“數(shù)學(xué)建模思想”在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

鄭記科

摘 要：在高考中，數(shù)學(xué)所占比重較大，同時(shí)難度也較大.學(xué)好數(shù)學(xué)，能夠很大地與其他學(xué)生拉開差距.這樣，有利于學(xué)生在高考中取得一個(gè)好的數(shù)學(xué)成績，能夠?qū)W(xué)生的高考分?jǐn)?shù)有一個(gè)提升，從而讓學(xué)生多一點(diǎn)選擇大學(xué)和專業(yè)的機(jī)會(huì).在高考數(shù)學(xué)中應(yīng)用“數(shù)學(xué)建模思想”，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)題型簡單化，從而提高數(shù)學(xué)的做題效率，讓學(xué)生在規(guī)定的考試時(shí)間中獲得一個(gè)更高的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù).基于此，本文將對“數(shù)學(xué)建模思想”在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想;高考數(shù)學(xué);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）06-0036-03

高考數(shù)學(xué)，題型較多，題目新穎，難度較大.為了讓學(xué)生在有限的考試時(shí)間內(nèi)做出更多的題，做對更多的題，從而取得更高的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，在高考數(shù)學(xué)中引進(jìn)“數(shù)學(xué)建模思想”是尤為重要的.“數(shù)學(xué)建模思想”的引用，對于學(xué)生來說，是幫助學(xué)生理解題很好的方式，簡化題目，這樣，能夠讓學(xué)生去很快地解決問題，從而有時(shí)間對求解的結(jié)果進(jìn)行檢查，以此提高做題正確率，從而在高考數(shù)學(xué)中取得好成績.因此，下文將從“數(shù)學(xué)建模思想”的定義以及“數(shù)學(xué)建模思想”在高考數(shù)學(xué)中的基本形式介紹“數(shù)學(xué)建模思想”.

1 “數(shù)學(xué)建模思想”的定義為了去探究“數(shù)學(xué)建模思想”在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，應(yīng)該先對“數(shù)學(xué)建模思想”有一個(gè)簡單的了解.“數(shù)學(xué)建模思想”其實(shí)可以理解為學(xué)生通過對文字性題目的分析，通過列方程組、不等式、函數(shù)，畫幾何圖形等，使復(fù)雜的題目簡單化，將文字性題目轉(zhuǎn)換為學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)方程式、圖形等，從而更有利于學(xué)生去求解問題，提高做題效率等.在這樣的基礎(chǔ)上，通過“數(shù)學(xué)建?！保軌蜃寣W(xué)生以一個(gè)輕松愉悅的方式去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且能夠在高考數(shù)學(xué)中，考出水平，考出優(yōu)勢，這對于那些希望通過數(shù)學(xué)拉開差距，從而取得一個(gè)好的高考成績的學(xué)生是很重要的.

2 “數(shù)學(xué)建?！钡幕靖呖碱}型

高考數(shù)學(xué)是一個(gè)考查學(xué)生綜合思維的學(xué)科，一般來說，高考數(shù)學(xué)題型較多，題目新穎，對于學(xué)生來說難度較大，但大部分題目都是可以通過“數(shù)學(xué)建模”來實(shí)現(xiàn)題目的簡單化的，從而有利于學(xué)生去求解，提高做題效率與正確性.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的不同，數(shù)學(xué)建模可以分成多種形式，高考數(shù)學(xué)的題型也可以分為多種模型，從而有利于學(xué)生去逐一地掌握知識(shí)點(diǎn).

2.1 函數(shù)模型

例1 在2016年的山東高考數(shù)學(xué)中有這樣一道函數(shù)題：已知函數(shù)F（X）的定義域?yàn)镽，當(dāng)X<0時(shí)，F(xiàn)（X）=X2-1;當(dāng)-1≤X≤1時(shí)，F(xiàn)（-X）=-F（X）;當(dāng)X>0.5時(shí)，F(xiàn)（X+0.5）=F（X-0.5），求F（6）.

解決這一類問題，可以通過“數(shù)學(xué)建模思想”來完成.學(xué)生給通過讀題目，分析出題目所給函數(shù)是一個(gè)組合函數(shù)，這一組合函數(shù)分為三段，在條件當(dāng)X<0時(shí)，F(xiàn)（X）=X2-1中，可以畫出X<0時(shí)的函數(shù)圖像.而在條件當(dāng)-1≤X≤1時(shí)，F(xiàn)（-X）=-F（X）中，可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在-1≤X≤1區(qū)間內(nèi)為奇函數(shù)，從而能夠畫出函數(shù)在-1≤X≤1上的圖像，從而得出函數(shù)式;而觀察條件當(dāng)X>0.5時(shí)，F(xiàn)（X+0.5）=F（X-0.5），可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在X>0.5上為周期函數(shù)，從而根據(jù)它們的周期規(guī)律，能夠畫出這一段的函數(shù)圖像，并得到函數(shù)式.因?yàn)镕（6）在X>0.5內(nèi)，求出第三段的函數(shù)式將X=6代入式子，就能進(jìn)行結(jié)果的求解.通過逐步分析，輔助畫圖這一種“數(shù)學(xué)建?！钡姆椒ǎ軌蜃寣W(xué)生的解題思路更加清晰，也有利于計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn).

