高中數學解題教學中變式法訓練的應用

王洪學

摘 要：高中數學解題教學中，運用變式法可以有效轉變思維，培養學生舉一反三的能力，提高解題效率.文章以高中數學為例，首先概括了高中數學解題教學關于變式法訓練的應用價值，然后通過分析式、漸進式、差異化等應用策略，從一題多問、一題多解、一題多變、求同存異四個應用要點入手，探尋變式法在高中數學解題教學中的具體應用路徑.

關鍵詞：變式法;高中數學;價值;應用要點;策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）06-0008-03

高中數學題目雖然內容變化萬千，但本質卻萬變不離其宗.在大多數時候，都需要學生靈活變換思維，以達到撥云見日的解題目的.數學教師在傳統教學模式中常常習慣通過“題海戰術”來讓學生養成條件反射的學習習慣，而這種方式會逐漸消磨高中生的數學學習耐心，直至到力不從心的狀態.為了解決這個教學弊端，本文將論述變式法訓練的具體應用，探究高中數學解題教學的新思路，為促進高中生數學解題能力提供有力的策略.

1 高中數學解題教學關于變式法訓練的應用價值

1.1 減少不必要的習題練習

高中生的課業本就繁重，又要面對高考的如山壓力.高壓狀態下，學生很容易產生崩潰的心理.數學教師應當用精煉、用少量的題目，達到海量、繁雜的題海戰術訓練效果.機械、反復的做題雖然能達到熟能生巧的程度，但對于學生而言無疑會增加學習壓力，訓練的效率也比較低下.如果改用變式訓練，可以培養學生觸類旁通的思考能力，迅速從變式訓練中總結解題經驗，掌握各種有效的解題思路.由此，不僅能減緩高中生的數學學習壓力，也能從解題的過程中感受到學習樂趣.

1.2 有效提高數學課堂的教學效率

在變式訓練中，高中生常常能見到一種例題的多種問法、多種解法，學生在這種教學啟示下，能強化歸納整理以及思維發散的學習效果.在同樣的時間內掌握更多類型的題型，學會從整體角度思考問題.因此，數學教師有效利用變式法訓練，不僅能激活高中生的數學思維.還能幫助學生積累學習自信，提高學習數學的積極性，有效提高數學課堂的教學效率.

1.3 培養學生舉一反三的創新意識

變式法訓練的主要目的，在于教導學生學會從多角度觀察問題、思考問題、剖析問題，并能結合題目內容全面思考、大膽假設，迅速找出題目中隱含的數學規律.這樣有助于高中生從固定、僵化的解題思維中脫離出來，逐漸培養出舉一反三的創新解題意識.

2 高中數學解題教學關于變式法訓練的應用措施

2.1 分析式訓練

應用分析式訓練的主要目的，是為了通過變式法訓練，幫助學生掌握多種類型的數學習題，有效積累解題經驗.高中數學題按照題型進行分類，可以分為基礎型、綜合型.基礎類題目主要考察學生對數學基本概念掌握的是否扎實，這一類題目大多通過填空或選擇的方式體現.

例1 奇函數關于對稱.

教師可以分析這道填空題的變式，思考其他可能的問法，例如關于原點對稱的函數是（ ）函數.而綜合型題目，多將不同的知識點融合在一體，而這種類型的習題也是高中生攻關的重點.例如存在函數f（x）=（x+2）（x+5），g（x）=log2（4x-1），試求兩個函數的定義域.這道題考查的知識點比較多，包括方程、對數函數等多種數學知識.教師在分析時，也可以將定義域這個說法進行替換.改成問兩個函數的集合是否存在交集，這樣也能達到異曲同工的提問效果.解題思路不變，但需要運用集合的知識修改最后的結論.

2.2 漸進式訓練

數學教師在變式訓練時，可以采用循序漸進的方式逐步加深訓練的難度.以同一道習題為引，一點點引入多種重要的知識點，幫助學生將不同的數學理論統籌在一起，建構成良好的知識體系.漸進式訓練十分契合高中生的學習特點，能通過由淺至深的形式，一步步深化學生的思維，引導學生逐漸進入到深度學習狀態.

例2 已知存在點A（1，0），點B（-7，0），試問在直線y=3上是否存在點P，與點A、點B構成直角三角形.解答這道題，可以從向量的角度入手，將向量OA、向量OB的坐標表示出來，再根據直角三角形直角邊垂直的知識角度進行列式計算.若將這道題的難度加大，改成存在一個動點P，恒定滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.這個問題需要學生從圓的方程角度來進行思考，解題思路比前一問要更加深入.若繼續將問題延伸，繼續改變問題內容，問某直線同樣存在點P，試問直線和圓存在怎樣什么位置關系.這個問題需要分析直線上存在幾個點P，若只有一個，那么就與該圓相切，若有兩個，就與圓相交.由此，隨著題目的不斷延伸，學生結合的知識點會越來越多，學生綜合應用數學知識的能力也會越來越強.

