R3中Cahn-Hilliard方程的全局適定性

段 芳, 蒲志林, 黃 梅

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

其中t,ε>0,u表示在3中,兩相物質之一在t時刻的相對濃度,g描述系統的自由能位勢,有關于非線性函數f的假設在后面給出.

1958年,Cahn和Hilliard[1]在研究兩相物質的相互擴散現象時,首次提出了Cahn-Hilliard方程.作為一類重要的四階非線性反應擴散方程,Cahn-Hilliard方程在描述相分離過程的定性特征時,起到舉足輕重的作用(如在玻璃和金屬合金的冷卻過程中就會發生這種現象).

相關Cahn-Hilliard方程的研究已經非常豐富,大多數的結果都是在有界區域Ω?N中進行的.Dlotko[2]證明了當f為多項式且次數≤3時,方程在H2和H3中有全局吸引子.Elliott等[3]考慮方程的初邊值問題和在有限時間內解的存在性問題.文獻[4]利用迭代方法,給出了方程的正則性估計,同時利用半群理論,證明了Cahn-Hilliard方程在Sobolev空間HK中具有全局吸引子.而在無界區域上的研究比較少.在無界區域上,研究Cahn-Hilliard方程會遇到很多困難,例如Poincare不等式不成立.Cholewa等[5]考慮對Cahn-Hilliard方程進行擾動,使其耗散機制變得足夠強,從而得到一個緊的全局吸引子.文獻[6]先構造方程的四階拋物近似,再利用Aubin-Lions的緊性引理得到解的存在性,并證明系統的全局適定性.Dlotko等[7]得到黏性Cahn-Hilliard方程解的全局存在性,以及在更小的空間上解的漸進估計.文獻[8]證明帶黏性項的Cahn-Hilliard方程在N上的全局可解性和上半連續性.

本文利用Cholewa和Dlotko的扇形算子理論[9]證明方程(1)在3中的全局適定性.為了滿足Cauchy問題的需要,對標準Cahn-Hilliard方程進行小擾動,從而使算子(-Δ+εI)在L2(3)中可逆,其中ε>0且充分小.

本文假設：f是2p-1次多項式,g是f的原函數,a2p-1為f的首項系數,有

(2)

其中，p∈[2,6)且p≠3,2≤j≤2p,a2p-1=2pb2p>0.

于是得到如下主要結論.

定理 1當f滿足假設條件時,方程(1)在H1中有全局解,即對于任意一個初值u0,當t∈[0,+∞)時,方程都有唯一解u(t)∈H1,同時可在H1中定義與(1)式對應的解半群{S(t)}t≥0：

S(t)u0=u(t),u0∈H1(3).

1 預備知識

先介紹文中提到的部分記號,將‖u‖Lp(3)(或‖u‖Hp(3))記為‖u‖Lp(或‖u‖Hp)(p>1).文中出現的常數C的值都不同,根據需要取合適的值.

文獻[10]設X為Banach空間,A是X中的扇算子,有Re(δ(A))>0,定義分數冪算子A-α:X→X

則A-α是X上的有界可逆算子,記Aα=(A-α)-1,用Xα表示Aα的定義域,有Xα:=(A-α),當α=0時,令X0=X,A0=I(恒等映射).

考慮Cauchy問題

(3)

其中A是X中的扇形正算子.由于閉線性算子的預解式在復平面總是開的,則有

?a>0, s.t.Re(δ(A))>a.

從而冪空間Xα有定義.要求對取定的α∈[0,1),(3)式中的非線性項F在Xα的有界集上是Lipschitz連續的(即F是局部Lipschitz連續的).

定義 1.1設X為Banach空間,A:D(A)→X是扇形正算子,對于某些α∈[0,1)和τ>0,u0∈Xα并且F:Xα→X是局部Lipschitz連續的,若函數u∈C([0,τ),Xα)滿足：

u(0)=u0,

u∈C1((0,τ),X)∩C((0,τ),D(A)),

?t∈(0,τ),

方程(3)都成立,則稱u是方程(3)的局部Xα解,若τ=+∞,則稱u是全局Xα解.

定理 1.1[9]設X為Banach空間,A是X中的扇形正算子,F:Xα→X為局部Lipschitz連續的,對任意的u0∈Xα,方程(3)在其存在區間(0,τ)上,有唯一的Xα解u=u(t,u0),這意味著要么τ=∞,要么τ<∞,有由于冪空間之間存在嵌入關系,若F在Xα上為局部Lipschitz連續的,則對?β∈[α,1),方程(3)在Xβ上也有此性質,即：

推論 1.1在定理1.1的條件下,對任意的β∈[α,1),u0∈Xβ,方程(3)在其存在區間(0,τ1)上,存在唯一的Xβ解u=u(t,u0).

定理 1.2[9]在定理1.1的條件下,若方程(3)有局部Xα解,且非線性項F滿足次線性增長限制,即

‖F(u)‖X≤C(1+‖u‖Xα),u∈Xα,

則方程(3)存在唯一的全局Xα解,同時存在與其對應的解半群

T(t)u0=u(t,u0),t≥0.

