2021新課標(biāo)Ⅰ卷第19題的解法探究

安徽省合肥一六八中學(xué) (230601) 吳志勇 王中學(xué)

2021年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第19題是一道解三角形問題，主要考查了利用正余弦定理處理三角形中的邊角關(guān)系，也考查了分析問題、解決問題以及運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)了樸實(shí)中重視基礎(chǔ)，常規(guī)中考查能力，為引領(lǐng)在新課程、新教材下開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用.本文就此題的解法開展研究.

一、試題呈現(xiàn)

原題記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、解法探究

(法2)在△ABC中，由b2=ac得b·sin∠ABC=a·sinC，又BD·sin∠ABC=a·sinC，

∴b·sin∠ABC=BD·sin∠ABC.∵sin∠ABC≠0，∴BD=b.

評(píng)注：解法1是利用△ABC與△ABD中∠A的余弦值相同，解法2是利用△ABC與△BCD中∠C的余弦值相同，解法3是利用△ABD與△BCD中∠ADB和∠BDC互補(bǔ)，余弦值的和為0，三種方法本質(zhì)相似，借助角之間的關(guān)系以及已知條件b2=ac和AD=2DC來找出邊a,b,c之間的等量關(guān)系，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高；解法4通過對(duì)已知條件BD·sin∠ABC=a·sinC的推理，找到∠ABC與∠BDC互補(bǔ)，繼續(xù)可以利用余弦定理找出邊之間的關(guān)系，而解法5則是利用了三角形相似得到了邊之間的關(guān)系，方法巧妙，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求較高；解法6和7根源是余弦定理，但是分別利用了向量法和坐標(biāo)法，一個(gè)是正余弦定理的推導(dǎo)工具，一個(gè)是三角函數(shù)概念的應(yīng)用，方法不難，容易被忽略.本題充分體現(xiàn)了選拔功能，要求不同的學(xué)生選擇不同的方法解決問題.

三、命題推廣