g,f).

由引理2.1的1),易得e=ug,于是

eg=ug2=ug=e,

即eω,且因為u∈eSg,有

e=ug=u,

故得

5) 設eω,則有fe∈E(Le)∩ω(f).對任意

g∈E(Le)∩ω(f),

有ρ(f,g,e)∈L(S)且

jSfSeρ(f,g,e)=ρ(e,e,f)ρ(f,g,e)=

ρ(e,eg,e)=ρ(e,e,e)=1Se.

這證明了ρ(f,g,e)是從Sf到Se上的收縮.

反之,若

ρ=ρ(f,u,e)∈L(S)(Sf,Se),u∈fSe

是從Sf到Se上的收縮,即eω,且

ρ(e,e,f)ρ(f,u,e)=1Se,

易知u=fρ∈Se,且有

uf=uef=ue=u,

u2=u(fρ)=(uf)ρ=uρ=

ujSfSeρ=u1Se=u,

eu=e(fρ)=(ef)ρ=eρ=

ejSfSeρ=e1Se=e.

這證明了u∈E(Le)∩ω(f).這樣不但證明了

右可裂,且證明了從Sf到Se的收縮恰有形ρ(f,g,e),g∈E(Le)∩ω(f).

注 2.2eω時,從Sf到Se的收縮之集與{g∈E(Le)∩ω(f)}有雙射,故收縮一般不唯一.

定理 2.1設S、L(S)定義如引理2.1,ρ=ρ(e,u,f)∈L(S)(Se,Sf),有:

1) 若S右富足,則ρ是單態射?e*u；ρ右可裂?eu.

2) 若S左富足,則ρ是滿態射?u*f；ρ左可裂?uf.

3) 若S富足,則ρ是平衡態射?e*u*f；ρ是同構?euLf.

證明因3)是1)、2)的推論且命題2.1已證明1)、2)中論述的充分性,只需證明它們的必要性.

從而

ρ(e,g,g)∈L(S)(Se,Sg),

ρ(g,u,f)∈L(S)(Sg,Sf)

滿足

?x∈Se,xρ(e,g,g)ρ(g,u,f)=

xgu=xu=xρ(e,u,f),

即

ρ(e,g,g)ρ(g,u,f)=ρ(e,u,f).

因為ρ(e,u,f)是單態射,其左因子ρ(e,g,g)也是單態射.另一方面,不難驗證

ρ(e,g,e)ρ(e,g,g)=ρ(e,e,e)ρ(e,g,g),

故由ρ(e,g,g)是單態射得

ρ(e,g,e)=ρ(e,e,e).

再由引理2.1的1)立得e=g,因而e*u.

設ρ=ρ(e,u,f)右可裂,即有v∈fSe,使得

ρ(e,u,f)ρ(f,v,e)=1Se=ρ(e,e,e),

那么有uv=e,但已有u=eu,故得eu.

于是ρ(e,u,h),ρ(h,h,f)∈L(S)使得

ρ(e,u,f)=ρ(e,u,h)ρ(h,h,f).

如此,作為滿態射ρ(e,u,f)的右因子,ρ(h,h,f)也是滿態射.另一方面,不難驗證

ρ(h,h,f)ρ(f,h,f)=ρ(h,h,f)ρ(f,f,f),

故得

ρ(f,h,f)=ρ(f,f,f),

即h=f,從而f*u.

設ρ=ρ(e,u,f)左可裂,即有v∈fSe使得

ρ(f,v,e)ρ(e,u,f)=1Sf=ρ(f,f,f),

那么有vu=f,但已有u=uf,故得uf.

□

對偶地,有主右*-理想范疇R(S)=L(Sop),其中,Sop=(S,·),a·b=ba.其定義和性質如以下引理、命題和定理所示,其證明略.

引理 2.2設S為半群,其冪等元集E(S)≠?.定義范疇R(S)如下：

vR(S)={eS|e∈E(S)},

R(S)(eS,fS)={λ:eS→fS|

(?s,t∈eS)λ(st)=λ(s)t}, ?e,f∈E(S),

那么有:

1) ?e,f∈E(S),R(S)(eS,fS)≠?,且?u∈fSe,

λ(e,u,f)(x)=ux

是從fSe到R(S)(eS,fS)上的雙射；

2)?e,e′,f,f′∈E(S),u∈fSe,u′∈f′Se′,λ(e,u,f)=λ(e′,u′,f′)?ee′,ff′且u′=ue′；

3)λ(e,u,f)、λ(g,v,h)可合成的充要條件是fg,且此時有

λ(e,u,f)λ(g,v,h)=ρ(e,vu,h),

即?x∈eS有

(λ(e,u,f)λ(g,v,h))(x)=

λ(g,v,h)[λ(e,u,f)(x)]=

λ(g,v,h)(ux)=v(ux)=

(vu)x=λ(e,vu,h)(x).

命題 2.2設S、R(S)定義如引理2.2,e,f∈E(S),u∈fSe,λ=λ(e,u,f),有:

1)e*u?λ是單態射；eu?λ右可裂；

2)u*f?λ是滿態射；uf?λ左可裂；

3)e*u*f?λ是平衡態射；euf?λ是同構；

4) 定義R(S)的子范疇Pr(S)為：vPr(S)=vR(S)且?e,f∈E(S),

那么Pr(S)是R(S)的一個子對象選擇,其子對象關系為

?e,f∈E(S),eS?fS?eωrf.

