非交換剩余格上的n重PMTL濾子及其刻畫

左衛兵, 張一旎

(華北水利水電大學 數學與統計學院, 河南 鄭州 450046)

為給不確定性信息處理理論提供可靠且合理的邏輯基礎,許多學者研究了各種非經典邏輯系統.同時,作為非經典邏輯系統的語義系統的各種邏輯代數也被廣泛研究,如剩余格、MTL代數、BL代數、MV代數和R0代數等[1-5],以及它們的各種非交換版本,如非交換剩余格、偽MTL代數、偽BL代數、偽MV代數等[6-10].這些邏輯代數中剩余格和非交換剩余格是最基本且最重要的代數結構,其他邏輯代數均是它們的特殊情況.

在邏輯代數的研究中,濾子理論起到了非常重要的作用.目前,在剩余格、非交換剩余格以及其他邏輯代數中,各種特殊濾子已被引入,如正規濾子、布爾濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子、奇異濾子等[11-19],并獲得了許多重要結果.

受文獻[20-21]的啟發,本文在非交換剩余格上引入n重PMTL濾子的概念,得到這類濾子的一系列刻畫,提出n重PMTL代數的定義,從n重PMTL濾子的角度證明n重PMTL代數的若干特征定理,并通過提出n重素濾子的定義,給出n重PMTL代數的另一種刻畫.

1 預備知識

定義 1.1[22]代數系統

稱為非交換剩余格,如果：

1) (L,∧,∨,0,1)為有界格;

2) (L,?,1)是非交換幺半群;

3) 對任意x,y,z∈L,則

在非交換剩余格L,對?x∈L,定義

定義 1.2[7]非交換剩余格L若滿足

則稱L為偽MTL代數.

定義 1.3[8]一個偽MTL代數L若滿足

則稱L為偽BL代數.

引理 1.1[22]設L是非交換剩余格,那么對于任意x,y,z∈L,以下性質成立:

9)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z),(y∨z)?x=(y?x)∨(z?x);

10)x→(y∨z)≥(x→y)∨(x→z)和

(y∧z)→x≥(y→x)∨(z→y),

11) (y→z)?(x→y)≤x→z和

12)x?y≤x∧y,特別地,x2≤x.

定義 1.4[22]設F為非交換剩余格L的非空子集,如果:

1)x∈F,y∈F?x?y∈F;

2)x∈F,x≤y?y∈F,則稱F為非交換剩余格L的濾子.

引理 1.2[22]設F為非交換剩余格L的非空子集,則以下條件等價:

1)F是L的濾子;

2) 1∈F,x,y∈L,(x∈F,x→y∈F)?y∈F;

2 n重PMTL濾子

定義 2.1設F為非交換剩余格L的濾子,若對任何

x,y∈L,n∈N+,

有

(xn→y)∨(y→x)∈F,

且

則稱F為L的n重PMTL濾子.

注意到,當n=1且F為正規濾子時,1重PMTL濾子就是文獻[23]所提到的PMTL濾子.

下面例子表明非交換剩余格上每個濾子并不都是n重PMTL濾子,即n重PMTL濾子是非交換剩余格上的特殊濾子.

例 2.1設

L={0,a,b,c,d,1},

0

0abcd10000000a00a0aab00b0bbc0aacccd0abcdd10abcd1

→0abcd10111111ab11111b0c1c11cbbb111d0abc1110abcd1

0abcd10111111ac11111bcc1c11c0bb111d0abc1110abcd1

則L為非交換剩余格[15].容易驗證F={1}是L上的濾子但不是2重PMTL濾子,因為

(b2→c)∨(c→b)=d?F.

命題 2.1每個1重PMTL濾子都是n重PMTL濾子,但反之不一定成立.

證明由不等式

(x→y)∨(y→x)≤(xn→y)∨(y→x),

可知,顯然成立.

0abcd10000000a00000ab00000bc00000cd0abcdd10abcd1

→0abcd10111111ac1c111bcc1111cccc111dcccc1110abcd1

0abcd10111111ad1d111bdd1111cddd111d0abc1110abcd1

則L是非交換剩余格[24].容易驗證F={1}是n重PMTL濾子(n≥2),但不是PMTL濾子,因為

(a→b)∨(b→a)=c?F.

命題 2.2每個n重PMTL濾子都是(n+1)重PMTL濾子,但反之不一定成立.

證明因為

xn→y≤xn+1→y

和

則有

(xn→y)∨(y→x)≤(xn+1→y)∨(y→x)

且

從而結論成立.

由數學歸納法可以得到下面的命題.

命題 2.3每個n重PMTL濾子都是(n+k)重PMTL濾子,但反之不一定成立,其中k∈N+.

n重PMTL濾子具有如下擴張定理.

定理 2.1設F和E是非交換剩余格L的濾子且滿足F?E.如果F是n重PMTL濾子,那么E是n重PMTL濾子.

