創(chuàng)設(shè)問題情境，關(guān)注生成過程，提升核心素養(yǎng)
——“直線與平面垂直的判定”教學(xué)實(shí)踐與思考

湖北省襄陽市第一中學(xué) (441099) 李 珍湖北省襄陽市第五中學(xué) (441057) 馬文俊

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)和提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.如何在課堂實(shí)踐中提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者通過直線與平面垂直的判定的教學(xué)實(shí)踐和思考做了一些探索，以饗讀者.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書·數(shù)學(xué)》必修②中直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第一課時.直線與平面垂直是空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的核心內(nèi)容.直線與平面垂直既是對直線與直線垂直的深化，也是研究平面與平面垂直的基礎(chǔ).同時，它也為后續(xù)研究斜線與平面所成的角、二面角、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、兩個平行平面間的距離等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).

二、學(xué)生情況分析

學(xué)生掌握了直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，也掌握了直線與直線垂直的判定方法，有“通過觀察、操作，抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論”的學(xué)習(xí)體驗，具備學(xué)習(xí)本節(jié)知識的基礎(chǔ).但是，從生活情境中抽象概括出直線與平面垂直的定義對學(xué)生而言有一定困難.另外，為什么判定直線與平面垂直要且只要“垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線”，理解立體幾何中的“平面化”的思想和“降維”的思想，學(xué)生也會感到有困難.

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

(1)借助生活中直線與平面垂直的實(shí)例，通過直觀感知和抽象概括，形成直線與平面垂直的定義，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；

(2)借助折疊三角形紙片，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，歸納出直線與平面垂直的判定定理，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)；

(3)能夠?qū)χ本€與平面垂直的定義和判定定理進(jìn)行簡單應(yīng)用，提升邏輯推理素養(yǎng).

四、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：理解直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理.

五、教學(xué)情境設(shè)計與思考

1.直線與平面垂直的定義的建構(gòu)

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境、感知概念

問題1：直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？我們已經(jīng)研究了直線與平面哪些內(nèi)容？運(yùn)用了什么思想方法？

問題2：觀察下面的圖片，請思考：旗桿與地面、大橋的橋柱與水面、豎直的墻角線與地面是什么位置關(guān)系？給我們留下了什么印象？

評析：讓學(xué)生意識到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出課題.另外，這樣設(shè)計能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)過程中來.

師：什么是直線與平面垂直呢？ 這是本節(jié)課的研究內(nèi)容.請同學(xué)們觀看旗桿和它在地面上的影子的動畫，(教師播放動畫)，思考旗桿和它的影子的有什么位置關(guān)系.

圖1

問題3：直線l與平面α內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線B′C′垂直嗎(圖1)？

評析：在具體生活情境中，讓學(xué)生去感知直線與平面垂直，為抽象概括出直線與平面垂直的概念做準(zhǔn)備.同時，在感知線面垂直的過程中，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)二：抽象概括、形成概念

師：請同學(xué)們歸納直線與平面垂直的概念，并用符號語言表述.

圖2

直線和平面垂直的定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.(圖2)

評析：讓學(xué)生通過操作、思考(用三角板和筆在桌面上比試)，加深對概念的理性認(rèn)識.

環(huán)節(jié)三：嘗試練習(xí)——深化概念

練習(xí)：判斷下列說法是否正確：

(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線就與這個平面內(nèi)任意一條直線都垂直；

(2)若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線就與這個平面垂直；

(3)過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

答案：(1)對；(2)錯；(3)對.

證明：(3)如圖3，假設(shè)過點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與面α垂直，設(shè)面PAB∩面α=l，則PA⊥l，PB⊥l，因為直線PA、PB、l共面，所以過點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與直線l垂直，顯然不可能.因此，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

圖3

教師引導(dǎo)學(xué)生得到：

結(jié)論：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離.

評析：通過嘗試練習(xí)，讓學(xué)生更深刻的理解直線和平面垂直的概念，為后面探究并運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理奠定基礎(chǔ).

2.直線與平面垂直的判定定理的探究

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境——提出問題

問題4：請觀察教室里豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直嗎，為什么？

師：我們可以幾何直觀的角度感知得出，豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直.我們根據(jù)直線與平面垂直的定義，只需要判斷豎直的墻角線與地面內(nèi)任何一條直線都垂直.那么如何判斷呢？

評析：從研究墻角線和地面垂直的入手，感知判定直線與平面垂直的方法，為研究直線與平面垂直的判定定理做準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)二：動手試驗——猜想定理

演示試驗過程：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).

圖4

問題5：圖4中折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面α垂直呢？﹙學(xué)生分組試驗﹚

引導(dǎo)學(xué)生得到：如圖5，折痕AD與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.由于翻折前后垂直關(guān)系保持不變，折痕AD與平面α內(nèi)的直線BD、CD均垂直.

