2021年幾道中考數(shù)學創(chuàng)新試題賞析

江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 (215151) 趙振寧

中考創(chuàng)新試題形式新穎、解法別致，能很好地考查考生的觀察、分析、比較、概括和創(chuàng)新能力，是近年中考熱點題型.本文擷取2021年的幾道創(chuàng)新試題，并就其解法及題型規(guī)律予以探析.

一、新定義試題

新定義試題，主要是指通過定義一些新概念、新運算、新符號、新性質(zhì)、新法則等，要求考生讀懂題意，用已有的知識、能力進行理解，并根據(jù)新的定義進行運算、推理、遷移、分析、探索，創(chuàng)造性地解決問題.這類問題構(gòu)思巧妙、題意新穎，具有啟發(fā)性、深刻性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點，能很好地考查考生的閱讀理解能力、數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力和探究能力，是考查考生數(shù)學素養(yǎng)、挖掘考生潛能的良好素材.

例1 (2021年無錫市中考題)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當a≤x≤b時，總有-1≤y1-y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”.則下列結(jié)論：①函數(shù)y=x-5，y=3x+2在1≤x≤2是“逼近函數(shù)”； ②函數(shù)y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4是“逼近函數(shù)”；③0≤x≤1是函數(shù)y=x2-1,y=2x2-x，的“逼近區(qū)間”；④2≤x≤3是函數(shù)y=x-5,y=x2-4x的“逼近區(qū)間”.其中，正確的有( ).

A.②③ B.①④ C.①③ D.②④

解析：對于①，y1-y2=-2x-7，在1≤x≤2上，當x=1時，y1-y2最大值為-9，當x=2時，y1-y2最小值為-11，即-11≤y1-y2≤-9，所以函數(shù)y=x-5，y=3x+2在1≤x≤2是“逼近函數(shù)”不正確；

對于②，y1-y2=-x2+5x-5，在3≤x≤4上，當x=3時，y1-y2最大值為1，當x=4時，y1-y2最小值為-1，即-1≤y1-y2≤1，所以函數(shù)y=x-5，y=x2-4x在3≤x≤4是“逼近函數(shù)”正確；

所以②③正確.故選A.

點評：本題給出“逼近函數(shù)”和“逼近區(qū)間”的新概念，在閱讀理解新概念的基礎(chǔ)上，對四個命題逐一作出驗證判斷的，考查了考生的閱讀理解能力和推理論證能力.

二、開放性試題

條件明確但結(jié)論不確定，或給出了明確結(jié)論但條件不足或未知，或條件和結(jié)論均不明確的一類問題，要求考生能綜合運用所學知識進行探究，分析問題并最終解決問題，主要考查數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).

例2 (2021年無錫市中考題)請寫出一個函數(shù)表達式，使其圖象在第二、四象限且關(guān)于原點對稱：.

點評：本題也屬于結(jié)論開放(不唯一)型試題，通過反比例函數(shù)的性質(zhì)得到，然后取從而得到滿足條件的函數(shù)解析式.

例3 (2021年湖南省中考題)我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”.根據(jù)約定，完成下列各題.

(2)關(guān)于x的函數(shù)y=kx+p(k,p是常數(shù))是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”；如果不是，請說明理由；

(3)若關(guān)于x的“T函數(shù)”y=ax2+bx+c(a>0，且a,b,c是常數(shù))經(jīng)過坐標原點O，且與直線l:y=mx+n(m≠0,n>0，且m,n是常數(shù))交于M(x1,y1)，N(x2,y2)兩點，當x1,x2滿足(1-x1)-1+x2=1時，直線l是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由.

解析：(1)易得r=4,s=-1,t=4.

(2)由題意，分以下兩種情況：

②當k=0時，函數(shù)y=kx+p=p的圖象是一條平行于x軸的直線，是“T函數(shù)”，它有無數(shù)對“T點”.

綜上，當k≠0時，關(guān)于x的函數(shù)y=kx+p(k,p是常數(shù))不是“T函數(shù)”； 當k=0時，關(guān)于x的函數(shù)y=kx+p(k,p是常數(shù))是“T函數(shù)”，它有無數(shù)對“T點”.