5)R(S)中每個包含λ(e,e,f)(eωrf)都右可裂；每個收縮恰有形λ(f,g,e),g∈E(Re)∩ω(f).

定理 2.2設S、R(S)定義如引理2.2,λ=λ(e,u,f)∈R(S)(eS,fS),有:

1) 若S左富足,則λ是單態射?e*u；λ左可裂?eu.

2) 若S右富足,則λ是滿態射?u*f；λ右可裂?uf.

3) 若S富足,則λ是平衡態射?e*u*f；λ是同構?euf.

為了用范疇準確描述半群的左、右富足性,需要討論有子對象范疇中態射的因子分解(factorization).

定義 2.2設是有子對象的范疇.稱態射f∈有“滿-包含因子分解”,若有滿態射p和包含j,使得f=pj.如果這樣的因子分解是唯一的,就稱該唯一的p為f的“滿成分”,記為fο；稱該唯一的j為f的包含成分,記為jf.此時,稱codp=domj為f的像,記為imf.

若態射f∈有因子分解f=euj,其中e是收縮,j是包含,而u是平衡態射,那么稱f=euj為f的平衡(balanced)因子分解.特別地,若u是同構,則稱f=euj為f的正規(normal)因子分解.2種情形下,均稱domu=code為f的一個余像(coimage),余像之集記為coimf.

熟知,在集合范疇Set中,每個態射(即集合間的通常映射)都有正規因子分解,有像(即映射的像集)一般有多個余像集.Nambooripad[7]證明,任一正則半群S的主左理想范疇L(S)也是有像的范疇,且每個態射有正規因子分解.有例說明,存在左富足半群,其主左*-理想范疇有像(有唯一因子分解),但有態射無平衡因子分解；也存在富足半群,其主左*-理想范疇有像(有唯一因子分解),每態射有平衡因子分解,但有態射無正規因子分解.這說明,范疇中態射的因子分解可以區分半群中元素的左(右)富足性、富足性和正則性.

命題 2.3設范疇有子對象P,每個態射有滿-包含因子分解且每個包含都右可裂,則:

2) 若p∈為滿態射,則jp=1cod p,從而

pο=p,imp=codp；

若p有平衡因子分解,則其平衡因子分解有形p=eu,其中e是收縮,u是平衡態射.

3) 每個單態射f∈都有平衡因子分解,形為f=ujf,u平衡,即u=fο,因而單態射f以domf為其唯一余像.

證明1) 設f=xj=yj′是f∈的任二滿-包含因子分解,x、y為滿態射,j、j′為包含.由j、j′右可裂,有v,v′∈使得

jv=1dom j,j′v′=1dom j′.

由此可得

xjv′j′=yj′v′j′=yj′=xj,

yj′vj=xjvj=xj=yj′.

由x、y為滿態射得

j=jv′j′,j′=j′vj.

記

i′=jv′,i=j′v.

由子對象P的定義,有i′,i∈P,且

xi′i=xjv′j′v=yj′v′j′v=yj′v=

yii′=yj′vjv′=xjvjv′=xjv′=yj′v′=

因為P是嚴格前序,無非平凡同構,得

domj=domj′,i=i′=1dom j,

從而j=j′,且由j=j′單得x=y.

2) 因為偏序?有自反性,按定義,對任意c∈v,應有1c是(平凡)包含.p∈既是滿態射,而p=p1cod p自然是其一個“滿-包含因子分解”.這種因子分解既然唯一,當然有pο=p,imp=codp且jp=1cod p.如此p的平衡因子分解若存在,則必有形p=eu,e為收縮,u為平衡態射.

3) 若f∈為單態射,由1)有f=fοjf為其唯一因子分解.但作為單態射的左因子,滿態射fο也必是單的,因而是平衡態射.由此知,f只有唯一平衡因子分解,其中的收縮左因子是1dom f,因而它只有唯一余像,即domf.

推論 2.1設范疇有子對象P,每個態射有滿-包含因子分解且每個包含都右可裂,則對任意f,g∈,若fg存在,則

(fg)ο=fο(jfg)ο,jfg=jjfg.

證明由命題2.3,中每個態射有唯一滿-包含因子分解,若fg有定義,則

(fg)οjfg=fg=(fοjf)g=

fο(jfg)=fο(jfg)οjjfg.

因滿態射之積仍滿且每個態射滿-包含因子分解唯一,得(fg)ο=fο(jfg)ο,jfg=jjfg.

半群S中元素的左(右)富足性與L(S)中態射的因子分解有自然聯系,如以下定理所述.

定理 2.3設e,f∈E(S),ρ=ρ(e,u,f)∈L(S),u∈eSf,有:

1) 若u左富足,則ρ有唯一因子分解

ρ=ρ(e,u,f)=ρ(e,u,u*)ρ(u*,u*,f),

ρο=ρ(e,u,u*),jρ=ρ(u*,u*,f),

分別是ρ的(唯一)滿成分和包含成分.

2) 若u右富足,且ρ是滿態射,則ρ有平衡因子分解,其所有平衡因子分解之集為

{ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*)|

3) 若S富足,則L(S)中每個態射都有唯一因子分解,從而有像.進而,每個態射都有平衡因子分解,形為

ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*)ρ(u*,u*,f),

特別地,當u∈eSf∩RegS時,ρ(e,u,f)的上述平衡分解實為正規分解.

由命題2.1的2)ρ(e,u,u*)∈L(S)是滿態射且

是包含,而

ρ=ρ(e,u,f)=ρ(e,u,u*)ρ(u*,u*,f).

