拓展解題思路，優化運算步驟*
——以解析幾何試題的求解為例

四川電影電視學院實驗中學 (611331) 王昌林 羅萍雙

解析幾何試題的運算要求較高，如何簡化解析幾何中運算的策略很有意義.簡化運算的方法有很多，如定義法、數形結合法、巧設未知數，幾何分析，運用結論，特殊化等.本文予以論及.

1 運用定義，回歸本質

俗話說：“萬變不離其宗”.其意為盡管形式上變化多端，其本質或目的不變，殊途同歸.如何抓住本質呢？最好的辦法就是回歸定義.利用定義解題，可以有效縮短解題過程，優化思維品質.

評注：由拋物線的定義將|MN|用|AF|，|BF|表示出來，從而解決問題.

2 數形結合，體現素養

伴隨著新課程標準的推行，在高考試題中出現了越來越多需要用數形結合思想解決的題型.數與形有效結合的方法能夠提升學生數學思維能力，幫助學生分析題意找到解題思路，達到高效的解題成果.

圖1

評注：圓錐曲線離心率的求解，半徑和直徑的判斷，采用數形結合可以有效避免代數法從頭至尾運算繁瑣，提升準確率.

3 巧設方程，規避討論

在解答解析幾何試題時，合理的巧設方程可以有效的避免討論.例如在解答直線與圓錐曲線的有關問題，可以將直線方程設為x=my+n，從而有效避免討論直線的斜率.此外，還有妙用極坐標、參數方程等方式簡化解析幾何運算.

例4 設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD與點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

評注：例3與例4分別巧設雙曲線與直線的方程，有效規避雙曲線兩種標準方程與直線斜率的存在性，優化解題目的，使得解題更加高效.

4 巧借未知，設而不求

“設而不求”是指增設輔助元卻在解題過程中不求出所增設元值的一種方法.采用“設而不求”的方法，往往可以避免因盲目計算而造成的大量繁瑣工作，從而達到簡潔、快速的解題效果.

例5 已知拋物線C：x2=-2py經過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程以及準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l，交拋物線C于M，N兩點，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B，求證：以AB為直徑的圓過y軸上的兩個定點.

解析：(1)易得拋物線C的方程為x2=4y，準線方程為y=-1.

評注：先設出參數x1，x2，y1，y2，用參數表示直線OM的斜率，從而表示A，B兩點的坐標.在表示圓的方程時發現方程中出現兩根之積，于是聯立方程并根據韋達定理得到x1x2=-4，從而解得y值，最終證明以AB為直徑的圓過y軸上兩個定點.

5 模型結論，減少運算

模型結論是指合理運用數學模型與重要結論解題的策略，其可以大大簡化運算，尤其在選填題中效果明顯.

例6 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

例7 已知點M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=.

解析：已知點M(-1,1)在拋物線的準線上，且∠AMB=90°，則可知直線AB是切點弦方程，所以可得y=2x-2，則k=2.

評注：例6的拋物線焦點弦長公式以及例7的切線模型都是高考常考的問題，因此，掌握一些結論與模型是必要的，但模型和結論不可死記硬背或是對其癡迷，其應是在自己原有知識基礎和直覺感知之上的.

6 等價轉化，簡化運算

等價轉化是指將未知解法問題轉化到已有知識的一個過程.解決綜合試題時，根據題中給出的條件進行“精準”轉化，使其能夠計算且便于計算，甚至簡算或者不用計算.

例8 已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B點，交C的線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ.

圖2

評注：將兩直線平行轉化為直線斜率相等的方法是常見轉換方式.大部分解析幾何試題難在運算，而優化運算的根本在于轉化.此外，轉化的過程還會用到向量、導函數、不等式等工具.

7 巧借平幾，幾何分析

巧借平幾是指借助與平面幾何相關知識對解析幾何問題進行求解.在解答解析幾何問題時，進行適當的幾何分析，注重挖掘問題的幾何特征，善于用幾何的眼光來審視問題，往往可以得到較為簡潔的方法.

評注：本題若直接用坐標法建立等式，其運算量較大；現巧妙利用平面幾何知識，不但能減少運算量，還能給人耳目一新之感.

8 發掘隱含，優化運算

“隱含條件”是指數學問題中沒有明確指出的非顯性條件.在解題時，應仔細審題，認真觀察，充分挖掘并利用隱含條件，從而達到優化解題過程、多想少算等目的.

例10 已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行與坐標軸，l與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

解析：(1)kOM·kl=-9，過程略.

評注：運算能力的核心在于設計合理運算路徑，若是采用設直線方程與橢圓聯立的常規解題思路，會使得運算量大大增加以致無法操作.充分發掘P點橫坐標是對角線的兩倍這一“隱含條件”，運算量會大大減少.

9 高觀導向，謀定而動

高觀導向是指運用高等數學相關知識對解析幾何試題的結果進行預判.高考中，高等數學知識雖不能直接使用，但可以幫助考生把握解析幾何答案的預見性，從而做到對試題整體把控.

評注：例11與例12分別運用的是極點極線與二次曲線系方程的知識.例題若是采用一般方法解答，其過程是繁瑣的，用高觀進行導向，可以讓考生在解答過程中及時更正.

10 直觀想象，問題特殊化

運用特殊化策略是解答選擇填空題的常用方法.從特殊到一般是人們思考問題的根本方法，也是探求解題思路的基本策略[5].在解答題中特殊化思想可以起到有效的導向作用，為尋找問題的突破口指明方向.

評注：考慮B，M重合，將問題特殊化，避免了聯立、消元、韋達定理等一系列運算過程，達到簡化運算地目的.

數學解題不僅要會算，更要會看、會想.以上示例更能有效解決解幾何問題求解中“想到算不出”、“想想還會，算算就錯”等問題.