證明因為F是L的n重PMTL濾子,所以

?x,y∈L,

有

(xn→y)∨(y→x)∈F,

且

又F?E,故

(xn→y)∨(y→x)∈E,

且

因此,E是n重PMTL濾子.

3 n重PMTL濾子的刻畫

定理 3.1F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價:

1)F是n重PMTL濾子;

2)x→(yn∨z)∈F蘊含

(x→y)∨(x→z)∈F,

3) [x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F,

證明1)?2) 設F是n重PMTL濾子,且

x→(yn∨z)∈F,

那么由引理1.1的9)、1)和11)、12)可以得到如下2個不等式鏈：

[(yn→z)∨(z→y)]?[x→(yn∨z)]=

{(yn→z)?[x→(yn∨z)]}∨

{(z→y)?[x→(yn∨z)]}=

{[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

{[(y∨z)→y]?[x→(yn∨z)]}≤

{[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

{[(y∨z)→y]?[x→(y∨z)]}≤

(x→z)∨(x→y),

因此,

2)?3) 設u=x→(yn∨z),由引理1.1的8)可知

u→u=(u?x)→(yn∨z)∈F,

蘊含

[(u?x)→y]∨[(u?x)→z]∈F.

利用引理1.1的8) 和10)有不等式

[(u?x)→y]∨[(u?x)→z]=

[u→(x→y)]∨[u→(x→z)]≤

u→[(x→y)∨(x→z)].

因此,

[x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F.

蘊含

利用引理1.1的8)和10)有不等式

因此,

3)?1) 令x=yn∨z,則結論成立.

定理 3.2F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價：

1)F是n重PMTL濾子;

2) (y∧z)→x∈F蘊含

(yn→x)∨(z→x)∈F,

蘊含

證明1)?2) 設F是n重PMTL濾子,且

那么由引理1.1的9)、12)、2)和11)可以得到如下2個不等式鏈：

[(y∧z)→x]?[(yn→z)∨(z→y)]=

{[(y∧z)→x]?(yn→z)}∨

{[(y∧z)→x]?(z→y)}≤

{[(yn∧z)→x]?(yn→z)}∨

{[(y∧z)→x]?(z→y)}=

{[(yn∧z)→x]?[yn→(yn∧z)]}∨

{[(y∧z)→x]?[z→(y∧z)]}≤

(yn→x)∨(z→x),

因此

(yn→x)∨(z→x)∈F,

2)? 3) 設u=(y∧z)→x,由引理1.1的5)可知，

蘊含

利用引理1.1的5)和10) 有不等式

因此,

蘊含

利用引理1.1的5)和10) 有不等式

因此

3)?1) 令x=y∧z,則結論成立.

定理 3.3F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價：

1)F是n重PMTL濾子;

2)x→zn∈F蘊含

(x→y)∨(y→z)∈F,

蘊含

3)

(x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F,

證明1)?2) 設F是n重PMTL濾子,且

那么由引理1.1的9)、11)和12),可以得到如下2個不等式鏈：

[(zn→y)∨(y→z)]?(x→zn)=

[(zn→y)?(x→zn)]∨

[(y→z)?(x→zn)]≤

[(zn→y)?(x→zn)]∨(y→z)≤

(x→y)∨(y→z),

因此

(x→y)∨(y→z)∈F,

2)?3) 設u=x→zn,由引理1.1的(8)可知，

u→u=(u?x)→zn∈F

蘊含

[(u?x)→y]∨(y→z)∈F,

利用引理1.1的8)、4)和10)有不等式

[(u?x)→y]∨(y→z)=

[u→(x→y)]∨(y→z)≤

[u→(x→y)]∨[u→(y→z)]≤

u→[(x→y)∨(y→z)].

因此

(x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F;

蘊含

利用引理1.1的(8)(4) 和(10) 有不等式

因此,

3)?1)令x=zn,則結論成立.

定理 3.4F是非交換剩余格L的濾子,則對于任意x,y,z∈L,以下條件等價:

1)F是n重PMTL濾子;

證明1)?2) 設F是n重PMTL濾子,則由引理1.1的3)、1)、12)、7)和8)可得以下不等式:

(xn→y)∨(y→x)≤

從而

2)?3) 如果

那么由定理3.4的2)和引理1.2顯然可得

3)?1) 令

z=(xn→y)∨(y→x),

則

從而

由定理3.4的3)得

又由引理1.1的10)和7)得

[(xn→y)∨(y→x)]≤(xn→y)∨(y→x),

故

(xn→y)∨(y→x)∈F.

同理,令

可得

從而F是n重PMTL濾子.

4 n重PMTL代數及其特征定理

定義 4.1非交換剩余格L如果對任何

x,y∈L,

則稱L為n重PMTL代數.