注意到命題2.1的5)已證L(S)中每個包含都右可裂,故由命題2.2的1)知ρ有唯一因子分解.于是

ρο=ρ(e,u,u*),jρ=ρ(u*,u*,f),

分別是ρ的(唯一)滿成分和包含成分.

ρ(e,u+,u+),ρ(u+,u,f)∈L(S)

且

ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,f),

jSeSu+ρ(e,u+,u+)=ρ(u+,u+,e)ρ(e,u+,u+)=

ρ(u+,u+,u+)=1Su+.

因為ρ(e,u,f)是滿態射,由定理2.1的2),u*f,故ρ(u+,u,f)=ρ(u+,u,u*)是平衡態射.這就得到ρ有平衡因子分解.因為中任二不同元素不可能-相關,因此以上平衡因子分解式之集恰與之間有雙射.

□

由于R(S)與L(S)具有左右對偶性,有以下對偶結論,其證明略.

定理 2.4設e,f∈E(S),λ=λ(e,u,f)∈R(S),u∈fSe,有:

1) 若u右富足,則λ有唯一因子分解

λ=λ(e,u,f)=λ(e,u,u+)λ(u+,u+,f),

λο=λ(e,u,u+),jλ=λ(u+,u+,f)=jfSu+S,

分別是λ的(唯一)滿成分和包含成分.

2) 若u左富足,且λ是滿態射,則λ有平衡因子分解,其所有平衡因子分解之集為

{λ(e,u,f)=λ(e,u*,u*)λ(u*,u,f)|

3) 若S富足,則R(S)中每個態射都有唯一因子分解,從而有像.進而,每個態射都有平衡因子分解,形為

λ(e,u,f)=λ(e,u*,u*)λ(u*,u,u+)λ(u+,u+,f),

特別地,當u∈fSe∩RegS時,λ(e,u,f)的上述平衡分解實為正規分解.

下面用幾個具體例子對以上概念和結論給出一些形象解釋.

|NNa|=|N|

的所有單射a與恒等映射e=1N所成子集.這里,N是所有自然數之集.由文獻[9]引理8.1和定理8.2,S=Mr{e}是右消右單無冪等元半群(Baer-Levi半群).為完整起見,驗證如下.

N?NNab?NNb,

故得

|NNab|=|NNb|=|N|.

其次,證明S右消右單.設a,b,c∈S有ac=bc,即?n∈N,((n)a)c=((n)b)c,c單蘊含(n)a=(n)b,?n∈N,即a=b,故S右消；

對任二a,b∈S,因

|NNa|=|N|=|NNb|,

由無限基數運算性質知,存在NNb的一個劃分

滿足

|N1|=|N2|=|N|,N1∩N2=?.

顯然c∈N且滿足|NNc|=|N2|=|N|,由f為雙射知c單,有c∈S且對任意m∈N,因為有

(m)ac=((m)a)c=(m)b, ?m∈N,

故b=ac.這證明了S右單.顯然S右消蘊含Mr右消,從而每個元素都與e*-相關,即Mr是右富足(幺)半群.

由上述c的構作中雙射f的選擇無限多,可知有不同的c1,c2∈S使得ac1=b=ac2,故S不滿足左可消性.而Mr只有一個冪等元e且是Mr的單位元,故S中每個元素都不可能與e*-相關,即Mr是右富足但非左富足的(幺)半群.顯然,Mr可視為只有一個對象的范疇,其中每個非e的態射均單而不滿.

將上述合成運算改變為從右到左施行得到的幺半群記為M,即

?a,b∈M, ?n∈N,ab(n)=a(b(n)),

則用和以上左右對偶的證明,可知M是左富足而非右富足的(幺)半群.稱這個左富足而非右富足的幺半群M為Baer-Levi幺半群.它亦可視為每個非e的態射均滿而不單的范疇,自然其態射無平衡因子分解,更無正規因子分解.

例 2.2設E=I×Λ是矩形帶,M是可消幺半群；S=E×M.易知,S是富足半群,有

E(S)=(I×Λ)×{1},

這里1是M的單位元(也是唯一冪等元)；對每個

e=(i,λ;1)∈E(S),

若f=(i′,λ′;1)∈E(S),則

eSf={i}×{λ′}×M.

又,S的每個主左*-理想都是極小的,故L(S)的子對象關系是平凡關系1vL(S)?1Λ.由此可知,L(S)中只有平凡包含ρ(e,e,e),它也是僅有的收縮；進而,有

L(Se,Sf)=

{ρ(e,a,f)|a=(i,λ′;m),m∈M}.

因為對每個a∈eSf都有e*a*f,故L(S)中每個態射ρ(e,a,f)都是平衡態射,它是同構當且僅當a是幺半群M的單位(unit)；只要M不是群,則L(S)中存在非同構的平衡態射.特別地,每個L(S)(Se,Se)是與M同構的可消幺半群.

對R(S),關于L(S)所有結論的對偶都成立.

例 2.3設E是半格,M是可消幺半群,S=E×M,易驗證S也是富足半群.注意到,直積E×M中的冪等元有形(x,1),x∈E,知E(S)位于S的中心,故對任二e,f∈E(S),記g=ef=fe,則

eSf=gS=Sg.

如此有

vL(S)=vR(S).

對L(S)描述如下：

vL(S)={Se=eS|e∈E(S)},

L(S)(Se,Sf)=

{ρ(e,u,f)|u∈Sg=gS,g=ef=fe}.

