具有無限時滯的中立型隨機泛函微分方程的分量型ψγ穩(wěn)定性定理

劉 羽, 李樹勇, 肖 可

(1. 四川師范大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 610066； 2. 綿陽師范學院, 四川 綿陽 621000)

中立型隨機泛函微分方程因為其在航空航天等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注,關(guān)于其系統(tǒng)穩(wěn)定性討論一直是熱點話題且各類穩(wěn)定性結(jié)果已被建立[1-14].例如,Mao[7]討論一類中立型隨機泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧建立了系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Wu等[9]討論了具有無窮時滯的中立型隨機泛函微分方程在一般衰減率下的幾乎必然穩(wěn)定性條件,并將該條件應(yīng)用于幾乎必然魯棒穩(wěn)定性問題之中.莊劉等[10]利用局部鞅收斂定理和不等式分析技巧 研究了一類中立型隨機泛函微分方程的穩(wěn)定性,并得到系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性和a.s.指數(shù)穩(wěn)定性.Pavlovic 等[12]基于Razumikhin 方法得到有限時滯中立型隨機泛函微分方程在一般衰減率下的p階矩穩(wěn)定性和a.s.穩(wěn)定性的Razumikhin 定理.Wu等[13]討論了具有無界時滯的中立型隨機泛函微分方程的一般衰減穩(wěn)定性,利用Razumikhin 技巧研究并建立了該系統(tǒng)在一般衰減率下的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性.

近年來,基于系統(tǒng)的多維性,分量Lyapunov 函數(shù)的Razumikhin 技巧在處理多維隨機微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性中發(fā)揮了重要作用[14-17].例如,Liu等[16]利用隨機分析技巧和M-矩陣性質(zhì)建立隨機泛函微分系統(tǒng)p階指數(shù)穩(wěn)定的分量Razumikhin 型定理,給出一類隨機時滯微分系統(tǒng)解指數(shù)穩(wěn)定的新判據(jù).Liu[17]利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)討論隨機泛函微分方程的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性,建立隨機泛函微分方程的Razumikhin 型p階矩指數(shù)輸出狀態(tài)穩(wěn)定性定理.

受他們思想的啟發(fā),本文將利用Razumikhin 技巧和分量Lyapunov 函數(shù)方法,討論一類具有無限時滯的中立型隨機泛函微分方程的一般衰減率下的穩(wěn)定性問題,建立系統(tǒng)具有一般衰減率的p階矩ψγ穩(wěn)定性和a.s.ψγ穩(wěn)定性的分量Razumikhin 型判別定理,豐富隨機泛函微分方程穩(wěn)定性的理論.

1 基本準備

設(shè)(Ω,,{t}t≥0,是給定的完備概率空間,其中{t}t≥0為σ-代數(shù)流且滿足通常條件.

w(t)=(w1(t),w2(t),…,wm(t))

是定義在該空間上的一個m- 維布朗運動.記

+=[0,+∞),

CC((-∞,0];d),

設(shè)G為一個向量或矩陣,用G≥0表示G中所有元素非負,G?0表示G中每個元素都為正.此外,記Zn×n={A=(aij)n×n:aij≤0,i≠j}.若存在向量x?0,使得矩陣Ax?0,則稱矩陣A∈Zn×n是一個非奇異M-矩陣.記

ΩM(A)={x∈n|Ax?0,x?0}.

考慮具有無限時滯的中立型隨機泛函微分方程

d[x(t)-u(xt)]=F(t,xt)dt+G(t,xt)dw(t),

t≥0,

(1)

其中,x(t)是d值的隨機過程,

xt(θ)= {x(t+θ):-∞<θ≤0 }∈C,

u:C→n為給定的連續(xù)函數(shù),F:+×C→d,以及G:+×C→d×m是Borel 可測函數(shù)且滿足下面所設(shè)條件.本文約定

則方程(1)可改寫為

t≥0.

(2)

x0(s)=ξ(s), -∞

的全局解x(t,ξ)(簡記x(t)) 唯一存在(文獻[18]).假設(shè)

u(0)=0,F(t,0)≡0,G(t,0)≡0,

因而方程(1) 始終存在零解.