根據定理2.1的擴張性質,可以得到n重PMTL代數的如下特征定理.

定理 4.1設F是非交換剩余格L的濾子,則下列條件等價：

1) {1}是n重PMTL濾子;

2) 每個濾子是n重PMTL濾子;

3)L是n重PMTL代數.

證明1)?2) 由定理2.1顯然成立.

2)?3) 因為每個濾子都是n重PMTL濾子,特別地,{1}是n重PMTL濾子.因此,對任何

x,y∈L,

有

(xn→y)∨(y→x)∈{1},

且

即

從而L是n重PMTL代數.

3)?1) 顯然成立.

定理 4.2設L是非交換剩余格,則以下各條件等價:

1)L是n重PMTL代數;

2)x≤(yn∨z)蘊含

4) (y∧z)≤x蘊含

6)x≤zn蘊含

證明由定理3.1～3.4和定理4.1的1)和3) 知,顯然成立.

推論 4.1設L是非交換剩余格,則以下各條件等價:

1)L是偽MTL代數;

2)x≤(y∨z)蘊含

4) (y∧z)≤x蘊含

6)x≤z蘊含

5 n重素濾子及n重PMTL代數的另一種刻畫

素濾子是研究邏輯代數的一類重要濾子，學者們在不同的邏輯代數中提出并研究了素濾子的概念和性質，得到了一系列結果[25-32]. 在這些研究的基礎上，Gasse等[33]提出,對于任何交換剩余格L,若素濾子和并素濾子一致,則L為MTL代數.隨后,Kondo等[34]給出了確切的證明;文獻[35]將結果推廣到非交換剩余半格上,通過素濾子之集來刻畫偽MTL代數.基于此,考慮提出n重素濾子的概念,并用n重素濾子的類來刻畫n重PMTL代數.

定義 5.1設F是非交換剩余格L的濾子,如果x∨y∈F,那么x∈F或y∈F,則稱F是L的并素濾子.

定義 5.2設F是非交換剩余格L的濾子.對

?x,y∈L,

若

xn→y∈F,

或

y→x∈F,

則稱F為L的n重→素濾子; 若

或

定義 5.3設L為非交換剩余格.對

?x,y∈L,

若

(xn→y)∨(y→x)=1,

則稱L為n重→ MTL 代數; 若

定理 5.1設L為非交換剩余格,則

1)L為n重→MTL代數,則

PF∨(L)?NPF→(L);

3)L為n重PMTL代數,則

PF∨(L)?NPF(L).

證明1)L為n重→MTL代數,設

F∈PF∨(L),x,y∈L.

因為

(xn→y)∨(y→x)=1∈F,

則

xn→y∈F,

或

y→x∈F,

故

F∈PF→(L),

從而

PF∨(L)?NPF→(L).

2) 證明過程與1)類似.

3)L為n重PMTL代數,則由1)和2)可得

下面例子表明L為n重PMTL代數,但

NPF(L)PF∨(L).

例 5.1如例2.2所示的非交換剩余格L,因為{1}是n重PMTL濾子,則由定理4.1可知L為n重PMTL代數.容易驗證{1}是n重素濾子,但不是并素濾子,因為

c∨d=1∈{1},

但

c?{1},d?{1}.

定理 5.2設L為非交換剩余格,則

1)L為n重→MTL代數當且僅當

PF∨(L)?NPF→(L);

3)L為n重PMTL代數當且僅當

PF∨(L)?NPF(L).

證明1) 定理5.1已證明了必要性.

充分性 假設

PF∨(L)?NPF→(L)

且L不是n重→ MTL 代數.因此,存在

a,b∈L,

使得

(an→b)∨(b→a)≠1.

令

G1=∩{G∈(L)|G≠{1}}.

首先,設G1={1},則由文獻[35]中的定理5.5可知,存在一個并素濾子P,使得

(an→b)∨(b→a)?P,

又因為P也是n重→素濾子,則

(an→b)∈P

或

(b→a)∈P,

即

(an→b)∨(b→a)∈P,

與上式矛盾，故假設不成立.其次,設

G1≠{1},

則{1}是并素濾子也是n重→素濾子,則

(an→b)∈{1}

或

(b→a)∈{1},

即

(an→b)∨(b→a)=1.

與假設矛盾.綜上,L是n重→MTL代數.

2) 證明過程與(1)類似.

3) 定理5.1已證明了必要性.

充分性 因為

則由1)和2)易得L為n重PMTL代數.

6 總結

本文在非交換剩余格上引入了n重PMTL濾子的概念,通過研究其特征和性質,獲得了這類濾子的一系列等價條件,提出了n重PMTL代數的概念,得到了n重PMTL代數的若干特征定理,同時提出n重素濾子的定義,給出了n重PMTL代數的另一種刻畫.相關結果豐富了非交換剩余格上的濾子理論.