它的子對象關系與半格E的自然偏序

x≤y?x=xy=yx

ρ(e,u,f)=ρ(e,g,g)ρ(g,u,g)ρ(g,g,f),

g=ef=fe,

其中,ρ(g,g,f)是包含,ρ(e,g,g)是收縮,而ρ(g,u,g)是平衡態射；當且僅當u=(x,m)中第二分量m是幺半群M的單位時,ρ(g,u,g)是同構.特別地,當且僅當M是群時,S為Clifford半群,上述分解是(Nambooripad在文獻[1]中定義的)正規因子分解(normal factorization).

3 冪富范疇與左(右)富足半群

本節定義本文的核心概念：冪富范疇(idempotent ample categories),它們與半群的左(右)富足性密切相關.為此,先定義“有像范疇(categories with images)”.

定義 3.1稱范疇是有像的,若滿足以下4個性質：

imf=codfο=domjf.

由命題2.1、2.2和定理2.1、2.2,每個左(右)富足半群S的主左(主右)*-理想范疇L(S)(R(S))是有像的范疇.但例2.1說明左(右)富足半群的主右(主左)*-理想范疇不一定是有像的.

在范疇和半群中間起到關鍵作用的是以下關于有像范疇的錐(cone)以及錐半群的概念.

定義 3.2設是有像的范疇.所謂的錐γ是從v到的映射γ:v→,滿足：

1) 存在唯一cγ∈v,對所有c∈v,有

γ(c)∈(c,cγ),

稱cγ為γ的尖(apex)；

2) 對任意c1,c2∈v,只要c1?c2,就有

稱錐γ是平衡(正規)的,若

Mγ={c∈v|γ(c)有平衡因子分解}≠?,

(Mnγ={c∈v|γ(c)有正規因子分解}≠?);

當Mγ=v(Mnγ=v)時,稱γ是強平衡(強正規)的.

注 3.1用純范疇的語言敘述,一個錐γ是從嵌入函子j:P→到“常函子(constant functor)”Δcγ:P→的自然變換.所謂常函子Δcγ,是把每個對象c∈vP=v變為cγ且把每個態射變為1cγ的特殊函子.

引理 3.1設γ是有像范疇的錐,f∈(cγ,c′),定義映射γ★fο:v→為

(γ★fο)(c)=γ(c)fο, ?c∈v,

(1)

則γ★fο也是的錐,有

cγ★fο=imf?c′,

且對任意f∈(cγ,c′),g∈(c′,c″),有

γ★(fg)ο=(γ★fο)★(jc′im fg)ο.

特別地,當f、g均為滿態射時,有

γ★fg=(γ★f)★g.

證明顯然

是從v到的映射,有

cγ★fο=imf?c′；

對任意c1,c2∈v,若c1?c2,由γ是錐,有

(γ★fο)(c1)=γ(c1)fο=(jc2c1γ(c2))fο=

jc2c1(γ(c2)fο)=jc2c1((γ★fο)(c2)).

這證明了γ★fο是錐.

進而,對任意c∈v,由推論2.1有

(γ★(fg)ο)(c)=γ(c)(fg)ο=

γ(c)(fο(jc′im fg)ο)=

((γ★fο)★(jc′imfg)ο)(c).

這證明了

當f、g均為滿態射時,因為fg是滿態射且有jf=1,fο=f和gο=g,故有最后等式成立.

引理 3.2對有像范疇的任一錐γ和c,d∈v,若c?d,則imγ(c)?imγ(d).

γ(c)=pjcγim γ(c),γ(d)=p′jcγim γ(d),

于是有

pjcγim γ(c)=jdcp′jcγim γ(d)qjcγim γ(d)=pjcγim γ(c)qjcγim γ(d).

因p為滿態射,有

這就得到

imγ(c)?imγ(d).

□

本文核心概念“冪富范疇”是存在冪等錐所必須的,由它即可建立左富足半群的范疇刻畫.

定義 3.3稱范疇是冪富的(idempotent ample),若它有像且滿足以下性質:

本節其余部分建立冪富范疇與左富足半群之間的相互關聯理論.

命題 3.1左富足半群S的主左*-理想范疇L(S)是冪富范疇.

證明第二節中幾個引理、命題和定理的結論保證L(S)滿足性質(P1)～(P4)(連通、有子對象、每包含可裂和每態射有像).為證明(P5)也成立,對每個Se∈vL(S),定義ρe:vL(S)→L(S)為

?Sf∈vL(S),ρe(Sf)=ρ(f,fe,e).

下證ρe是L(S)的錐：對任意

Sg?Sf∈vL(S),

因為

而

ρe(Sg)=ρ(g,ge,e)=ρ(g,gfe,e)=

ρ(g,g,f)ρ(f,fe,e)=jSfSgρe(Sf).

顯然,?e∈E(S),cρe=Se,而

ρe(Se)=ρ(e,e,e)=1Se,

即性質(P5)也成立,故L(S)是冪富范疇.

□

由左右富足性是相互對偶的,而性質(P5)是左右對稱的,顯然有以下結論.

命題 3.2右富足半群S的主右*-理想范疇R(S)是冪富范疇.

命題 3.31) 對有像范疇的任意錐γ1、γ2,定義

γ1·γ2=γ1★(γ2(cγ1))ο,

(2)

則γ1·γ2也是的錐;

證明1)是引理3.1的直接推論.若是冪富范疇,由性質(P5),對每個c∈v存在錐滿足(c)=1c,由“·”定義,有

·=★((c))ο=★1=.

