一類脈沖微分方程初值問題解的延拓

宋國鑫, 李寶麟

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

作為微分系統的一個重要分支,脈沖微分系統兼具連續與離散的特征,能夠更精確地描述事物的瞬時變化規律,其理論研究始于20世紀60年代,在80年代以后得到了較大發展,已經取得了大量成果,并實際應用于生物、航天、經濟等領域.文獻[1-2]利用經典常微分方程與泛函分析的相關理論研究了固定時刻脈沖微分方程

與依賴于狀態的脈沖微分方程,其中函數f關于2個變元在一定區域上連續.

Kurzweil廣義常微分方程理論在研究測度微分方程,時間尺度上的動態方程及脈沖微分方程等不連續系統時有重要作用,文獻[3]對Kurzweil積分與廣義常微分方程做了系統的研究,并考察了脈沖微分方程

與廣義常微分方程

的等價性,其中

a≤t1

文獻[4-5]分別證明了廣義常微分方程解關于初始條件與參數的可微性定理及廣義常微分方程的Massera定理,且分別應用于固定時刻脈沖微分方程與其他不連續系統.文獻[6]建立了一類依賴于狀態的脈沖滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程之間的關系,應用廣義常微分方程理論考察了此類脈沖滯后型泛函微分方程的穩定性.文獻[7]建立了廣義線性常微分方程的二分法理論并以此考察了一類線性脈沖微分方程有界解的存在性.文獻[8]研究了一般Banach空間中廣義常微分方程解的延拓,證明了一系列與常微分方程平行的結果,并應用于測度微分方程和時間尺度上的動態方程.對于不連續微分系統的研究背景及較新成果見文獻[9-12].

等價于一類廣義常微分方程初值問題,通過這種等價關系將文獻[8]中的相關結論應用于此類脈沖微分方程初值問題,考察其解的延拓.

1 預備知識

本節引入正則函數、Kurzweil積分及廣義常微分方程的相關定義與結論.

給定區間[a,b]與正值函數δ:[a,b]→(0,+∞),稱有限集D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}為區間[a,b]的一個δ-精細分劃,如果

a=α0<α1<…<αk=b,

αi-1≤τi≤αi,i=1,2,…,k,

且

[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

i=1,2,…,k.

事實上,給定區間[a,b]與正值函數δ:[a,b]→(0,+∞),則[a,b]一定存在δ-精細分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

詳見文獻[3]的引理1.4.

定義 1.1[3]稱函數U:[a,b]×[a,b]→Rn在區間[a,b]上Kurzweil可積,如果存在向量I∈Rn,使得對任意的ε>0,存在正值函數δ:[a,b]→(0,+∞),使得對[a,b]的任何δ-精細分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}

都有

定理 1.3[3]設對任意c∈(a,b],函數U:[a,b]×[a,b]→Rn在區間[c,b]上Kurzweil可積,且極限

存在,則U在[a,b]上Kurzweil可積,且

設非空開集O?Rn,區間[t0,+∞)?R,Ω=O×[t0,+∞),給定函數F:Ω→Rn,對于廣義常微分方程的解,有以下定義及性質.

定義 1.4[3,8]設I?[t0,+∞)為非退化區間,稱函數x:I→O為廣義常微分方程

(1)

在I上的解,如果

在I上的解,如果對任意s∈I都有

定義 1.5[8]設h:[t0,+∞)→R為單調不減函數且在(t0,+∞)中任一點處左連續,稱函數F:Ω→Rn屬于(Ω,h),如果F滿足:

(N1) 對一切(x,s1),(x,s2)∈Ω,

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|；

(N2) 對一切

(x,s1),(x,s2),(y,s1),(y,s2)∈Ω,

‖F(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|.

引理 1.6[8]設函數F:Ω→Rn滿足條件(N1),若函數x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則

‖x(s2)-x(s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對任意s1,s2∈[a,b]都成立.

引理 1.7[8]設函數F:Ω→Rn滿足條件(N1),若函數x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則x是[a,b]上的有界變差函數.

定理 1.8[8]設F∈(Ω,h),若(x0,τ0)∈Ω且

則存在Δ>0,使得廣義常微分方程(1)在區間[τ0,τ0+Δ]上存在唯一的滿足初值條件x(τ0)=x0的解x:[τ0,τ0+Δ]→O.

性質 1.9[3]設函數f:O×[t0,+∞)→Rn滿足以下條件:

(C1) 對任意固定的x∈O,函數f(x,·)在[t0,+∞)上Lebesgue可測;

(C2) 存在局部Lebesgue可積函數m:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)‖≤m(s)

對一切(x,s)∈O×[t0,+∞)都成立;

(C3) 存在局部Lebesgue可積函數l:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)-f(y,s)‖≤l(s)‖x-y‖

對一切(x,s),(y,s)∈O×[t0,+∞)都成立.

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞).

設x0∈O,對于廣義常微分方程初值問題

(2)

解的延拓與飽和解,文獻[8]中有以下定義.

