基于“做數學”理念的幾何作圖教學探索

摘? ? ? 要 初中平面幾何的學習就是圖形的學習，但幾何作圖的價值與作圖能力的培養還沒有引起教師的足夠重視。幾何作圖的過程承載著“做數學”理念，在手腦協作的過程中培養幾何直觀、數學模型、邏輯推理等素養。教師要認識到作圖的數學實驗價值，通過這個被忽視的途徑切實保證核心素養落地。

關 鍵 詞 做數學? 幾何作圖? 幾何直觀? 空間觀念? 邏輯推理

引用格式 潘麗莎.基于“做數學”理念的幾何作圖教學探索[J].教學與管理，2022（07）：52-55.

“做數學”是指學生運用材料和工具，在動手動腦相協同的過程中理解數學知識，發現數學規律（關系），創造性解決問題，發展數學核心素養，實現學科育人的一種方式?！白鰯祵W”包括數學體驗、數學實驗、綜合實踐。初中平面幾何的學習就是圖形的學習，圖形作為符號系統中的重要一員不僅幫助學生進行數學思考和表達，更以此培養學生空間觀念和幾何直觀。從最基本的點、線、面、體等幾何要素的識別到兩條直線的關系，再到三角形、四邊形、圓等復雜圖形的探究，都需要學生親歷畫圖過程。幾何作圖的學習是“做數學”中的數學體驗和數學實驗的具體途徑之一，通過操作、觀察、感悟、理解來學習幾何，學生積累作圖經驗獲得大量的感性知識，再通過探究、論證，引導學生解決數學問題。幾何作圖教學包含教學生用三角板、直尺、量角器畫基本圖形，再現或拆解問題中的圖形，依據條件補全圖形，基本尺規作圖，復雜尺規作圖。

從課標的要求看，圖形與幾何部分的學習對培養學生數學素養是不可或缺的。但據幾何教學的觀察，教師們普遍只關注學生的邏輯推理素養的形成，花費大量的力氣教學生能夠有條理地思考和表達，嚴重忽視幾何作圖教學，導致學生只會解決有簡單圖形的問題，一旦遇到沒有圖形或者復雜圖形就束手無策。因此，反思幾何作圖教學的特征、價值、途徑有利于找到落實核心素養的直接路徑。

一、幾何作圖教學的特征

1.親和性

幾何作圖以生動多樣的呈現方式，展示數學的發生發展過程，激發興趣和美感，引發學習激情。學生可以采用熟悉的直尺、三角板、圓規等工具進行操作，畫出的圖形豐富多樣，易獲得成就感。

2.問題性

幾何作圖的解決入口很寬，具有很強的開放性，容易激發學生迫切解決問題的心理需求，利于教師搭建活動平臺，以恰時恰點的問題提高分析能力，孕育創新精神。比如“用兩種以上的方法作圖：利用尺規過圓外一點作圓的一條切線”，解決方法眾多，從不同角度思考可獲取不同的作圖方式。像這樣的作圖教材中還有不少，有待于教師備課時進行深度思考和挖掘，提出作圖問題，形成問題意識。

3.思想性

幾何作圖的解決過程就是數學思想方法的滲透與概括過程。教師以此為載體引導學生領悟具體內容所反映的數學思想，運用特殊化、化歸等多種思想方法教學生數學地思考問題的方式，提高數學思維能力，培養其理性精神。比如解決“請用尺規三等分已知線段”作圖問題，就需要運用轉化思想。

4.聯系性

幾何作圖的解決需要運用不同的數學知識和方法，教師通過問題喚醒學生的思維，在啟發、類比、推廣過程中將知識進行縱橫聯系，實現“瞻前顧后、彼此貫通”的綜合運用目的。上述兩例作圖問題需要學生充分聯系全等或相似知識，從所學的知識庫中進行有效信息提取、恰當方法選擇才能完成。

二、幾何作圖教學的價值

1.有助于教師轉變育人方式

轉變學習方式一直是數學課程教學改革的核心環節，針對不同教學內容采用合適的教學方式是教師在備課時要思考的問題。幾何作圖屬于“動手做”，需要采用發現式的學習方式，需要教師提供目標、暗示方向，學生自己設計路徑、制定方案來完成。教師作為組織者的身份參與課堂，對于關鍵性的難點問題，啟發性問題設計是教師專業能力的體現，耐心等待學生解決完成是教師育人理念的體現。

2.有助于增強學習體驗性

布魯納認為，在人類生長期間，有三種表征系統在起作用，即動作表征、表象表征和符號表征，通過動作或行動、表象或圖像以及各種符號等抽象形式來認識事物。這三種表征系統相互作用，是認知生長或智慧生長的核心。初中學生在學習新知、理解知識時仍然需要動作和表象表征的支持。幾何作圖過程恰是學生身體參與、形成直接經驗、有意識整合間接經驗的過程，是一個調動原有學習活動經驗積極思維、綜合運用知識解決問題、逐漸形成數學素養的過程。