這證明了2).

定義 3.4設是冪富范疇,記

TC={γ=★f|(c)=1c,

f∈(c,cγ)是滿態射}.

(3)

命題 3.4對每個冪富范疇,錐集合TC≠?,且有:

1) TC對錐運算“·”封閉且cγ1·γ2?cγ2；

2) 對每個γ∈TC,對象集M0γ={c∈v|γ(c)是滿態射}不空；

3)E(TC)={γ∈TC|γ(cγ)=1cγ}；

4) (TC,·)是半群.

證明由性質(P5),對每個c∈v,存在

=★1c∈TC,

故TC≠?.

1) 對γ1,γ2∈TC,有

cγ1·γ2=imγ2(cγ1)?cγ2.

進而有γ1=1★f1,其中f1∈(c,cγ1)是滿態射,故

γ1·γ2=(1★f1)★(γ2(cγ1))ο=

由f1和(γ2(cγ1))ο∈(cγ1,cγ1·γ2)是滿態射,其積是(c,cγ1·γ2)中的滿態射,故γ1·γ2∈TC.

2) 對每個γ=★f∈TC,顯然γ(c)=f是滿態射,即c∈M0γ.

3) 若γ·γ=γ∈TC,由2),有c∈M0γ滿足

γ(c)(γ(cγ))ο=γ(c).

因為γ(c)滿,左可消,得(γ(cγ))ο=1cγ.這蘊含

滿足γ(cγ)=1cγ的錐顯然是冪等的,故有

E(TC)={γ∈TC|γ(cγ)=1cγ}.

4) 由1),只需驗證錐運算“·”滿足結合律.設γ1,γ2,γ3∈TC,記

ci=cγi,i=1,2,3,

c12=imγ2(c1)=cγ1·γ2,

c23=imγ3(c2)=cγ2·γ3,

c123=imγ3(c12)=c(γ1·γ2)·γ3.

由1)有c12?c2且由引理3.2有

c123=imγ3(c12)?imγ3(c2)=c23?c3.

對任意c∈v,有

((γ1·γ2)·γ3)(c)=

((γ1·γ2)(c))(γ3(cγ1·γ2))ο=

γ1(c)(γ2(c1))ο(γ3(c12))ο

和

(γ1·(γ2·γ3))(c)=

γ1(c)((γ2·γ3)(c1))ο=

γ1(c)(γ2(c1)(γ3(c2))ο)ο=

γ1(c)(γ2(c1))ο(jc2c12(γ3(c2))ο)ο.

由

且

(γ3(c2))ο=γ3(c2)p,

故

(jc2c12(γ3(c2))ο)ο=(jc2c12γ3(c2)p)ο=

(γ3(c12)p)ο(因jc2c12γ3(c2)=γ3(c12))=

((γ3(c12))οjc3c123p)ο=

((γ3(c12))οjc23c123jc3c23p)ο(因jc3c123=jc23c123jc3c23)=

((γ3(c12))οjc23c1231c23)ο=

((γ3(c12))οjc23c123)ο(因jc3c23p=1c23)=

(γ3(c12))ο.

這證明了

(γ1·γ2)·γ3=γ1·(γ2·γ3),

即TC是半群.

□

定理 3.1冪富范疇的錐半群TC是左富足半群,有偏序集同構

(TC/*,?)?(E(TC)/,?)?

(,?),

(4)

其中,左邊2個?是主左*-理想和冪等元生成主左理想在通常集合包含意義下的偏序,第三個?是的子對象關系.

證明任取γ∈TC,由(P5),存在冪等錐∈E(TC)使得c=cγ.以下證明γ*.首先,有

γ·=γ★((cγ))ο=γ★((c))ο=

γ★1c=γ*1cγ=γ.

其次,對任意γ1,γ2∈TC1,分2種情形證明.

γ·γ1=γ·γ2?·γ1=·γ2.

(*)

若γ1,γ2∈TC,則有

γ★(γ1(cγ))ο=γ★(γ2(cγ))ο.

取c∈M0γ,得

γ(c)(γ1(cγ))ο=γ(c)(γ2(cγ))ο,

由γ(c)是滿態射,左可消,得

(γ1(c))ο=(γ1(cγ))ο=

(γ2(cγ))ο=(γ2(c))ο.

由此立得

·γ1=★(γ1(c))ο=

若γ·γ1=γ,則有

c=cγ=imγ1(c)?cγ1.

利用M0γ≠?易得γ1(c故有

·γ1=★(γ1(c))ο=

因為γ1=γ2=1?TC時,需要的蘊含式(*)是平凡的,故得到γ*,即γ左富足,從而TC是左富足半群.

1·2=1?c?c,

這得到第二個偏序同構；第一個偏序同構是左富足性保證的,因為每個錐既然左富足,它生成的主左*-理想就是它所在*-類中任一冪等錐生成的主左理想.

□

定理 3.2設是冪富范疇,定義

F:→L(TC)

的對象映射和態射映射為：

?c∈v,F(c)=TC,∈E(TC),c=c;

?f∈(c,d),F(f)=ρ(,★fο,δ),

那么,F是有子對象范疇的同構.

證明由定理3.1,vF就是偏序集同構

(E(TC)/,?)?(v,?),

即vF是該二范疇對象集間的雙射,且保持偏序?.只需證明態射映射是雙射函子.

