基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)
——以“基本不等式”情境引入為例

江蘇省常州市第三中學(xué) (213000) 郭影影

上學(xué)期校內(nèi)組織青年教師崗位練兵之模擬課堂活動，課題是《基本不等式》第一課時.模擬課堂時間有限，最精彩的部分就是情境引入.俗話說，好的開始是成功的一半.一節(jié)數(shù)學(xué)新授課，情境引入環(huán)節(jié)是必不可少的，也是最重要的.一節(jié)好的數(shù)學(xué)在新授概念課教學(xué)中，應(yīng)該重視揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展、演變的探究興趣，是數(shù)學(xué)教師們的不懈追求.在《基本不等式》第一課時的教學(xué)中，本人在參與模擬課堂活動之后有感而發(fā)，總結(jié)出以下6種精彩的情境引入，分別以幾何圖形情境、操作情境和生活情境三個方面進(jìn)行說明，并探究如何在情境教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.基于幾何圖形情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).《基本不等式》第一課時的首要教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生知道基本不等式的內(nèi)容及其幾何背景.而從幾何圖形出發(fā)，讓同學(xué)們在觀察圖形中直觀獲得代數(shù)關(guān)系，旨在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

圖1

案例1 如圖1，AB是圓O的直徑，AC=a,CB=b，過點(diǎn)C作CD⊥AB交圓O的半圓于點(diǎn)D，連接AD,BD.

師：可以給出證明嗎？

師：通過圖形可直觀發(fā)現(xiàn)線段OD,CD的長度關(guān)系是怎樣的呢？

生：CD長度小于OD.

師：兩者長度可能相等嗎？何時相等？

生：當(dāng)a=b時，CD=OD.

設(shè)計(jì)意圖：這是蘇教版(2020年)新高考新教材給出的情境，以幾何圖形作為情境引入，便于理解基本不等式，突出其幾何解釋，即“半徑不小于半弦”.這樣設(shè)計(jì)，一是凸顯幾何圖形的直觀價值，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的重要應(yīng)用，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)打下鋪墊；二是引導(dǎo)學(xué)生從自然語言向圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的精美和嚴(yán)謹(jǐn)；三是體現(xiàn)知識連貫性和生成性.在教學(xué)中，以形輔數(shù)，通過圖形直觀發(fā)現(xiàn)代數(shù)量之間的關(guān)系是常用的教學(xué)手段，通過直觀經(jīng)驗(yàn)和感性認(rèn)識，活化學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，成就高效課堂.

圖2

案例2 如圖2是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，是根據(jù)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗變化使它看上去像是一個風(fēng)車，代表著中國人民的熱情好客.該會標(biāo)是由四個全等的直角三角形圍成的.設(shè)直角三角形的直角邊長為a,b.

師：根據(jù)圖示，請計(jì)算出大正方形ABCD的面積和四個小直角三角形的面積之和？

生：大正方形ABCD的面積為a2+b2，四個小直角三角形的面積之和為2ab.

師：根據(jù)圖示，兩個面積之間的大小關(guān)系怎樣呢？代數(shù)關(guān)系怎樣表示？

生：大正方形ABCD的面積大于四個小直角三角形的面積之和，代數(shù)表示為a2+b2>2ab.

師：兩個面積關(guān)系可能相等嗎？何時相等呢？

生：當(dāng)四個直角三角形的直角邊在正方形的對角線上時，兩個面積關(guān)系相等，此時a=b.

師：通過探究發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系式a2+b2≥2ab，稱為“重要不等式”.同學(xué)們再思考該不等式成立時a,b可以取任意實(shí)數(shù)嗎？

生：可以取任意實(shí)數(shù).由上圖知道取正數(shù)時可以，若a,b取一正一負(fù)是恒成立的，若a,b同時取負(fù)值，可以取值驗(yàn)證是正確的，若a,b取到0也是恒成立的.

設(shè)計(jì)意圖：以1300多年前的趙爽弦圖作為情境引入，吸引學(xué)生注意力，引發(fā)聯(lián)想，激發(fā)探究欲望.這里采用幾何圖形變化的形式，使同學(xué)們感受到弦圖的魅力所在，感嘆于古代數(shù)學(xué)家的智慧，深切感受我國數(shù)學(xué)學(xué)科的悠久歷史和深厚的文化底蘊(yùn).同時也易于學(xué)生理解和接受重要不等式的產(chǎn)生過程，從而迅速激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.根據(jù)重要不等式，運(yùn)用邏輯推理得出本節(jié)課的內(nèi)容基本不等式.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，學(xué)生必須具備一定的基礎(chǔ)知識，而新授課堂的教學(xué)需要激發(fā)與學(xué)生的共鳴，從學(xué)生所具備的基礎(chǔ)知識入手，簡潔明了的進(jìn)入主題.該案例從精美的弦圖入手，從直觀圖形中抽象出數(shù)學(xué)問題，通過觀察、聯(lián)想、總結(jié)得出“重要不等式”，進(jìn)而引出“基本不等式”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

