例祈圓鏈曲線中的范圍（最值）問題

秦曉燕

圓錐曲線中的范圍（最值）問題是圓錐曲線中的重要題型。這類題目以圓錐曲線中的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以不等式或函數(shù)的單調(diào)性為解題工具，綜合性比較強，是考查的熱點。做此類題目，需要從以下兩個方面λ手。

方面一：熟練記憶范圍的各種出處

（1）已知條件中參數(shù)的取值范圍;

（2）直線與圓錐曲線相交，要求判別式△>0;

（3）圓錐曲線上動點P（x。，yo）的橫坐標、縱坐標自身的取值范圍;

（4）圓錐曲線中離心率e的取值范圍;

（5）焦半徑的取值范圍;

（6）過焦點的弦長的取值范圍;

（7）三角形中大邊對大角，小角對小邊;

（8）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

（9）點與圓錐曲線的位置關(guān)系，如點

（10）題目中兩個不同的線段長度的比較。

方面二：恰當建立目標函數(shù)，利用均值不等式或者是函數(shù)的單調(diào)性求解

建立目標函數(shù)的關(guān)鍵是選取一個合適的變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題的表達式，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，解題時靈活處理。

范圍或最值問題主要有四種情況。

（1）求離心率的范圍，目標公式為e=C，找出與a、b、c有關(guān)的不等式。

（2）求距離型的取值范圍或最值：①若涉及焦點，則可以考慮將圓錐曲線的定義和平面幾何性質(zhì)結(jié)合起來求解;②若求圓錐曲線上的點到直線的距離，則可設(shè)出與已知直線平行的直線方程，再代λ圓錐曲線方程中，用判別式等于0求得切點坐標，這個切點就是距離取得最值的點;③若點在圓或橢圓上，則可將點的坐標以參數(shù)形式設(shè)出，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解。

（3）求斜率、截距型的范圍或最值：一般是將直線的方程代λ圓錐曲線的方程中，利用判別式列出對應的不等式，解出參數(shù)的范圍，如果給出的只是圓錐曲線的-部分則需要結(jié)合圖形，得出相應的不等關(guān)系。

（4）求面積型的最值：恰當選定參數(shù)，把面積表示出來，用函數(shù)方法或基本不等式的方法進行求解。

例1（2021年全國新高考I卷）第5焦點，點M在橢圓C上，則|MF1|·|MF2的最大值為（）。

A.13

B.12

C.9

D.6

分析：本題屬于求距離型的最值，并且涉及焦點，可以利用橢圓定義得到MF，+IMF2|=2a=6，再借助基本不等式|MF·|MF2|=3時，等號成立）。故選C。

拓展：在本題的條件下，求MF1·|MF2I的取值范圍。

利用基本不等式只能求出最大值，這里需要利用函數(shù)的觀點研究目標函數(shù)的值域。

在剛才解題的基礎(chǔ)上把兩個距離MF1|、|MF2|中的一個|MF，|當成主元，把目標函

數(shù)表示為關(guān)于|MF1|的-元二次函數(shù)，再進行求解。

IMF·「MF2「=「MF1·（6|MF1I）=-|MF：|2+6|MF1|=-（|MF1|-3）2+9，而焦半徑|MF1|的范圍是[a-c，a+c]，即|MF1|∈[3-5，3+75]。利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知：

當|MF1|=3時，|MF1|·|MF2|取最大值9;

當IMF1|=3士/5時，|MF1·|MF2取最小值4。

故MF1|·|MF2|的取值范圍為[4，9]。

總結(jié)提升：求解最值問題時，基本不等式法比較快捷，很受大家的青睞。但是基本不等式不是萬能的，遇到求取值范圍或值域的問題時，還是要利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解，特別要注意參數(shù)的取值范圍。

例2（2021年全國乙卷（理數(shù)）第11題）設(shè)B是橢圓C：若+。=1（a》6》0）的a

上頂點，若橢圓C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）。

分析：本題表面上是求離心率的取值范圍，實質(zhì)上是利用距離型目標函數(shù)的最值，在求解過程中找出相對應的有關(guān)α、b、c的不等式，從而求出離心率的取值范圍。解題的關(guān)鍵是設(shè)出點P（xo，yo），由題意知點B（0，b），

根據(jù)兩點間的距離公式表示出「PB，分類討論求出|PB的最大值，再構(gòu)建關(guān)于α，b，c的齊次不等式。

4b2，化簡得（c2-b2）≤≤0，顯然該不等式不成立。

答案為C。

總結(jié)提升：解決本題的關(guān)鍵是如何求出PB的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值。本題思路簡單，但運算中容易出錯。本題中的，點P的坐標也可以設(shè)成參數(shù)形式P（acos0，bsin0），0∈[0，2π]，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解，過程中仍然需要分類討論。

例3

（2021年全國乙卷（文數(shù)）第20題）已知拋物線C：y=2x（p》0）的焦點F到準線的距離為2。

（1）求拋物線C的方程;

（2）已知O為坐標原點，點P在拋物線的最大值。

分析：第一問易求，第二問屬于求斜率的最值。這里直接設(shè)直線OQ斜率比較麻煩，設(shè)點Q（xo，yo）的話可以直接利用向量關(guān)系式把點P的坐標表示出來，再利用點P在拋物線上建立關(guān)系式，最后由斜率公式及基本不等式求解由題意知，該拋物線焦點到準線的距離所以該拋物線的方程為y=4x。

總結(jié)提升：本題把直線OQ的斜率表示為y0的函數(shù)，通過對y0取值范圍的討論，利用基本不等式求出最值。在設(shè)點時，上述解題過程中設(shè)的是點Q（x。，yo），也可以設(shè)，點P的坐標進行求解。

例4（2021年浙江卷第21題）如圖1，已知F是拋物線y2=2px（p》0）的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且|MF=2。

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，斜率為2的直線L與直線MA，MB，AB，x軸依次交于點P，Q，R，N，且|RN|2=|PN|·|QN|，求直線l在x軸上截距的范圍。

分析：第一問易求，第二問中點較多，關(guān)系復雜，但是這些點是在兩條直線上，只要把直線設(shè)出來，點就能表示。直線AB過焦點且與拋物線交于A、B兩點，可以設(shè)成x=ty+1，其中點A（x1，y1），B（x2，y2）。

另外-條直線L與x軸交于點N，而且本題求的是直線L在x軸上截距的范圍，這里把點N設(shè)成N（n，0）比較合適，后面聯(lián)立對應的方程求出對應點P，Q，R的坐標，代λ關(guān)系式|RN|2=|PN·|QN|，進一步可求n的范圍。

解：（1）因為|MF|=2，所以p=2，拋物線的方程為y2=4x。

（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），N（n，0）。

易知直線1的方程為x=之+，由題設(shè)又直線MA的方程為n≤-7-4/3或-7+4/3≤n《1或n》1。故直線L在x軸上的截距的范圍為{n|n≤-7-4/3或-7+4/3≤n《1或n》1}。總結(jié)提升：本題難度較大，解決問題的關(guān)鍵是怎么設(shè)直線或者點坐標，在設(shè)的過程中遵循的原則是盡量少引λ參數(shù);對于構(gòu)建出的函數(shù)關(guān)系式，要恰當利用換元法把復雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍問題。

下面給出常見的幾個分式型目標函數(shù)求最值或范圍的處理辦法：

（責任編輯 徐利杰）