定義 1.10[8]設區間I滿足t0=minI,函數x:I→O是IVP(2)在I上的解,稱IVP(2)的另一解y:J→O為x:I→O的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對任意t∈I,有x(t)=y(t).若IJ,則稱y為x的(右行)真延拓.

定義 1.11[8]設區間J滿足t0=minJ,若IVP(2)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱函數x:J→O為IVP(2)的飽和解.

因為廣義常微分方程的解可能具有某些不連續特征,所以區別于一般常微分方程理論,文獻[8]中研究廣義常微分方程飽和解的性質時未使用連續函數的部分性質.在后文的討論中,設

ΩF={(x,t)∈Ω|x+F(x,t+)-F(x,t)∈O},

以下為文獻[8]中所得廣義常微分方程初值問題飽和解的存在唯一性定理與飽和解的性質(本文中取Banach空間X=Rn時的情形).

定理 1.12[8]若F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.

定理 1.13[8]設F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,其中ω≤+∞,則對Ω中的任意緊集K,存在tK∈[t0,ω),使對任意t∈(tK,ω)都有(x(t),t)?K.

推論 1.14[8]設F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且存在緊集N?O使對一切t∈[t0,ω)有x(t)∈N,則ω=+∞.

推論 1.15[8]設F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且ω<+∞,則極限x(ω-)存在且(x(ω-),ω)∈?Ω.

推論 1.16[8]設Ω=Rn×[t0,+∞),函數F∈(Ω,h),則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,+∞)→Rn.

2 主要結果

(3)

等價轉化為廣義常微分方程初值問題,再考察IVP(3)解的延拓,其中

(H1) 對每個i∈N+,存在Ki>0,使對一切x∈O都有

‖Ii(x)‖≤Ki;

(H2) 對每個i∈N+,存在Mi>0,使對一切x,y∈O都有

‖Ii(x)-Ii(y)‖≤Mi‖x-y‖.

對于IVP(3)的解及其延拓等,有以下定義.

定義 2.1設區間I滿足t0=minI,稱函數x:I→O為IVP(3)在I上的解,如果

(i)x(t0)=x0;

(iv) 對每個ti∈(t0,supI)都有

定義 2.2設區間I滿足t0=minI,函數x:I→O是IVP(3)在I上的解,稱IVP(3)的另一解y:J→O為x的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對任意t∈I都有x(t)=y(t).若IJ,則稱y為x的(右行)真延拓.

定義 2.3設區間J滿足t0=minJ,若IVP(3)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱x:J→O為IVP(3)的飽和解.

為便于后續的討論,先證明以下引理.

(4)

對任意t∈I都成立(上式右端所含積分項為Lebesgue積分).

證明易知區間I只可能具有以下形式之一:

I=[t0,β],β<+∞,

或

I=[t0,β),β≤+∞.

必要性 先考慮I=[t0,+∞)時的情形.設函數x:I→O是IVP(3)在I上的解,由

及定義2.1,函數x在區間[t0,t1]上絕對連續,于是

t∈[t0,t1],

(5)

考慮到

所以

t∈[t0,t1].

因此，函數x在區間[σ,t]上絕對連續.于是

由此可得

t∈(tn,tn+1],n∈N+.

(6)

以下用數學歸納法證明(4)式對任意t∈(t1,+∞)都成立.

(i) 由(6)式及定義2.1,對任意t∈(t1,t2]有

再由(5)式得

x(t)-x0=x(t)-x(t1)+x(t1)-x(t0)=

注意到

因此

t∈(t1,t2].

(ii) 假設對任意t∈(tn,tn+1]有

其中n∈N+,則

x(tn+1)-x0=

(7)

由(6)、(7)式及定義2.1,對任意t∈(tn+1,tn+2]有

即

仿照以上過程可類似討論I=[t0,β]或I=[t0,β)時的情形,其中β<+∞.

充分性 先考慮I=[t0,β)時的情形,不妨設t1<β<+∞,則存在唯一的n∈N+,使得tn<β≤tn+1.設函數x:I→O滿足(4)式.

(i) 由(4)式得

且對任意k=1,2,…,n-1有

(8)

故x′(t)=f(x(t),t)a.e.于[t0,t1);令

t∈[tk,tk+1],k=1,2,…,n-1,

存在.設

φ(t)+In(x(tn)),

即

x(t)=φ(t)+In(x(tn))+x(tn),t∈(tn,β).

(ii) 設區間[a,b]?I滿足

則[a,b]?[t0,t1]或存在唯一的l∈N+,使得[a,b]?(tl,tl+1],由(4)式可知

或

t∈[a,b],

顯然,x在[a,b]上絕對連續.

(iii) 由I=[t0,β),tn<β≤tn+1,n∈N+可知(t0,supI)中全體脈沖點所成之集為{t1,t2,…,tn},由(4)式容易計算

且對任意k=2,3,…,n有

由(i)～(iii)及定義2.1得知x:[t0,β)→O是IVP(3)在I上的解.

