以“點(diǎn)”代“線”優(yōu)化拋物線中兩類“熱點(diǎn)”問題

霍忠林

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（比如y2=2ax，a≠0）中既含有二次項(xiàng)又含有-次項(xiàng)，可以用“二次”來表示“-次”，這樣拋物線上任意一點(diǎn)均可以表示為（y）（不妨稱為“設(shè)點(diǎn)”）。這種設(shè)法避開了常規(guī)的“設(shè)線”方法，這種處理手段對(duì)于處理拋物線中“與直線斜率相關(guān)的問題”和“直線過定點(diǎn)問題”這兩類熱點(diǎn)問題常常具有出奇制勝的效果。下面我們先來回顧兩個(gè)常見的結(jié)論。

拋物線y=2ax（a≠0）上不同的兩點(diǎn)且直線

拋物線x2=2ay（a≠0）上不同的兩點(diǎn)且直線

程與結(jié)論一相似，不再贅述）

類型一拋物線中與直線斜率相關(guān)的問題

點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q，求直線AP的斜率的取值范圍。

解析：由結(jié)論二得飛AP=

點(diǎn)評(píng)：本題直接利用結(jié)論二來求拋物線上兩點(diǎn)的斜率，方法簡(jiǎn)單快捷，直截了當(dāng)。

例2已知拋物線C：y2=2px，且過點(diǎn)A（1，1）。

（1）求拋物線C的方程;

（2）過點(diǎn)P（3，-1）的直線與拋物線C交于兩個(gè)不同兩點(diǎn)M，N（均與點(diǎn)A不重合），設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值。

解析：（1）易得y2=x。

（2）設(shè)M（y，y1），N（y，y2）。

當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，由結(jié)論一得

當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，易知其方程為x=3，與拋物線交于（3，3），（3，-3），

例3拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A，B，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN與直線AB的斜率之比為定值。

=2（定值）。

點(diǎn)評(píng)：上述兩個(gè)例題涉及的，點(diǎn)較多，如果通過“設(shè)線”來處理會(huì)非常煩瑣，而通過“設(shè)，點(diǎn)”來處理，則快速簡(jiǎn)捷，易于同學(xué)們吸收和掌握。但是要注意當(dāng)拋物線上兩，點(diǎn)所在直線過某，點(diǎn)時(shí)，通過三，點(diǎn)共線來處理會(huì)更好。

類型二拋物線中直線過定點(diǎn)問題

一般地，探求直線y=kx+m過定點(diǎn)問題，就是尋求k和m的-次關(guān)系。比如若k=2m+1，則直線y=kx+m=（2m+1）x+m=（2x+1）m+x，所以該直線過定點(diǎn)y1y2這兩個(gè)“量”的-次關(guān)系。因此，通過“設(shè)點(diǎn)”來處理直線過定點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是尋找y1+y2和y1y2的-次關(guān)系。

例4已知直線y=x-2與拋物線y2=2px（力》0）相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，定點(diǎn)C（4，2），D（-4，0），M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。設(shè)直線CM，DM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)。

（1）求拋物線的方程;

（2）求證當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)E，F(xiàn)存在且不重合），直線EF恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)

由結(jié)論-知，直線EF方程為y=

點(diǎn)（4，4）。

解析幾何的學(xué)習(xí)對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求很高，很多時(shí)候同學(xué)們有解題思路但面對(duì)“煩瑣”的運(yùn)算常常自信心不足。因此，在高考備考中，同學(xué)們要夯實(shí)計(jì)算基礎(chǔ)，總結(jié)優(yōu)化策略，這樣才能實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考。

（責(zé)任編輯 徐利杰）