3.有助于學生自我知識建構

在幾何作圖“做數學”的過程中，學生作為獨立的個體，通過自己的思考和行動來完成畫圖，本質上就是自我建構知識的過程。學生通過具體的操作認識圖形的特征，通過推理論證作圖的合理性。幾何作圖需要通過合作學習方式進行，作圖的關鍵邏輯順序、實現每一步的依據需要學生充分討論、發表自己的看法和意見，在交流的過程中，進一步鞏固知識的建構，培養建模和直觀想象、邏輯推理等素養。

三、幾何作圖教學的策略

1.抓住課堂作圖陣地，有意培養符號意識

數學是研究數量關系與空間形式的科學，而空間形式最主要的表現就是“圖形”，畫出圖形是圖形研究的最基本動作。教師通過課堂主陣地循序漸進地進行作圖訓練，可以提高學生作圖的熟練度、準確度、美觀度，形成審美直覺和符號意識。目前教材里幾何作圖教學并不做為一個獨立單元進行學習，而是廣泛融入到圖形與幾何部分的教學中去，在常態教學中有機滲透、隨時發生。它既需要教師在備課時有意識安排時間指導，又需要教師觀察學生的學習狀態即時進行。

（1）全學段運用幾何作圖教學

學習探索全等三角形的條件、平行四邊形、圓、相似三角形單元的每一課時都有大量的機會訓練學生的作圖，每一道例題都是對學生進行作圖方法培養的載體。不論是從作圖的順序讓學生理解圖形運動和變化，還是對條件的圖形標注讓學生提煉整合信息，都是在潛移默化地讓學生親近圖形、理解圖形，學會用圖形刻畫運動過程，形成符號意識。gzslib202204011643

（2）設計創造性作圖問題

學習圓的切線，可以前置作業“利用尺規過圓外一點作圓的一條切線”，課堂請學生展示作圖方法，教師進行作圖方法歸納;學習完平行四邊形判定后可以設計例題“已知平面內不共線的三點A、B、C，請以點A、B、C為頂點畫一個平行四邊形”。以上這些問題促使學生從不同角度出發，選用不同的方法，運用不同的知識解決問題，靈活考查學生知識運用的能力，拓展學生思維，使其進行深度學習[1]。

2.依據文字描述作圖，發展數學空間觀念

空間觀念的培養是幾何知識學習的一個重要目的，學生能根據語言描述畫出符合題意的圖形是空間觀念素養的具體表現形式之一。用圖形再現文字或語言描述、圖形刻畫運動與變化的過程是發展學生的空間想象的有效途徑。教師梳理圖形與幾何中的重要章節中的重要作圖，針對典型問題、典型圖形的特征引導學生進行操作、研究，形成深刻理解，打下堅實的基本功。

例題1.（2018江蘇無錫卷）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積為______.

【解析】本題先確定∠B，再截取BA=10（如圖1），難點在于在射線BM上如何確定點C的位置，即在BM上找一點到點A的距離為2，聯想到圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，從而通過作出隱圓確定點C的位置有兩個，繼而再利用勾股定理解決線段長的問題求出面積。

【幾何作圖解讀】本題巧妙的反向利用“已知三角形的兩邊與一個角，不一定能確定三角形的形狀”這個結論構造有新意的問題。在全等圖形的新課學習時教師通過演示兩種圖形結果來強調“已知三角形的兩邊與一個內角不能證明全等”，而常常忽略讓學生動手畫圖體會兩種可能性，失去了辯證地看待這個結論的機會，失去形成空間觀念的機會[2]。教師對作圖教學的弱化直接導致學生對知識的理解停在表面，沒有思維的深度加工;學生沒有作圖的功底，思維鏈常常斷裂，提高解決問題能力常會遇到發展的瓶頸。

在圖形與幾何內容的學習中，教師應充分意識到作圖過程既是考查學生綜合運用知識能力的載體，又是培養空間觀念的過程，要善于抓住典型內容進行長期訓練形成經驗積累，將空間觀念的培養貫穿于整個學習過程中。

3.依托基本圖形作圖，提升幾何直觀能力

數學家希爾伯特在著作《直觀幾何》中認為，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果。在幾何教學中，教師須帶領學生對基本圖形的組成元素間的數量、位置關系進行深度研究，能夠熟練畫出基本圖形，能夠從復雜圖形，辨認、拆解出基本圖形，或者以運動的觀點觀察基本圖形研究圖形形質，利用圖形進行數學的思考，培養學生的幾何直觀能力。

例題2.（2012天津市）“三等分任意角”是數學史上一個著名問題。已知一個角∠MAN，設∠α=∠MAN.