仿照以上步驟可證I=[t0,β],β<+∞或I=[t0,+∞)時的情形.

設

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中對每個i∈N+有

區別于文獻[3]中對脈沖微分方程僅考慮有限多個脈沖點的情形,以下將利用條件(C2)和(C3)中的函數m,l:[t0,+∞)→R與可列多個算子Ii:O→Rn,i∈N+構造單調不減的左連續函數h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h).

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

則存在單調不減的左連續函數h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).

t∈[tn,tn+1],n∈N+,

其中

ρn=max{K1+M1,K2+M2,…,Kn+Mn}.

c構造函數

則h:[t0,+∞)→[0,+∞)單調不減,且在(t0,+∞)中每一點處左連續.

下證F∈(Ω,h).對任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞),由條件(C2)及(H1)有：

(i) 當t0≤s1

(ii) 當t0≤s1≤t1

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1);

(iii) 當t1

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1).

綜上

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立.

由條件(C3)及(H2),仿照以上過程可證

‖F(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|

對任意x,y∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立,故F∈(Ω,h).

在后文中,設

F(x,t)=F1(x,t)+F2(x,t),

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中

引理 2.6設區間[a,b]?[t0,+∞)滿足

則對任意函數x:[a,b]→O都有

[a,b]?(tl,tl+1],

因此,對任一函數x:[a,b]→O都有

F2(x(τ),t)≡0,τ,t∈[a,b];

或

由注1.2得

引理 2.7設k∈N+,任取η∈(tk,tk+1],則對任意函數x:[tk,η]→O都有

證明當k∈N+,η∈(tk,tk+1]時,對任意σ∈(tk,η)顯然有

由引理2.6,對任一函數x:[tk,η]→O有

再由定理1.3,當k∈N+,k≥2時有

F2(x(tk),σ)-F2(x(tk),tk)]=

類似可證

以下定理將呈現IVP(3)與一類廣義常微分方程初值問題之間的等價關系,其本質上為文獻[3]的定理5.20的延伸與推廣.事實上,文獻[3]的定理5.20只是局部地肯定了脈沖微分方程與廣義常微分方程在某個閉區間上的等價性,同時所討論的脈沖點也是有限多個,本文則考慮可列多個脈沖點的情形,且同時考慮上述2類方程的初值問題在閉區間[t0,d]、有界半開區間[t0,β)以及無界區間[t0,+∞)上的等價性.

(9)

在I上的解,其中

(x,t)∈Ω.

證明必要性 設區間I滿足t0=minI,函數x:I→O為IVP(3)在I上的解,則由引理2.4得知x滿足(4)式.任取s1,s2∈I,s1

(10)

以下分2種情形討論:

(i) 若

則由(4)、(10)式及引理2.6得

s1∈(tn-1,tn),s2∈(tn+l,tn+l+1),

其中n,l∈N+,則由(4)式有

顯然區間[s1,s2]中所有脈沖點所成之集為{tn,tn+1,…,tn+l},由引理2.6及引理2.7有

由以上各式及(10)式可得

x(s2)-x(s1).

由上述討論及定義1.4,x:I→O為IVP(9)在I上的解.

充分性 設區間I滿足t0=minI,函數x:I→O為IVP(9)在I上的解,由定義1.4、性質1.9、引理2.6及引理2.7,對任意s∈I,當s∈[t0,t1]時有

當s?[t0,t1]時,必存在唯一的l∈N+,使得s∈(tl,tl+1],若l≥2,則

此時

類似可討論l=1時的情形.綜上所述,對任意s∈I都有

由引理2.4,x:I→O為IVP(3)在I上的解.

注 2.9由定義1.11、定義2.3及定理2.8不難證明:函數x:J→O是IVP(3)的飽和解當且僅當x:J→O是IVP(9)的飽和解,其中區間J滿足t0=minJ.

對于IVP(3)有以下解的局部存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

由引理2.5,存在單調不減的左連續函數h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).另一方面,不難計算對任意(x,τ)∈Ω有

F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

(11)

其中

故

由定理1.8,存在Δ>0,使得IVP(9)在區間[t0,t0+Δ]上存在唯一解

x:[t0,t0+Δ]→O.

再由定理2.8,x:[t0,t0+Δ]→O是IVP(3)在區間[t0,t0+Δ]上的唯一解.

以下將證明IVP(3)飽和解的存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5,存在單調不減的左連續函數h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).根據(11)式,對任意(x,τ)∈Ω有

x+F(x,τ+)-F(x,τ)=

x+F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

從而

x+F(x,τ+)-F(x,τ)∈O, ?(x,τ)∈Ω,

即Ω=ΩF.因此,由定理1.12,IVP(9)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.再由注2.9,函數x:[t0,ω)→O是IVP(3)的唯一飽和解.

設函數

f:O×[t0,+∞)→Rn

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5及定理2.11的證明過程可知存在單調不減的左連續函數h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,于是由定理1.13至推論1.16及注2.9立即得到以下結論.