“正多邊形與圓”關系的探究與思考

陳莉

“正多邊形與圓”是人教版九年級上冊第二十四章第三節的教學內容，教材中有一道練習題：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內接多邊形呢？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例。

案例呈現

近期，筆者觀摩了兩節“正多邊形與圓”相關教學內容的校級公開課，現就呈現探究這道習題的兩個教學片段。

教學片段1：教師出示練習題，學生獨立思考后回答。

生1：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形，因為各邊相等可以推出弧相等，由弧相等可以推出圓周角相等，即這個內接多邊形的各角也相等，所以它是一個正多邊形。

（師生對學生1的回答表示認同）

生2：各角相等的圓內接多邊形也是正多邊形，因為正多邊形各角相等，對于外接圓而言就是圓周角相等，由圓周角相等也可以推出弧相等，由弧相等則可進一步推出弦相等，所以多邊形各邊相等，因此它是一個正多邊形。

師：對這個問題，同學們有不同的意見嗎？

生3：各角相等的圓內接多邊形不一定是正多邊形，如矩形，它的各角都是直角，但它不是正多邊形。

師：矩形是同學們熟悉的平面幾何圖形，本節課我們復習正多邊形定義時，就已給出判斷：矩形不是正多邊形。通過這個反例，說明了各角相等的圓內接多邊形不一定是正多邊形。

教學片段2：學生對“各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形”這一結論的判斷與教學片段1相同，這里重點呈現“各角相等的圓內接多邊形是正多邊形嗎”的討論。

師：各角相等的圓內接多邊形是正多邊形嗎？

（學生紛紛表示“是”，教師請學生說明理由）

生1：（該生的判斷和理由與教學片段1中的學生2一致）。

教師追問：那矩形呢？它各角相等，各邊也相等嗎？

生2：首先，矩形是個反例。其次，即使這個圖形不是矩形，它也可能各角相等但不是正多邊形，比如一個正多邊形的一個頂點往左移一點或往右移一點，它的角度沒有改變，但它的各邊就不相等了。

（教師肯定了生2不僅想到特殊的反例矩形，還想尋找一般的反例，并試圖畫出生2所說的一般反例圖形，但沒有成功）。

生3：如果頂點移動，這個角的度數沒有發生改變，但左右相鄰兩個角的度數改變了，這個多邊形就不滿足各角相等的條件了。

師：目前看來只有矩形能證明這個命題為假命題。

發現問題、提出問題

結合這兩個教學片段及課下的調研，筆者了解到，對“各角相等的圓內接多邊形是正多邊形”這一問題，教師的預設是學生舉出矩形作為反例說明結論錯誤即可。但課堂教學是一個動態的、不斷建構生成的過程，往往會生發出一些值得思考、有價值的問題。在這兩節課中，學生的表現超出了教師的預設，不僅類比“各邊相等”的思路進行“各角相等”條件下的推理，還思考除矩形之外的其他反例圖形。學生的活躍思維不禁促使筆者思考如下問題：各邊相等、各角相等，由圓的知識可以推出弧相等，為什么由“各邊相等”能得到圓內接正多邊形的結論，而“各角相等”卻不能得到？學生思維的漏洞在哪里？“各角都相等的圓內接多邊形是正多邊形”的反例只有矩形嗎？還有沒有其他的反例？

分析問題、解決問題

學生錯誤原因的分析。這道習題一般是在探究了“正多邊形與圓”的關系后讓學生練習，借助圓的知識對正多邊形進行判定，進一步體會“正多邊形與圓”的關系的內在規律。以正五邊形為例，在探究正多邊形與圓的關系過程中，學生經歷了由弧相等推弦相等、圓周角相等，從而得出多邊形各邊相等、各角相等，對圓中弧、弦、圓周角之間的相互轉化，學生已經有了一定的基礎。既然能由各邊相等推弧相等，從而得到正多邊形的結論，那么由各角相等推弧相等，得到正多邊形的結論，是學生經驗的遷移，學生認為合理且正確。盡管用矩形的反例，說明了“各角相等的圓內接多邊形是正多邊形”這一結論錯誤，但學生并不知道自己推理中的漏洞在哪里。

教學反思

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要讓學生“發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力”。教師經常鼓勵學生在學習中發現問題，提出問題，其實，教師自己在教學中發現問題、提出問題和解決問題也很重要，有問題驅動的教學，引導學生的思考才會更深入。主動研究與學習，能讓教師的知識如源頭活水常備常新，在教學中游刃有余，更好地指導學生。如果教師自身就是“求索者”“好奇心的激發者”，那他也一定可以成為學生善于發現與提出問題、分析與解決問題的“引領者”。

責任編輯/楊亮亮