2.2 線性規(guī)劃模型

例2 在2012年的廣東高考中有這樣一道線性規(guī)劃題：已知變量X，y滿足條件：X+y≤1;X-y≤1;X+1≥0.則Z=X+2y的最小值.

求解這一問題，學(xué)生可以通過“數(shù)學(xué)建模思想”，將題目所給信息，轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，從而有利于學(xué)生更直觀地看出三個(gè)函數(shù)所處的位置.再將三條函數(shù)的相交點(diǎn)求出來.將Z=X+2y進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在圖上畫出y=0.5X這個(gè)函數(shù).讓y=0.5X在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行上下平移，最終找到Z=X+2y的最小值.這一方法，應(yīng)用了空間想象與圖形輔助的“數(shù)學(xué)建模思想”.通過文字轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形這一方法，能夠讓學(xué)生更直觀地去求解這一類問題，從而為高考數(shù)學(xué)解題節(jié)省時(shí)間.

2.3 排列組合模型

例3 甲、乙、丙、丁四人兩兩進(jìn)行握手，問他們一共要握多少次手.

對于這一問題，應(yīng)用“數(shù)學(xué)建模思想”，學(xué)生可以聯(lián)系實(shí)際，情節(jié)帶入，再應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，這樣往往能使問題簡單化.學(xué)生可以先假設(shè)自己是甲，就需要和其他三位同學(xué)進(jìn)行三次握手;再假設(shè)自己是乙同學(xué)，因?yàn)橐呀?jīng)和甲同學(xué)握過手了，所以還需要和丙、丁兩位同學(xué)進(jìn)行兩次握手;再假設(shè)自己是丙，因?yàn)橐呀?jīng)和甲、乙兩位同學(xué)握過手，所以只需和丁握一次手;當(dāng)輪到丁時(shí)，他已經(jīng)和全部四位同學(xué)握過手，所以不需要去再次握手.最終應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出結(jié)果.對于像這樣的一些簡單的數(shù)學(xué)排列組合問題，可以這樣情景帶入，這樣便于學(xué)生去展開思考，最終解決問題.還可以通過一些簡單的文具，比如說筆，用四支筆，進(jìn)行實(shí)際操作，兩兩配對，最終得到答案.通過情景帶入這種“數(shù)學(xué)建模思想”，能夠很好地解決排列組合這類問題.

2.4 立體幾何模型

例4 在一個(gè)圓柱體的物體上，一小蟲子在圓柱體的側(cè)面上進(jìn)行爬行，從底上爬到與之相對的頂上，已知圓柱體的高為10cm，圓柱體的圓的半徑是4cm，問小蟲爬過的距離.

解決這一類問題，需要用到圖形結(jié)合的“建模思想”，學(xué)生需要在草稿紙上畫出一個(gè)圓柱體，在圓柱體上根據(jù)題目信息標(biāo)注出小蟲的起始點(diǎn).聯(lián)系實(shí)際生活，學(xué)生應(yīng)該知道圓柱體應(yīng)該是立體的;再結(jié)合課本知識(shí)，知道圓柱體的側(cè)面展開是一個(gè)長方形，長方形的長就是底面或頂面圓的周長.而小蟲爬行的距離為長方形的一頂點(diǎn)到另一邊中點(diǎn)的距離，為一直角三角形的斜邊.通過圓的周長公式算出圓的周長，取一半就是長方形同一側(cè)頂點(diǎn)到中點(diǎn)的距離，就是直角三角形的一直角邊，而圓柱體的高就是直角三角形的另一條直角邊.通過直角三角形的邊與邊關(guān)系的公式，就能夠求解出斜邊，就是題目所要求的結(jié)果.這一“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程，應(yīng)用了圖形結(jié)合，實(shí)際聯(lián)系等方式.

2.5 概率統(tǒng)計(jì)模型

例5 簡單的概率模型如：甲在一次比賽中獲勝的概率為0.6，乙在一次比賽中獲勝的概率為0.4，問甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行三次比賽，采用三局兩勝制，那么甲乙兩同學(xué)獲勝的概率分別為多少.