點評：本題是“是否存在”開放探索性問題，第(2)問在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解推得矛盾.第(3)問首先利用“T函數(shù)”y=ax2+bx+c經(jīng)過坐標原點O及“T函數(shù)”概念利用待定系數(shù)法化簡函數(shù)式為y=ax2，然后由“T函數(shù)”y=ax2與直線y=mx+n交于兩個不同點，將函數(shù)式聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程兩有個不相等的實數(shù)根，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并將關(guān)系代入已知條件(1-x1)-1+x2=1后，得到n=-m，從而探索得到直線所經(jīng)過的定點.本題設(shè)置開放探索性問題背景，以新定義信息為引導，以函數(shù)關(guān)系為依托，充分考查考生的閱讀理解、等價轉(zhuǎn)化和分析探索能力及數(shù)學抽象、邏輯推理及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，堪稱為一道經(jīng)典的問題“探索”試題.

三、材料閱讀試題

“材料閱讀題”通過給出一段文字，或給出一些數(shù)據(jù)、圖形、表格等多種形式的背景材料，要求考生在閱讀理解、讀懂材料的基礎(chǔ)上，剖開現(xiàn)象看本質(zhì)，將材料背景化歸為數(shù)學知識，實現(xiàn)材料背景向所學的知識和方法遷移，達到創(chuàng)新解題的目的.

例4 (2021年四川涼山市中考題)閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.Nplre，1550-1617年)是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(Euler，1707-1783)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a為底的n的對數(shù)，記作X=logaN，比如指數(shù)式24=16可以化為對數(shù)式4=log216，對數(shù)式2=log39可以化為指數(shù)式32=9.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：loga(M·N)=logam+logaN(a>0且a≠1，M>0,N>0),理由如下：

設(shè)logaM=m,logaN=n，則M=am，N=an,所以M·N=am·an=am+n，由對數(shù)的定義得m+n=loga(M·N).又m+n=logaM+logaN，所以loga(M·N)=logaM+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，解答下列問題：

(1)填空：log232=，log327=，log71=；

(3)拓展運用：計算log5125+log56-log530.

解析：(1)易得log232=log225=5，log327=log333=3，log71=log770=0.

(3)log5125+log56-log530=log5(125×6÷30)=log525=log552=2.

點評：本題給出一段閱讀材料，在閱讀理解的基礎(chǔ)上依據(jù)材料給出的定義和性質(zhì)解決問題，考查了有理數(shù)的混合運算，對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系以及相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，考查數(shù)學抽象、邏輯推理及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是理解新定義，明確指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系以及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.

四、結(jié)構(gòu)不良試題

結(jié)構(gòu)不良試題是中考數(shù)學卷的一種新題型，具體的表現(xiàn)形式是：給出幾個待選條件，需要考生在較短的時間內(nèi)，分析和捕捉信息，從所給出的不同條件中由考生自行篩選出自己認為擅長、適合的那一個條件，將其納入、補充到題設(shè)條件中，并結(jié)合題設(shè)中的其它已知條件，然后按結(jié)構(gòu)良好型試題作答的方法步驟進行推理、運算，以求取得滿意的解答.

圖1

例5 (2021年杭州市中考題)在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在AB邊上(不與點A、點B重合)，點E在AC邊上，(不與點A、點C重合)，連接EB、CD，BE與CD相交于點F，若，求證：BE=CD.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

解析：若選擇條件①，因為∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又因為AD=AE，∠A=∠A，所以△ABE≌△ACD，所以BE=CD.

若選擇條件②，因為∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又因為∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，所以△ABE≌△ACD，所以BE=CD.

若選擇條件③，因為FB=FC，所以∠FBC=∠FCB.又因為∠ABC=∠ACB，BC=CB，所以△CBE≌△BCD，所以BE=CD.

點評：本題主要考查全等三角形的判定方法，考查直觀想象和邏輯推理數(shù)學核心素養(yǎng).由于結(jié)構(gòu)不良試題的引入，增強了試題的開放性，引導考生的思維從知識的習得與記憶更多地轉(zhuǎn)向問題的解決、策略的選擇，使得數(shù)學應(yīng)用在思維層面真正發(fā)生，能深入地考查考生的觀察、分析、比較、判斷和對問題的把控能力，有效地考查考生思維的靈活性和建構(gòu)數(shù)學問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力.對數(shù)學理解能力，數(shù)學探究能力的考查能夠起到積極、深刻的作用.