2 局部可解性

下面將用Cholewa等[9]的方法,對方程(1)的Cauchy問題進行研究.首先,?u∈,由假設條件得：

|f(u)|≤C(1+|u|2p-1),

|f′(u)|≤C(1+|u|2p-2).

(4)

同理可以得到：

pb2pu2p-C≤f(u)u, ?u∈,

(5)

?u∈.

(6)

如文獻[8],記X=H-3+s(3),Xα=H1(3)(其中方程(1)可以改寫為：

(7)

由定理1.1可知,要驗證方程(1)的局部可解性,需要驗證非線性項-(-Δ+εI)f(u):Xα→X在Xα上是局部Lipschitz連續的.令B為H1中的有界集,有B?H1,同時取u1,u2∈B,由于-(-Δ+εI):L2→X是線性同構的,可得

‖-(-Δ+εI)(f(u1)-f(u2))‖H-3+s≤

C‖(f(u1)-f(u2)‖L2.

(8)

事實上,存在一個常數λ∈(0,1),使得

f(u1)-f(u2)=(u1-u2)f′(λu1+(1-λ)u2).

由嵌入定理(H1?Lp)得

‖1+[λu1+(1-λ)u2]2p-2‖L2≤

1+C‖λu1‖2p-2L2+C‖(1-λ)u2‖2p-2L2≤C,

再利用H?lder不等式有

‖-(-Δ+εI)(f(u1)-f(u2))‖H-3+s≤

C‖u1-u2‖L2‖f′(λu1+(1-λ)u2)‖L2≤

C‖u1-u2‖L2‖1+

[λu1+(1-λ)u2]2p-2‖L2≤

C‖u1-u2‖H1.

(9)

由文獻[9]可知,方程(1)在H1上局部可解.

定理 2.1當f滿足假設條件時,方程(1)在H1上局部可解,即對于任意一個初值u0∈H1,都有唯一的解u(t)∈H1,t∈(0,τu0),并且

u(t)∈C([0,τu0),H1)∩

C((0,τu0),D(-Δ2+εI)),

ut∈C((0,τu0),Hγ), ?γ∈[0,1),

其中τu0>0是局部H1解的最大存在區間.

3 全局適定性

以下先得到H1上的能量估計,給出能量泛函

E(t)=E(u(x,t))=

(10)

將(10)式對t求導得

E關于時間遞減:

由(6)式,不等號左邊可改寫為

(11)

得到

u∈C([0,τu0);H1(3)).

為了得到H1上的全局估計,將(1)式與u作內積,可以得到

(12)

由(5)和(11)式得

C(u0).

(13)

現在對(12)式右端的最后一項進行估計,由H?lder不等式可得

(14)

由Sobolev-Gagiardo-Nireberg不等式[11-12]得

因此

運用Young不等式得到

(15)

將(15)和(13)式代入(12)式可得

(16)

由Sobolev嵌入定理可得

‖u‖L2≤C(u0).

下面將證明,通過上述章節得到u在H1的先驗估計對于時間是一致的,從而可以將局部可解性延展成為全局可解性.由定理1.2知,只需再驗證非線性項-(-Δ+εI)f(u)滿足次線性條件.類似于(9)式,?u∈H1,有

‖-(-Δ+εI)f(u)‖H-3+s≤C‖f(u)‖L2≤

C‖u‖L2‖1+|λu|2p-2‖L2≤C(u0)‖u‖H1.

因此,得到一個次線性增長限制,定理1得以證明.解半群{S(t)}映有界集為有界集[8],即

定理 3.1當f滿足定理1的條件時,存在一個常數r1>0,對任意的有界集B?H1,有T1B=T1(B),使得

‖S(t)B‖H1≤r1, ?t≥T1B.

將(16)式運用Gronwall不等式,在(0,t)上積分:

(17)

即

u∈L2([0,τu0);H2(3)).

因此得到方程(1)的解在H2中的一致估計,顯然也可以得到{S(t)}在H2中的有界集軌線有界:

定理 3.2當f滿足定理1的條件時,存在一個常數r2>0,對任意的有界集B?H1,存在T2B=T2(B),使得

‖S(t)B‖H2≤r2, ?t≥T2B.

推論 3.1能量泛函E(t)：H1→是{S(t)}的Lyapunov函數,且滿足以下性質:

(i)E是有下界,且在H1上連續;

(ii) ?u∈H1,當‖u‖H1→∞時有E(u)→∞;

(iii) ?u∈H1,E(S(t)u)是非增的;

(iv) ?u∈H1,?t>0,若滿足E(S(t)u)=C,則u是一個不動點,即S(t)u=u.

證明取合適的常數c1,c2>0可得

‖u‖H1≤c1E(u)+c2,u∈H1.

(18)

E(u(t))-E(u(s))=

其中t≥s≥0,u0∈H1.若E(S(t)u)=C,由上式可知ut=0,因此S(t)u=u.