3 高中數學解題教學關于變式法訓練的應用要點

3.1 一題多問的教學應用

一種習題多種問法，是數學教師應用變式法訓練的關鍵點.這種教學方式在應用過程中通常不會對題目進行較大的變動，只是適當改變題目的問法.這樣可以幫助學生迅速總結同一種類型習題的延伸變化，充分開拓高中生的解題思路.因此，數學教師可以在授課內容的基礎上，根據學生的學習特點，讓題目的問法更具有針對性和引導性.

例3 已知點A（-8，11），點B（-9，12），如果存在一個點P（x，y）保證∠APB恒定為直角，試求P的軌跡方程.這道題的也可以換幾種問法，比如過點A（-8，11）的直線C1與過點B（-9，12）的直線C2相互垂直，垂足為P，試求P的軌跡方程.再比如點A（-8，11），點B（-9，12）為直角坐標系中的定點，另有一動點P分別與點A、點B相連接，滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.同一題目，三種問法，但實質上應用的卻是同一種解題思路.只是從論述的角度進行些微的調整，成為高中生解題時的主要干擾.學生在面對這一類習題時，應當學會透過問題看本質，看到動點、直角，就要聯想到“圓上任意一點與直徑兩端（不包括直徑兩段的點）能組成直角三角形”這個重要的結論.

3.2 一題多解的教學應用

許多數學習題的解題思路屬于開放形式，并非一成不變.學習數學最忌諱墨守成規，高中生想要提高解題能力，需要做到多管齊下，而不是“一招鮮，吃遍天”.因此，數學教師應當引入一題多解類型的變式習題，鼓勵學生從多個角度思考解題的策略，逐漸加強高中生的自主探究能力與多元思維能力.

例4 不等式4<|3x-1|<9，針對這道例題，有兩種解析思路.第一，從絕對值角度入手，按照絕對值的定義，當3x-1≥0時，滿足4<3x-1<9，當3x-1<0時，滿足-9<3x-1<-4，針對兩種情況分類討論，就能求出最后的答案.第二種解題思路，先將原式分離成兩個不等式|3x-1|<9與|3x-1|>4，寫成不等式組的形式，求解方程組，寫出解集，同樣也能得出最后的答案.雖然兩種解題的思路不一樣，但殊途同歸，結果應當是唯一的.而這也可以作為高中生嘗試應用不同解題思路的驗證途徑.讓學生在掌握多種解題方法的同時，能保證結果的準確度.

3.3 一題多變的教學應用

所謂一題多變，是以某道經典例題為基礎，在不改變題目本質和原理的基礎上，適當改變表述的方式，以起到提高學生讀題能力、幫助學生迅速熟悉解題技巧的目的.對于一題多變，教師可以從學生考試或平時作業中錯誤率最高的題型中進行篩選.通過不同的編題方式，讓學生靈活思考，從多個角度來嘗試分析問題.這不僅能拓展學生的思維深度，也能幫助學生迅速熟悉和掌握變式訓練方法.

例5 已知α是第二象限上的角，sinα=45，試問tanα的值為多少？對于這道題的解析，我們已知sinα的值，想要求解tanα，就要了解cosα為多少.而通過判斷α的位置，可以確定cosα的值是正是負.因此，根據公式cosα=-1-sin2α，就能算出cosα為-35，進而求出tanα為-43.

本題還可以進行改編，比如變式一：將原題中“α是第二象限上的角”這一條件去掉.只留sinα=45，試問tanα的值為多少？在這種情況下，由于不知道α角所處的位置在解題時，就要進行分類討論，將α在第一象限或是第二象限的情況分別列舉出來，求出各自的答案，再進行匯總.

變式二：如果sinα=a（a>0），試問tanα的值為多少？變式二與變題一相比，分類討論上明顯變的更為復雜.學生首先要根據a>0，找出題目中隱藏的條件0

變式三：如果sinα=b（|b|≤1），試問tanα的值為多少？與變式二相比，變式三增加了絕對值的概念，分類討論的情況會進一步增加，包括b=1，-1，0，以及α在一、四象限或二、三象限等等.通過這種變式訓練，可以培養學生嚴謹、細致的做題習慣.

3.4 求同存異的教學應用

高中生在解答數學題時，經常會發現明明看上去題目的類型不同，但卻需要應用同一種解題思路，這也是數學題常見的共通性特點.教師在解題教學中，可以基于求同存異的思想，指導學生嘗試在不同的習題中，歸納數學知識，將解題方法進行串聯，以起到一法多用的學習效果.

數學問題表面上看似多變，但實質上卻蘊含著共通之處.如果只靠不停的做題來強行記憶所有的題干描述形式，那么高中生的學習任務不僅繁重，效率也將十分低下.通過變式法訓練，可以激發學生舉一反三的思考能力，對培養學生的數學邏輯思維將大有裨益.教師在開展變式法訓練時，應當通過“分析式、漸進式、差異化”等應用策略，從一題多問、一題多解、一題多變、求同存異四個應用要點入手，為學生帶來良好的學習啟示，幫助學生掌握多元化的解題方式，強化學以致用的數學素養.

參考文獻：

[1] 溫慶文.變式訓練在高中數學解題教學中的應用淺談[J].數學學習與研究，2020（06）：128.

[2] 劉學輝.變式訓練在高中數學解題教學中的應用研究[J].高中數理化，2019（22）：25-26.

[責任編輯：李 璟]