以“雙曲線標準方程”為例探討數學核心素養的培養

■ 無錫旅游商貿高等職業技術學校 趙沙沙

1 在GeoGebra繪圖過程中培養學生直觀想象核心素養

信息技術的發展帶動了各個領域的進步,也為現代職業學校教學提供了很多選擇。特別在圓錐曲線章節,利用信息技術為平臺,為學生演示各曲線的形成過程,使教學方式豐富多樣,增強學生對圓錐曲線的直觀理解,便于培養學生直觀想象的數學素養。

在講解雙曲線定義之前,給學生演示何種曲線是雙曲線,條件允許的話,可以請同學們打開GeoGebra軟件,跟隨老師一起演示雙曲線的形成過程。打開GeoGebra軟件,輸入指令:

各指令表示的意思分別是:左焦點;右焦點;構造圓;控制圓上的點A;圓上一點A;使即定值,且A動則M動;

顯示線段MF_1;顯示線段MF_2;顯示文本;顯示雙曲線。

學生只需要把指令輸入到GeoGebra中,拉動滑動條,即可顯示雙曲線的形成過程,即“平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于兩定點距離)的點的軌跡叫作雙曲線。”GeoGebra軟件作圖,讓雙曲線這一抽象的定義生動形象,學生在直觀感受中領會雙曲線的概念,加強自身的直觀想象素養。

2 在標準方程推導過程中培養學生數學運算、邏輯推理核心素養

雙曲線的標準方程在雙曲線一節中占有重要地位。推導雙曲線標準方程的第一步,是建立適當的直角坐標系。通過小組內部交流合作,每個人都有可能提出不同的建立坐標系的方案,有的小組會以雙曲線焦點所在直線為y軸,其垂直平分線為x軸建立直角坐標系;有的小組會以雙曲線兩焦點之一為原點建立直角坐標系;有的小組會以雙曲線焦點所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標系。每一個建系方案都蘊藏著學生對雙曲線定義的自我理解和邏輯推導,理論上都是可行的,只是推導標準方程的計算量和最終得到的方程會有差異。

若以雙曲線焦點所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標系,根據焦距為2c,即可得到兩焦點的坐標分別是(-c,0)、(c,0),這樣就完成了第二步設點,這一步驟學生可以在教師的問題指引下得出。依據雙曲線的定義,雙曲線上任一點(x,y)到兩焦點距離差的絕對值是常數2a,結合兩點間的距離公式,可用提問的方式得出第三步列式,得到:

第四步的化簡過程尤其考驗學生的數學運算和邏輯推理能力:移項,得

兩邊同時平方并化簡,得:

兩邊再同時平方,然后兩邊同時除以a2(c2-a2),

令c2-a2=b2(b＞0),得:

這樣就得到了焦點在x軸的雙曲線的標準方程。帶根式方程的化簡通常會應用平方,對所列式子先移項再平方是簡化計算過程的技巧,化簡過程用到兩次平方,對學生的計算能力是一大挑戰。

推導雙曲線標準方程用到的四個步驟:建系、設點、列式、化簡,是一個層層遞進,環環相扣的過程。每個曲線方程的推導都能用到這幾個步驟,十分考驗學生的邏輯推理能力和計算化簡能力。

3 在實際問題解決過程中培養學生數學建模核心素養

職業院校以培養專業技術型人才為定位,很多專業十分注重實踐性。對部分同學來說,學習抽象數學的過程是鮮有樂趣的,甚至會有人懷疑自己學習數學的意義,因此有“數學無用論”出現。利用數學建模思想將實際問題轉化為數學問題很好地改善了這一情況,教師可以通過數學建模幫助學生提高數學核心素養,引導學生積極思考、探索、解決問題。

在雙曲線應用一節中,針對酒店管理專業的學生,我們可以設計問題:為規劃餐車運行路線,酒店經理碰到一個難題,他將這一問題與職校畢業的小陳一起商量,也就有了下面的研究:如圖,酒店餐車在M處,需要沿路線MA或MB送到ABCD中去,經測量知MA=40米,MB=60米,∠AMB=60°,能否制定一個運送方案,使運送距離最近?

圖1 建模例圖(一)

數學建模思想解決實際問題的實質是“讀懂實際問題、建立相應模型”。我們首先得分析清楚題中的已知與未知,理順題中已知和未知之間的關聯,進而選擇合適的模型。在這道餐車路徑規劃的實例中,我們首先將實際問題轉化成數學問題,建立坐標系,將各區域邊界點在坐標系中,將已知條件轉換求解。餐車路徑規劃可以分成三組情況:(1)沿MA運送最近;(2)沿MB運送最近;(3)沿MA和MB運送一樣近。假設方案三成立,那么對界限上的任意一點P,恒成立,即是一個定值,并且,根據雙曲線的定義知,這個界限的軌跡是雙曲線的其中一支。

圖2 建模例圖(二)

從而我們可以以AB所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標系。設雙曲線方程為:

讀懂題意,建立模型是解決問題的難點,特別是建立模型,需要通過訓練增強數學建模素養。

第二步是“分析條件找點,代入求出方程”,問題中已經轉換的點坐標和按題意設立的方程模型需要進一步“反應”,進而催化出所需的方程式。這一步是解決問題的關鍵,起到承上啟下的作用,“點”找對了,“方程”才能求對。而在此過程中,需要同學們具備一定的數學計算能力。在這個實例中,我們利用余弦定理求出AB的長度,進而求出焦點A、B的坐標,最后求解出雙曲線方程:

最后一步是“還原具體情況,解決實際問題”,數學模型解開了,數學問題解決了,最終還需還原至實際問題。這一步是問題解決的終點,也是解決問題的收官之處。在此過程中,要切實做到如實還原,不遺漏、不繁瑣。在這道餐車路徑規劃實例中,求出右支雙曲線方程后,一定要還原至實際問題就是當運送到界限左邊時,沿MA運送較好;當運送到界限右邊時,沿MB運送較好;當運送到界限上的地方時,沿MA、MB一樣。

數學建模在數學課堂上的有效應用,可以讓學生體會到學習數學的快樂和實用性,在解決問題的過程中,學生在學習過程中處于主體地位;在數學模型求解過程中,需要學生對基礎知識掌握扎實,同時需要具備較強的運算能力。有效的數學建模課堂是培養學生數學核心素養的高效途徑。

圓錐曲線作為職業學校數學教學的重點內容,是平面解析幾何知識的繼續學習,其蘊含的知識點美麗又抽象,縝密而細致。教師可以通過與專業相結合加強知識的趣味性,例如在講解雙曲線一節時,可以從專業中的曲線美、生活中的曲線美入手,通過展示學生搜集的帶有三類圓錐曲線的專業設計圖片等實現德育滲透,落實課程目標立德樹人的根本任務。作為一個生動的知識引導者,教師也可以通過增設數學實驗環節加強課堂的生動性。例如在講解雙曲線一節時,可以通過手工折紙等方式折出雙曲線,使學生領會雙曲線定義的精確性;可以將課堂搬到車間廠房,通過觀看不同數據對機器產生的影響,使學生領會數據準確性的重要意義。

數學學科的六個核心素養作為學科育人的價值集中體現,是培養人才、踐行社會主義核心價值觀的重要載體。教師在教書育人過程中,要常思考多嘗試,用高效的方式踐行“立德樹人”之本、培養強國之才。