首先,證明對

f∈(c,d),F(f)∈L(TC)(F(c),F(d)),

c=imf?d=cδ,

可知

(★fο)·δ=(★fο)★(δ(imf))ο=

(★fο)★(jdim fδ(d))ο=

(★fο)★(jdim f1d)ο=★fο.

這證明了

F(f)∈L(TC)(TC,TCδ)=

L(TC)(F(c),F(d)).

其次,證明F(f)與、δ(c=c,cδ=d)的選擇無關.若′,δ′∈E(TC),也有c=c,cδ′=d,由定理3.2的證明,有′,δ′δ,且

′·(★fο)=′★((c′)fο)ο=

由引理2.1的2)得

ρ(,★fο,δ)=ρ(′,′★fο,δ′).

進而,若f,g∈使得fg有定義,記

F(f)=ρ(,★fο,δ),

F(g)=ρ(1,1★gο,δ1),

則因codf=d=domg,有δ1.由以上證明有

F(g)=ρ(δ,δ★gο,δ1).

由引理2.1的3)得

F(f)F(g)=ρ(,(★fο)·(δ★gο),δ1).

記c1=imf=c?d=domg=cδ,上式右端第二個分量為

(★fο)·(δ★gο)=

(★fο)★((δ★gο)(c1))ο=

(★fο)★(jdc1δ(d)gο)ο=

其中最后一個等號來自推論2.1.由此得到

F(f)F(g)=F(fg).

以下證明F保持包含態射,即c?d蘊含

·δ=★δ(c)ο=★★1c=,

F(jdc)=ρ(,★(jdc)ο,δ)=

ρ(,,δ)=jT Cδ=jF(d)F(c).

作為推論,F保持單位態射.

最后證明F全忠實,即對任意c,d∈v,態射映射F是從(c,d)到L(TC)(F(c),F(d))的雙射.首先,由態射的滿-包含因子分解的唯一性,ffο是(c,d)到其中滿態射子集的雙射；其次,fο★fο是這個滿射子集到TCδ(c=c,d=cδ)的雙射；最后,★fορ(,★fο,δ)是TCδ(c=c,d=cδ)到L(TC)(F(c),F(d))的雙射.F恰是這3個雙射的合成,故也是雙射.

□

從另一個角度來看,給定一個左(右)富足半群S,得到一個冪富范疇L(S)(R(S)),它的錐半群(L(S))((R(S)))也是一個左富足半群,那么S與這個錐半群是什么關系呢？為了探討這個問題,要引進“規范左(右)富足半群”概念.

定義 3.5若左(右)富足半群S的每個元素都有冪等元為其左(右)單位元,則稱S是規范左(右)富足的.

顯然富足半群和正則半群都是規范左(右)富足的.任一左富足幺半群都是規范左富足的.特別地,例2.1中的幺半群M(合成從右至左)是規范左富足的非富足半群.冪富范疇的錐半群TC也是規范左富足的,因為其中每個錐有形★fο,顯然

·(★fο)=★fο,

不清楚是否存在不規范的左富足半群.

定理 3.3設S為規范左富足半群,定義

ρ:S→L(S),aρ(a)=ρa,

其中

ρa:vL(S)→L(S), ?Sf∈vL(S),

則ρ是從S到L(S)的同態.當S是規范左富足半群時,滿足Kerρ?.

證明首先證明對每個a∈S,ρa是一個錐(稱為主錐).事實上,ρa顯然是從vL(S)到L(S)的映射.設gω,有

ρa(Sg)=ρ(g,ga,a*)=ρ(g,gfa,a*)=

ρ(g,g,f)ρ(f,fa,a*)=jSfSgρa(Sf),

即ρa∈L(S),故ρa是錐.

對任意a,b∈S,由*是右同余,有

a*b*ab*(ab)*,

且因為abb*=ab有

(ab)*b*=(ab)*,

即(ab)*ω*.由此得

ρb(Sa*)=ρ(a*,a*b,b*)=

ρ(a*,a*(a*b),(ab)*)ρ((ab)*,(ab)*,b*)=

ρa*b(Sa*)jSb*S(ab)*,

即有

(ρb(Sa*))ο=ρa*b(Sa*).

由此立得

?Sf∈vL(S),ρab(Sf)=ρ(f,fab,(ab)*)=

ρ(f,faa*b,(ab)*)=

ρ(f,fa,a*)ρ(a*,a*b,(ab)*)=

ρ(f,fa,a*)ρ(a*,a*(a*b),(ab)*)=

ρa(Sf)ρa*b(Sa*)=ρa(Sf)(ρb(Sa*))ο=

(ρa★(ρb(Sa*))ο)(Sf)=(ρa·ρb)(Sf).

這證明了

ρ(ab)=ρab=ρa·ρb=ρ(a)ρ(b),

即ρ是同態.再由e∈E(S),ea=a得

ρa=ρea=ρe·ρa=ρe★(ρa(Se)ο∈L(S),

故ρ是從S到L(S)的同態.

若ρa=ρb,則當然有

a*a*b**b.

如果S是規范左富足的,則因為e∈E(S),ea=a,有

ρ(e,a,a*)=ρa(Se)=

ρb(Se)=ρ(e,eb,b*)

這說明a=eb.同理,若e′b=b,則有b=e′a.因此,必有ab.這證明了Kerρ?.

推論 3.1對左富足幺半群S,有

S?(L(S)).