對任意W(t,x) ∈C1,2(×d;+),定義

W(t,φ)=W

Wx(t,x(t))G(t,xt)dw(t).

(4)

任給p>0,γ≥0,約定記號

定義 1.1函數(shù)ψ:→(0,+∞)被稱為ψ-類函數(shù),如果函數(shù)ψ(t)在上是連續(xù)可微的不減函數(shù),并且滿足以下條件:

(i)ψ(0)=1,ψ(∞)=∞;

(ii)ψ1(t)=ψ′(t)/ψ(t),φ=

(iii)ψ(t)ψ(-s)≤ψ(t-s),s,t≥0.

下面使用的函數(shù)ψ(t)均指ψ-類函數(shù).

E|x(t)|p≤Lψ-γ(t),t≥0,

則稱方程(1) 的解x(t)是p階矩ψγ穩(wěn)定的.特別地,當ψ(t)=et時,即解x(t)是p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

定義 1.3若存在常數(shù)γ>0使得方程(1) 的解x(t)滿足

則稱方程(1) 的解x(t)是a.s.ψγ穩(wěn)定.

2 主要結(jié)論

定理 2.1令p≥1.若存在

W1,…,Wn∈C1,2(×d;+),

ζi(t)(i=1,…,n)∈C(+;+),

使得ψγ(t)ζi(t)可測,且滿足以下條件:

(i) 存在常數(shù)c1,c2>0,使得

(6)

(ii) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得

E|u(φ)|p≤κp‖φ‖pγ;

(7)

(iii) 設(shè)

Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0

為實矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在

使得

(8)

其中

γ=

這里

Γγ=(Γ1,γ(∞),Γ2,γ(∞),…,Γn,γ(∞))∈ΩM(Λ-A),

β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),

則有

(9)

即方程(1) 的零解p階矩ψγ穩(wěn)定.

證明對任意t∈,η≥0,約定

故對任意t≥0有

κ1-pE|u(xs)|p]≤

(10)

若要證(9) 式成立,取充分接近于γ的η∈(0,γ),成立不等式

t≥0.

因此,只需證明成立不等式

t≥0.

(11)

由于(10) 式成立,故僅需證明

進而只需證明

t≥0

即可.利用條件(i),這又歸于證明不等式

Γri,η(t),t≥0,

(12)

也就是需要證明

Vi(t)ψη(t)EW

c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη,t≥0.

(13)

顯然

c2(1+κ)p-1[E|ξ(0)|p+κ‖ξ‖pη]≤

c2(1+κ)pβri‖ξ‖pη.

若(13)式不對所有的t成立,記常值函數(shù)

Vi(t)≤Ui, ?t∈[0,t*],i=1,2,…,n, (14)

(15)

(16)

應(yīng)用條件(iii),則先驗證不等式

事實上,若t*+θ≥0,則

ψγ(θ)c2E|x(t*+θ)|p≤

若t*+θ≤0,則

c2ψγ(θ)E|x(t*+θ)|p≤

c2ψη(θ)ψ-η(t*+θ)‖ξ‖pη≤

因此,由條件 (iii),有

EW

θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*+θ))≤

θ)(c2(1+κ)pβrj‖ξ‖pη+Γrj,η(t*))≤

由Dini 導數(shù)的定義,可知

故有

與(16)式矛盾.證畢.

推論 2.2設(shè)p≥1,若存在

W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),c1,c2>0,

使得條件(6) 滿足

ζi(t)(i=1,2,…,n)∈C(+;+),

使得ζi(t)eγt可測,并且

(i) 存在常數(shù)κ∈[0,1),使得

E|u(φ)|p≤κp‖φ‖p0;

(17)

(ii) 設(shè)

Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0

為實矩陣且Λ-A是非奇異M-矩陣.若存在

和

使得

其中

γ=

這里

Υγ=(Υ1,γ(∞),Υ2,γ(∞),…,Υn,γ(∞))∈

ΩM(Λ-A),

β=(β1,β2,…,βn)∈ΩM(Λ-A),

則有

則方程(1) 的零解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

引理 2.3假設(shè)滿足定理2.1 條件(i).此外,設(shè)