（1）∠MAN=69°，∠α的大小為_______;

（2）如圖2，將∠MAN放在每個小正方形的邊長都是1cm的網格中，角的一邊AM與水平方向的網格線平行，另一邊AN經過格點B，且AB=2.5cm.現要求只能用帶刻度的直尺，請你在圖中作出∠α，并簡要說明做法（不要證明）_________.

【解析】：如圖3，用帶刻度的直尺過點A作一條直線，與過B點的兩條垂線交于C、D兩點，只需量出CD的長為5cm，則∠MAD就是要做的∠α，具體證明如圖4取CD的中點K，連接BK，則BK=2.5cm，利用平行—等腰三角形—角平分線模型順利獲證。

【幾何作圖解讀】本題若要用一把帶刻度的直尺做角平分線，那么就比較容易聯想到平行—等腰三角形—角平分線這個基本圖形和思考路徑?，F在需要做三等分線，是不是可以模仿這個模型？顯然，這個方法的遷移是奏效的。通過本題的解決過程，學生的轉化、構造能力得到鍛煉，對于基本知識點和基本圖形進一步深刻理解，直觀想象的素養得以落實。

從例題2可以看出，在問題的解決過程中，原有的認知需要被聯想，習得的方法需要遷移，舊有的模型需要在新的環境中重新構建，這個思考過程充分體現了核心素養的落實，因此教師要重視幾何作圖的價值，要引導學生充分思考、動手、解決。

4.利用尺規作圖，體現邏輯推理素養

2011版的《義務教育數學課程標準》對尺規作圖做出了明確要求：能用尺規完成基本作圖，會利用基本圖形作幾個復雜圖形，在尺規作圖中了解作圖原理[3]。尺規作圖難點在于工具的限制，對學生作圖前的綜合分析能力有一定的要求，需要學生先從結論逆推溯源，再確定作圖順序，需要學生的邏輯推理能力作為分析支撐。

例題3.如圖5，矩形ABCD，AB=2，AD=4，請利用直尺（無刻度）和圓規在AD邊上找一點P，使得以CP為直徑的圓恰好與AB相切，并求出PD的長。

【解析】如圖6，作線段AB的垂直平分線MN，交線段AB于點E，連接CE，作線段CE的垂直平分線交MN于點O，作射線CO交線段AD于點P，則點P即為所求。求PD的長略。

【幾何作圖解讀】本題如果單純是一道計算線段長度的題目，學生僅需畫出草圖，思路沒有阻礙，要么用勾股定理，要么利用圓的性質和相似中的“K”型圖模型解決。但本題要先利用尺規作出較復雜的準確圖形，這給學生提出了較高要求。仔細審題可以發現問題條件雖然簡單，但蘊含的數學知識、方法、思想卻相當豐富。

如何利用尺規作出準確圖形？切入點在哪里？此時思維需要拓展，特別是逆向推理相當關鍵。通過觀察、邏輯推理找尋點O的確定方法是轉折點。先假定找出P點，通過觀察、逆推可以先確定哪些點。由于矩形是軸對稱圖形，所以邊AD上的任意點與C點的連線都被矩形水平的對稱軸MN平分，即圓心O在直線MN上。然后，圓O與AB邊相切，由圓是軸對稱圖形知切點一定是AB的中點E，則線段OP=OE=OC，顯然這幾個點中只有點E和點C為已知，即點O滿足到點E、點C的距離相等，故點O在線段EC的垂直平分線上。到此思路已經暢通，問題得以解決。從以上分析可以看出，本題只要找到了切口，運用的基本作圖就只是作已知線段的垂直平分線和已知圓心與半徑作圓，完全符合課標要求，而尋找切口需要的逆向思維和邏輯推理素養則是解決問題最關鍵的。所以，此題作為一個載體，將數學的核心素養落實到了問題的解決過程中。

綜觀以上問題，幾何作圖條件簡單但蘊含的思維量很大，有利于學生進行深度學習，提高學生的思維能力。數學教師需擯棄以考為綱的教學，改以發展學生的數學能力為目標實施教學。通過真正研讀課標，思考數學核心素養的落點，教師需樹立“做數學”的理念，重視幾何作圖的教育價值，將相對抽象的思考對象“圖形化”，把分析的思維過程可視化，在實踐中發揮幾何作圖“四兩撥千斤”的作用，讓核心素養落地有形有痕。

參考文獻

[1]? 喻平.“做數學”的理論基礎分析[J].教育研究與評論，2021（06）：22-26.

[2] 何小亞.數學學與教的心理學[M].廣州：華南理工大學出版社，2016：139-143.