對圓維曲線有關的一類問題的研完

馬莉

美籍匈牙利數學家波利亞1959年提出，在數學研究與學習中合情推理占有很重要的地位，這里的合情推理及其模式，是指借助于歸納、模擬、限定、推廣、猜測、檢驗等思維活動來認識事物、發現真理的推理形式。同學們在學習的過程中，也常常需要運用這-推理形式，對一個個具體問題恰當地進行歸納、猜想、推廣，在這-過程中，培養大家的思維能力。

在解析幾何的學習過程中，筆者發現了以下兩個相似問題。

問題1：已知點P（1，2）是圓O：x2+y2=5上的點，過P作直線PA，PB分別交圓O于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，求證：直線AB的斜率為定值。

證明：設直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為y-2=k（x-1）。

因為直線PA，PB的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數，直線PB的方程為y-2=-k（x-1）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

整理得（k2+1）（x-1）2+（4k+2）（x-1）=0，即（x-1）[（k2+1）（x1）+4k+2]=0。

問題2：已知點P（3，4）是圓O：x2+y2=25上的點，過P作直線PA，PB分別交圓O于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，求證：直線AB的斜率為定值。

用問題1中的方法，容易得到直線AB的斜率為定值子，證明過程略。

觀察問題1、問題2，不難發現有這樣的相似之處：問題1中，點P的坐標為（1，2），

2問題2中，點P的坐標為（3，4），kg4。直線AB的斜率都是點P的橫坐標與

縱坐標的比值。

猜想1：已知點P（xo，yo）（y0≠0）是圓O：x2+y2=r2上一點，過P作直線PA，PB分別交圓O于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為定值C。

猜想2：已知點P（x0，yo）（yo≠0）是圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點，過P作直線PA，PB分別交圓O于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為定值x。

猜想3：已知點P（xo，yo）（yo≠0）是圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2上的點，過P作直線PA，PB分別交圓O于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜

猜想1的證明：設直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為y-y。=k（x-xo）。

因為直線PA，PB的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數，可設直線PB的方程為y-y0=-k（x-xo）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

同理可以證明猜想2是錯誤的，猜想3正確，以下簡要說明猜想3的證明過程。

不難看出，猜想1就是猜想3當α=0且b=0時的特殊情況。猜想1涉及的是以坐標原點為圓心的圓，其他的以坐標原點為中心的圖形是否可以有相關結論呢？

猜想如下：

猜想1-1：已知點P（xo，yo）（yo≠0）是PA，PB分別交橢圓于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為定值。

PA，PB分別交雙曲線C于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為定值。

猜想1-1的證明過程如下。

設直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為y-y0=k（x-xo）。

因為直線PA，PB的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數，可設直線PB的方程為y-y0=-k（x-x0）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

猜想1-2的證明過程如下。

設直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為y-y0=k（x-xo）。

因為直線PA，PB的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數，可設直線PB的方程為y-y0=-及（x-xo）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

由猜想1、猜想1-1和猜想1-2還可以得出更一般的結論：已知點P（xo，yo）（yo≠0）是有心圓錐曲線C：mx2+ny2=mn（mn≠0）上的點，過P作直線PA，PB分別交曲線C于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互

既然有心圓錐曲線可以有這樣的特性，那么圓錐曲線中的拋物線（無心圓維曲線）是否也可以有相似的特征呢？

猜想1-3：已知點P（xo，yo）（yo≠0）是拋物線C：y2=2px（p》0）上的點，過P引直線PA，PB分別交拋物線C于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為定值。

證明：設直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為y-yo=k（x-xo）（k≠0），直線PB的方程為y-yo=-k（x-xo）。

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

從以上證明過程可以看出，從對具體問題的學習研究中，發現、探尋一般意義下的共性結論，去研究事物變化中的不變性，這是-切科學探索活動中最具有生命活性的永恒話題。

（責任編輯 徐利杰）