證明首先,因為幺半群S=S1本身是其最大主左理想,對任意γ∈L(S)和任意Sf∈vL(S),有

γ(Sf)=ρ(f,f,1)γ(S1)=

故γ=ρaγ,其中aγ∈S是由γ∈L(S)確定的唯一元素,這說明ρ是滿同態.

其次,ρa=ρb顯然蘊含

ρ(1,a,a*)=ρa(S1)=ρb(S1)=ρ(1,b,b*).

注意到,R(S)=(Sop),這里

Sop=(S,·),a·b=ba,

則有以下對偶結論.

定理 3.4設S為規范右富足半群,定義

λ:S→R(S),aλ(a)=λa,

其中

λa:vR(S)→R(S), ?fS∈vR(S),

則λ是從S到R(S)的反同態,有Kerλ?.

推論 3.2對右富足幺半群S,上述λ是從S到(R(S))的反同構.

4 平衡范疇與富足半群

本節進一步擴展前3節建立的理論,引入平衡范疇的概念,證明它與富足半群的關系恰是冪富范疇與左富足半群關系的自然延伸.這為以后建立富足半群范疇與“交連系范疇”的等價打下牢固的基礎.

定義 4.1范疇稱為是平衡的(balanced),若它是冪富范疇且滿足下述性質：

(P7) TC中的錐γ若有形

γ=δ★u,δ∈E(TC),

其中u∈為平衡態射(稱為γ的平衡表示),則下列蘊含式成立

?γ1,γ2∈TC1,γ1·γ=γ2·γ?

imδ(cγ1)=imδ(cγ2).

(5)

這里約定,當γi=1?TC時,有imδ(cγi)=cδ.

定理 4.1富足半群S的主左、主右*-理想范疇L(S)、R(S)是平衡范疇.

證明富足半群有對稱的左右富足性,且R(S)=L(Sop),只需證明L(S)是平衡范疇.

富足半群S是左富足的,故L(S)是冪富范疇.定理2.2的3)保證它滿足性質(P6),即對任意

γ=★f∈L(S),

由f∈L(S)(Se,Seγ)是滿態射,據定理2.2的2)有

f=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*),

c=Se,u∈eSu*,

記δ=★ρ(e,u+,u+),因為cδ=Su+?Se,易知有δω和γ=δ★ρ(u+,u,u*).因為ρ(u+,u,u*)是平衡態射,且L(S)中任何平衡態射都有此形,稱其為γ的平衡表示.

下面證明對這個平衡表示,蘊含式(5)成立.設

γi∈L(S)1,i=1,2,

使得

γ1·γ=γ2·γ.

當γ1,γ2∈L(S)時,記它們的平衡表示為

其中

則有

由L(S)中態射的結構,存在

使得

于是

由此有

上式成為

如此有(v1u)*(v2u)*.將上式兩端的錐分別作用在上,與上類似,有

使得

由

δi(cδi)=1cδi,i=1,2

可得

和

由(v1u)*(v2u)*,據引理2.1的1)得

u1v1u=w2u2v2u,u2v2u=w1u1v1u.

于是再由v1,v2∈Su+和u*u+得

u1v1=u1v1u+=w2u2v2u+=w2u2v2,

u2v2=u2v2u+=w1u1v1u+=w1u1v1.

即u1v1u2v2.由于和*是右同余,有

即v1*v2,或這就證明了

若γ1·γ=γ.設

γ=δ★ρ(u+,u,u*),

是它們的平衡表示,其中u,u1∈S,滿足

Su+=cδ,Su*=cγ,

使得

ρ(u+,u,u*)=

ρ(u+,w1u1v1u,(v1u)*).

這蘊含(v1u)*u*,且

u1v1u=w2u,u=w1u1v1u.

u1v1=u1v1u+=w2u+,

u+=w1u1v1u+=w1u1v1.

這說明u1v1u+.從而再由*是右同余推出

這就完成了蘊含式(5)的證明,因為在其他情形,蘊含式(5)是平凡成立的,故L(S)是平衡范疇.

定理 4.2冪富范疇的錐半群TC是富足半群的充要條件是為平衡范疇.

證明必要性 如果TC是富足半群,則由定理4.1,L(TC)是平衡范疇;再由定理3.2,有

由(P6),定理4.1證明的第一段說明,每個錐γ有平衡表示

γ=δ★u,δ∈E(TC),u∈(cδ,cγ)

為平衡態射.

證明γ*δ,從而γ右富足.

δ·γ=γ是顯然的.如果γ1,γ2∈TC1使得

γ1·γ=γ2·γ,

由于imδ(cγ1)=imδ(cγ2)?cδ,可記

即得

γ1★δ(cγ1)οfο=γ1★δ(cγ1)ο(jcδim δ(cγ1)u)ο=

γ1★(δ(cγ1)u)ο=γ1·γ=γ2·γ=

γ2★(δ(cγ2)u)ο=γ2★δ(γ2)ο(jcδim δ(cγ2)u)ο=

γ2★δ(γ2)οfο.

由u平衡知,f是2個單態射之積,故它和它的左因子fο都是單態射,即右可消.由此得

γ1·δ=γ1★δ(cγ1)ο=γ2★δ(cγ2)ο=γ2·δ.

這證明了γ*δ.

注 4.1例2.1的Baer-Levi幺半群M的主左*-理想范疇L(M)是冪富但非平衡的,因為其中不存在非ρ(e,e,e)的平衡態射,每個非ρ(e,e,e)的態射都沒有平衡因子分解,故(P6)不成立.Baer-Levi幺半群M左富足而非右富足進一步說明,范疇的性質(P6、P7)和(P1～P5)是相互獨立的.

