一道“推理”與“運算”并重的好題*

浙江大學附屬中學丁蘭校區 (310021) 陳作國 施剛良

1.試題呈現

圖1

如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD⊥BC，M,N分別為AB,AC的中點.

-6，求|BC|；

分析：這是一道“推理”和“運算”并重的高質量解答題，考察的內容非常多，簡約而不簡單，對數量積的四種形式(數量積的定義、數量積幾何意義、極化恒等式、數量積坐標化)都有考察，學生在解決問題過程中，對數量積概念的理解稍有不慎就會出錯，能有效地檢測學生的數學思維能力.由于學生的數學運算能力較薄弱，數學推理素養不容樂觀，涉及到要想想或轉幾個彎的問題往往選擇“跳過去”，這是導致此題得分率偏低的原因.

2.解法探究

下面介紹幾種解法：

圖2

評注：建坐標系是學生處理向量問題的“殺手锏”，但是學生的數學運算素養又往往難達要求，本題主要的“攔路虎”是怎么利用bc+h2=-24，b2+h2=64，c2+h2=36這三個式子.其實，單個的解b,c,h還是有困難，通過整體消元的思想解決相對運算量下降.而且要達到這個目的，還要將BC=c-b平方(這對學生的數學運算、邏輯推理能力提出了很高的要求).從而通過整體消元，求得結果.

筆者在試卷講評時，有學生還提出可以用極化恒等式加以解決，這種解法筆者事先沒想到過.于是，就讓他說說具體的解決過程：

圖3

圖4

受上述利用向量等式求DP的長度的啟發，課后筆者想到更加簡潔的方法：

此題原來為填空題，筆者將之改為解答題，屬于“小題大作”.主要想考察學生的數學運算能力和邏輯推理能力.所以，在平常的教學實踐中，要將提高學生的推理和運算能力擺在中心地位，讓學生多轉幾個彎或自己努力將結果算出來，這是我們在課堂實踐中要舍得花時間做的.

3.教學反思

數學運算是邏輯推理的基礎，同時邏輯推理的完成往往要借助數學運算.數學運算與邏輯推理是數學核心素養之一，我們在平常的復習實踐中要合理地處理好兩者之間的關系,這樣才可以提高復習的有效性.

章建躍先生也認為，“推理是數學的‘命根子’，運算是數學的‘童子功’，推理與運算是數學的‘兩個車輪子’”.所以，我們在數學教學中，要通過習題將推理與運算落實到位，要舍得花時間，這樣做才可能讓兩個車輪子“齊頭并進”，我們的教學才是有效的.同時也能提高學生的理性思維，這是數學育人的目的.