Λ=diag(μ1,μ2,…,μn)?0,A=(aij)n×n≥0,

B=(bij)n×n≥0

都為實矩陣.若存在可測函數(shù)ψγ(t)ν(t),-上的概率測度ν1,ν2,…,νn,以及函數(shù)

W1,W2,…,Wn∈C1,2(×d;+),

有

|u(φ)|p≤κp|φ|pγ,

(18)

(19)

則當Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣時,

(20)

這里

γ=

α=(α1,α2,…,αn)∈ΩM(Λ-A),

Ξ=

證明由假設(shè)可知,Λ-(A+B)是非奇異M-矩陣,故存在

α∈ΩM(Λ-(A+B)),

使得

i=1,2,…,n.

(21)

令

則對任意qi∈(1,βi),有

i=1,…,n.

(22)

顯然γ>0.事實上,對任意確定的i,令

由(22) 式可得

則存在唯一的λi>0,使得hi(λi)=0,即

γ=

現(xiàn)證(20)式.利用條件(18) 容易建立不等式

(23)

取充分接近于γ的λ∈(0,γ),因為

Wi(t,x)≤c2|x|p,

故只需證

c2ψλ(t)E|x(t)|p≤

由于(23) 式成立,如果有

則只需要證明

(26)

又因為

這又歸于證明

i=1,2,…,n.

(27)

現(xiàn)記

(29)

(30)

由(29)式有

所以

(31)

結(jié)合(31) 和(32) 式,有

與(30) 式矛盾,故對任意t≥0,有(27) 式成立.綜上得證.

定理 2.4令p>1.在引理2.3 條件下,若對任意i=1,2,…,n,還存在ε,γ>0,D>0,使得

∑ψ-ε(k-1)< ∞,

(33)

(34)

(35)

則

i=1,2,…,n.

(36)

即方程(1) 的零解a.s.ψγ穩(wěn)定.

證明為證明(36)式,只需對幾乎所有ω∈Ω,都有

ψγ(t)|x(t)|p≤c,t≥0,a.s.,

其中c為常數(shù).由條件(18)有

故只需證

(37)

(38)

將以上不等式轉(zhuǎn)化為如下離散不等式:

若有不等式

由Chebyshev 不等式可得

(

cψ-(γ-ε)(k-1) )≤

這樣bk≤cψ-ε(k-1),進而∑bk< ∞.應(yīng)用Borel-Cantelli 引理,當t充分大時有

于是可以得出(38)式a.s.成立.

下證(40)式成立.由引理2.3,記

(41)

因為p>1,故有

利用B-D-G 不等式、 Minkowshi 不等式及Jensen 不等式有

又由引理2.3(27)式成立,故對i=1,2,…,n.有

cψ-γ(k-1),

(44)

cψ-γ(k-1),θ1≤0,

(45)

θ2)dηi(θ2)ds≤αi(Ξ+

cψ-γ(k-1),

(46)

將(44)～(46)式 代入(42)式,可得

即式(40) 成立.綜上,得證.

3 例子和數(shù)值模擬

例子 3.1當t≥0時,考慮如下2維非自治系統(tǒng)

(47)

κp‖φ‖pγ.

(48)

若取

對照定理2.1 中的記號,有

ζi(t)=0,r=2,

及

顯然,μ-A是一個非負的M-矩陣.取

β1=2,β2=1,

此時γ2=0.5.由定理2.1 可得,系統(tǒng)(47) 的平凡解關(guān)于x(t)是均方ψγ穩(wěn)定的.

注若取

可以得到

(49)

若需系統(tǒng)(47) 滿足穩(wěn)定性,此時

依標量型隨機泛函微分方程穩(wěn)定性條件(參考文獻[1,13]),不存在q滿足方程穩(wěn)定性,故在標量的隨機泛函微分穩(wěn)定性中無法判定.