2.基于操作情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”.將數(shù)學(xué)的情境教學(xué)當(dāng)作一個活動來執(zhí)行，讓學(xué)生動手操作“實(shí)驗(yàn)”，以動促思，自主探索，讓數(shù)學(xué)課堂活起來，不在是死板的老師教學(xué)生學(xué)的傳統(tǒng)課堂.調(diào)動感官參與學(xué)習(xí)，進(jìn)行適度抽象，獲得數(shù)與形的聯(lián)系，完成數(shù)學(xué)知識的“創(chuàng)造”.使得每位同學(xué)都是知識得發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者.在這種操作情境中有益于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

案例3 同學(xué)們準(zhǔn)備正方形紙片，如圖3，圖4，先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個等腰直角三角形拼接構(gòu)造成一個矩形.

圖3

圖4

師：能構(gòu)造出一個矩形嗎？(同學(xué)到黑板畫出)

圖3′ 圖4′

師：假設(shè)圖3中兩個正方形的面積分別為a,b(a>0,b>0)，分別計(jì)算出矩形的面積和兩個等腰直角三角形的面積和.它們之間具有怎樣的大小關(guān)系？

師：請用符號語言表示.

設(shè)計(jì)意圖：教師從簡單的折疊拼接構(gòu)造長方形這個簡單易操作的活動開始，使同學(xué)們獲得心理安全，每位同學(xué)都能夠參與其中.在討論交流中獲得知識、營造輕松愉快的課堂氛圍，又使同學(xué)們獲得心理自由，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性.教師從基本不等式的幾何背景入手，通過拼圖實(shí)驗(yàn)，使同學(xué)們直觀感受基本不等式的形成過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”.

生2：也有可能兩者相等，當(dāng)舉例a=b時.

生3：同意以上兩位同學(xué)的觀點(diǎn).

生4，生5，……

設(shè)計(jì)意圖：這是蘇教版老教材必修5中給出的情境引入.數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，猜想驗(yàn)證也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾說“真正的數(shù)學(xué)家——常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實(shí).”因此，該教材中給出通過數(shù)據(jù)分析進(jìn)行猜想驗(yàn)證的情境，意在要求教師們重視數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)和猜想驗(yàn)證思想方法在教學(xué)中的滲透，以增強(qiáng)學(xué)生主動探索、獲取數(shù)學(xué)知識的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，旨在讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，將課堂還給學(xué)生.該課引入環(huán)節(jié)，問題設(shè)計(jì)簡單，具有可操作性，同學(xué)們參與程度高，積極性強(qiáng).

3.基于生活情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出要讓學(xué)生能夠“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式取觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”.下面兩個案例的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)這一理念.從生活中的實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、抽象、概括，數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題.這樣安排是為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值.旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

生：不同意，天平不夠精確.

師：那你能夠求出金首飾的實(shí)際質(zhì)量嗎？(同桌討論交流)

生：猜測應(yīng)該是物體的實(shí)際質(zhì)量小于老板測量出的質(zhì)量.

師：怎么說明呢？

設(shè)計(jì)意圖：從物理實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.通過學(xué)生自主探究與展示，教師從中引導(dǎo)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.引出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念，進(jìn)而是如何比較兩者的大小問題.

案例6 情景：甲、乙兩人同去一家糧店分別買了兩次糧食，兩次糧食的價格分別是a元/千克，b元/千克(a≠b)，兩人的購糧方式不同：甲每次買1000千克，乙每次買1000元.誰的購糧方式更合算呢？說明理由.

生1：應(yīng)該計(jì)算兩人購糧的均價，再比較大小.

設(shè)計(jì)意圖：該案例從生活實(shí)際問題引入，學(xué)生首先合作交流尋找解決方法，再自主運(yùn)算解決問題.讓學(xué)生在自然、開放的氛圍中充分發(fā)揮自己的探究能力，提高思維水平，進(jìn)而提升解決問題的能力.

通過以上案例研究，筆者認(rèn)為作為一線教師應(yīng)該為每節(jié)課備出適合學(xué)情的教學(xué)方案，從而使學(xué)生在輕松舒適的氛圍中獲取知識.課堂教學(xué)的首要任務(wù)是將學(xué)生視為課堂主人，教師盡可能的少講、精講，應(yīng)該通過創(chuàng)設(shè)情境適當(dāng)組織學(xué)生獨(dú)立思考、交流表達(dá)、對話互動.課堂教學(xué)的最終目標(biāo)是滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以《基本不等式》為例的6個情境創(chuàng)設(shè)，以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)方向，始終注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的意識.