圖5

評析：讓學(xué)生通過折紙實(shí)驗和相互交流，從正反兩個方面理解直線與平面垂直的問題，可以從正反兩方面理解直線與平面垂直的判定條件，為猜想出直線與平面垂直的判定定理做好準(zhǔn)備.

問題6：通過試驗，你能得到什么結(jié)論？

問題7：請學(xué)生觀察，直線AD還經(jīng)過BD、CD的交點(diǎn).在增加了這個條件后，應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地表述試驗的結(jié)論？

問題8：如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直，但不經(jīng)過它們的交點(diǎn)，那么直線l還與平面α垂直嗎？

評析：通過讓學(xué)生自主操作，思考系列問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在動手實(shí)驗過程中，增強(qiáng)學(xué)生對立體幾何的直觀感知，提升空間想象能力，同時，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的相互合作意識和交流表達(dá)能力.

環(huán)節(jié)三：抽象概括、確認(rèn)定理

師：請同學(xué)給出線面垂直的判定定理，并用符號語言把這個定理表述.

直線和平面垂直的判定定理：

文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

圖6

符號語言：l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n=A?l⊥α(圖6).

師：判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過線線垂直來證明線面垂直，它體現(xiàn)了立體幾何中降維的重要的數(shù)學(xué)思想.

評析：通過理性分析，概括出折紙實(shí)驗的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生抽象概括的能力，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

辨析：判斷下列說法是否正確：

圖7

(1)若一條直線垂直于一個梯形的兩條邊垂直，則這條直線就與梯形所在的平面垂直(圖7)；

(2)若一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線，則這條直線就與這個平面垂直.

評析：通過概念辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”這一條件，深化學(xué)生對直線和平面垂直的判定定理的內(nèi)涵的理解.

3.直線與平面垂直的初步應(yīng)用

例1 已知a∥b，a⊥α.求證：b⊥α.

評析：通過例1讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用定義和判定定理解決相關(guān)問題.讓學(xué)生體會解決此類問題的方法和步驟，領(lǐng)悟“降維”的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖8

例2 如圖8，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？

問題9：證明線面垂直有哪些方法？運(yùn)用了什么樣的數(shù)學(xué)思想方法？

評析：通過例2培養(yǎng)學(xué)生熟練地將線線垂直和線面垂直進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從而使他們能夠靈活應(yīng)用定義和判定定理進(jìn)行邏輯推理論證.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

課堂練習(xí)：課本第152頁練習(xí)第2、4題.

評析：課堂內(nèi)完成教科書中練習(xí)題，能有效地檢驗學(xué)生對直線與平面垂直的了解、理解和掌握情況.

4.總結(jié)提升、建構(gòu)體系

問題10：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些判斷線面垂直的方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？我們是如何研究這些知識和方法的？

評析：師生一起回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)與探究歷程，體會立體幾何學(xué)習(xí)的“直觀感知、抽象概括”、“直觀感知、操作確認(rèn)”的認(rèn)識過程，感受線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及邏輯推理的思維過程.

5.布置作業(yè)、課后探究

課本第162頁習(xí)題第4題，第163頁習(xí)題第5、14題，第164頁習(xí)題第15題.

評析：課后完成適量的練習(xí)題，能有效地鞏固學(xué)生課堂內(nèi)學(xué)習(xí)的知識、方法、數(shù)學(xué)思想等，有利于幫助學(xué)生熟練掌握所學(xué)的基本知識、思想方法等.

六、教學(xué)反思

本課力圖嘗試在直線與平面垂直的問題的過程中，讓學(xué)生在直觀感知、抽象概括、形成概念的過程中自然生成并建構(gòu)直線與平面垂直的概念，在直觀感知、操作確認(rèn)、合作探究的過程中主動生成并建構(gòu)直線與平面垂直的判定定理，整個教學(xué)過程中，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，用數(shù)學(xué)的方式理性思考、分析問題，用數(shù)學(xué)的方法準(zhǔn)確地表達(dá)、解決問題.通過教學(xué)實(shí)踐，體會到可以通過教師設(shè)計顯性的數(shù)學(xué)探究活動，在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生發(fā)展的過程中，提升學(xué)生的隱性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

可取之處：整個過程中，教師積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并啟發(fā)誘導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提升學(xué)生思考的積極性，讓學(xué)生在迫切要求之下學(xué)習(xí).對達(dá)成教學(xué)目標(biāo)和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展起到了重要的作用.

改進(jìn)之處：本課在形成概念和建構(gòu)判定定理方面設(shè)計了系列數(shù)學(xué)活動，起到了很好的教學(xué)效果，但如何真正引導(dǎo)學(xué)生自覺感知、自主生成，如何提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，還有待于進(jìn)一步探索.