解決這一類問題，學(xué)生同樣可以應(yīng)用“數(shù)學(xué)建模思想”，將這一問題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?！?同學(xué)假設(shè)自己是甲，那么甲同學(xué)獲勝分三種情況，一種是甲同學(xué)連續(xù)獲勝兩次，從而直接結(jié)束比賽，這種情況甲同學(xué)獲勝的概率則為0.6*0.6;另一種情況是甲第一次獲勝，第二次失敗，第三次再獲勝，從而贏下比賽，這種情況，通過計(jì)算，獲勝的概率為0.6*0.4*0.6.第三種情況，則是甲同學(xué)第一次失敗，后兩次獲勝，而這種結(jié)果出現(xiàn)的概率為0.4*0.6*0.6;最后通過分類加法計(jì)數(shù)原理，將三次概率相加就是甲同學(xué)獲勝的概率.計(jì)算乙同學(xué)獲勝的概率也是一樣的.通過“數(shù)學(xué)建?！?，往往能夠讓學(xué)生在解決概率統(tǒng)計(jì)這類問題時(shí)，思路更加地清晰，從而解題的效率也就更高.

在高考數(shù)學(xué)中，題型大概就是這些，對于不同種類的題型，應(yīng)用相似的數(shù)學(xué)建模思想，往往也能夠給數(shù)學(xué)題目建立起模型，從而方便學(xué)生去觀察，去找出解決問題的最優(yōu)方法，以此來提高學(xué)生的做題速度與正確性，從而取得一個(gè)好的數(shù)學(xué)成績.這是教會(huì)學(xué)生去應(yīng)對高考數(shù)學(xué)的一種很重要的方法.

3 數(shù)學(xué)建模思想在課堂中應(yīng)用的措施

3.1 設(shè)立問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣

一些學(xué)生在高中學(xué)習(xí)生涯中，總是感覺數(shù)學(xué)比較難學(xué)，成績較難提高.其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)并沒有想象中的那么困難，只是學(xué)生在思想中對數(shù)學(xué)的恐懼，才造成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的假象.建模思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中非常重要的一項(xiàng)內(nèi)容，主要體現(xiàn)為主體性原則，從根本上來說，就是通過設(shè)置問題情境，使學(xué)生擁有對數(shù)學(xué)探究的熱情，讓學(xué)生對建模產(chǎn)生興趣.

3.2 在高中數(shù)學(xué)課堂講解的過程中，要滲透數(shù)學(xué)建模思想

教師在數(shù)學(xué)課程中深入講解數(shù)學(xué)概念，可以有力地滲透建模思想：第一，要通過分析數(shù)學(xué)理論本身所具有的一些特殊性，對數(shù)學(xué)當(dāng)中的其他內(nèi)容進(jìn)行滲透，如在《三角函數(shù)》教學(xué)過程中，可利用三角函數(shù)的特性展開積極引導(dǎo).第二，要注意數(shù)學(xué)教材當(dāng)中一些規(guī)律性知識(shí)內(nèi)容的總結(jié)延伸，使學(xué)生能夠深入理解數(shù)學(xué)概念具有的普遍性.第三，通過對數(shù)學(xué)理論和模型間的相互聯(lián)系，促使學(xué)生對概念產(chǎn)生更深的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而全面理解數(shù)學(xué)建模同有關(guān)理論間的轉(zhuǎn)換作用.

3.3 在應(yīng)用題教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用

知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合的題目在逐年增多，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算來體現(xiàn)出數(shù)學(xué)事物的變換規(guī)律，建模方法更科學(xué)，數(shù)學(xué)結(jié)論更加可靠.因此，在實(shí)際應(yīng)用題講解過程中，需要進(jìn)行一些基礎(chǔ)知識(shí)的擴(kuò)展，利用數(shù)學(xué)模型來實(shí)際解決問題.第一，在分析應(yīng)用題的過程中，不僅要對題目更深層次的含義進(jìn)行研究，而且還要將其進(jìn)行變式.第二，依據(jù)一些原有的條件對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效求解.第三，依據(jù)數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)出來的一些規(guī)律，展開科學(xué)預(yù)估.

“數(shù)學(xué)建模思想”能夠幫助學(xué)生去應(yīng)對高考數(shù)學(xué)中不同種類的題型，“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程，往往是根據(jù)數(shù)學(xué)題目中的一些條件，將復(fù)雜的文字表述轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生容易理解的解方程組、觀察圖形，聯(lián)系實(shí)際等形式，從而讓學(xué)生能夠有條理地去分析問題，從而快速地求解出答案.“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程，不僅有利于學(xué)生去快速解決問題，也有利于學(xué)生去檢驗(yàn)結(jié)果，從而提高學(xué)生做題的正確性.因此，“數(shù)學(xué)建模思想”在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，對于學(xué)生來說發(fā)揮著巨大的作用.

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