推論 4.1對富足半群S,其主左*-理想范疇L(S)的錐半群L(S)是富足半群,且對每個γ∈L(S),有

而

對偶地,S的主右*-理想范疇R(S)的錐半群R(S)是富足半群,且對每個γ∈R(S),有

而

證明只需對L(S)證明,因為

R(S)=L(Sop).

γ=δ★ρ(u+,u,u*),

注 4.2由定理4.1、推論4.1以及文獻[1]中命題3.7和定理3.11,對平衡范疇及其任一冪等錐δ∈E(TC),可刻畫TC中含δ的*-類如下:

★u|u為中平衡態射},

這里每個集合均非空且有

由定理3.1、3.2和推論3.1、3.2,結合定理4.1、4.2易知,對富足半群S,直積

L(S)×R(S)

也是富足半群,其中的乘法定義為

?γi∈L(S),δi∈R(S),i=1,2,

(γ1,δ1)(γ2,δ2)=(γ1·γ2,δ2·δ1).

定理 4.3設S為富足半群.記

證明令φ:S→L(S)×R(S):?a∈S,φ(a)=(ρa,λa),其中ρ、λ由定理3.3和3.4分別定義.該二定理確保φ=(ρ,λ)是從S到的滿同態,為證明其為同構,只需證明其單.

設φ(a)=φ(b),a,b∈S,即ρa=ρb且λa=λb.由定理3.3和3.4,有

(a,b)∈∩=,

故a+b+、a*b*.于是對任意

有a+b=b,且由

a∈a+Sa*,b∈b+Sb*=a+Sb*=a+Sa*,

有

ρ(a+,a,a*)=ρ(a+,a+a,a*)=ρa(Sa+)=

ρb(Sa+)=ρ(a+,a+b,b*)=ρ(a+,b,b*).

如此,據引理2.1的1)立得a=b.這就完成了證明.

作為本文的結束,將所得結論應用于正則半群,可以說明本文的概念和結論恰是Nambooripad在文獻[1]中第二章到第三章第3節內容向富足半群以至左、右富足半群的推廣.

定義 4.2稱一個富足半群S是“準正則的(near regular)”,若其正則元集RegS構成S的子半群.稱準正則半群S是“對稱準正則的”,若錐半群L(S)的每個*-類有主冪等錐.

因為富足幺半群M的錐都是主錐,故準正則幺半群都是對稱準正則的.例2.2和2.3中的半群S=E×M,只要幺半群M不是群都是對稱準正則而非正則的.這類富足半群對應的范疇可以用“準正規(near normal)范疇”來刻畫.

定義 4.3稱平衡范疇是準正規的,若滿足以下性質：

命題 4.1準正規范疇的錐半群TC是準正則的.

證明設是準正規的,,δ∈E(TC).由性質(P8),存在滿足1(cδ)=euj,其中e∈(cδ,c1),c1?cδ是收縮,是包含,而u∈(c1,c2)是同構.記δ0=δ*e,有cδ0=c1且

δ0(c1)=δ(c1)e=jcδc1δ(cδ)e=jcδc1e=1c1.

這證明了δ0∈E(TC),而由是左同余,有

δ·δ·1=δ★(1(cδ))ο=

δ★(euj)ο=δ★e★u=δ0★u.

由u是同構立得δ·δ·1δ0∈Reg TC.這證明了Reg TC是TC的子半群,故TC是準正則半群,因為平衡保證TC是富足半群.

命題 4.2對稱準正則半群S的主左*-理想范疇L(S)是準正規的.

證明因為對稱準正則半群S的錐半群L(S)中每個*-類有主冪等錐ρe,e∈E(S),只需證明ρe是強正規錐.事實上,對任意Sf∈vL(S),由

fe∈RegS,

有h∈S(f,e),即

h∈ω(f)∩ωr(e),

(fh)(fe)(he)=fhe=fe,

從而有

fh∈E(Rfe)∩ω(f),

he∈E(Lfe)∩ω(e).

如此可得

ρe(Sf)=ρ(f,fe,e)=

ρ(f,fh,fh)ρ(fh,fe,he)ρ(he,he,e).

由定理2.1,這是ρe(Sf)的正規因子分解.這就完成了證明.

定義 4.4平衡范疇稱為“正規范疇(normal category)”,若它滿足下述性質：

定理 4.41) 正則半群S的主左*-理想范疇L(S)和主右*-理想范疇R(S)都是正規范疇；

故正規范疇來自正則半群；

3) 對正則半群S,有

證明1) 因為正則半群中、關系是對稱的,而R(S)=L(Sop),只需證明L(S)是正規的.首先,因正則半群富足,L(S)是平衡范疇.其次,ρ∈L(S)平衡的充要條件是有u∈S使得

ρ=ρ(u+,u,u*),

由正則半群中有

*=,*=,

此即u+uu*,由命題2.1的3)或定理2.1的3)立得ρ是同構,故L(S)是正規范疇.

u-1∈(cγ,cδ).

令γ′=★u-1,其中有c=cγ.于是有

γ·γ′·γ=(δ★(uγ′(cγ))ο)·γ=

(δ★(u(cγ)u-1)ο)·γ=

(δ★(u(c)u-1)ο)·γ=

(δ★(uu-1)ο)·γ=δ·γ=γ.

這證明了TC是正則半群.

2)中第二個結論是定理3.3的直接推論,而3)是定理4.3的直接推論.