“見微知著”式深度思考,育高階思維*
——以對“數量積幾何意義”的探究為例

南京師范大學附屬中學 (210003) 孫風建 孫居國

培養學生的數學核心素養，僅關注事實性結論或解題技巧是遠遠不夠的，如果學生能學會對問題的深度思考，便可經歷從猜測到驗證、從局部到整體、從現象到本質的思維過程，使碎片化的知識更加系統化.如何見微知著，形成邏輯嚴密的整體性思維，進而實現深度思考值得研究.本文以“數量積幾何意義”的探究經歷示例說明.

1 “見”形，“知”數，“思”意義

圖1

引進向量坐標，用代數的方法即解析法解決幾何問題，這是解決向量問題的重要方法，但求解之后不禁要問：

2 “見”交點，“知”最值，“思”射影

提出問題相當于啟動了探索的新路徑，如果提出的問題有深度，就需要分步探究如何解決.因為對結果的未知，嘗試的方案需要持續的試探、調整、論證甚至推翻重建, 但這是這樣一個迭代優化的過程才讓火熱的思考發生，探究才會真正深入，思維才有可能達到新的高度.

對于問題1，易想到點P會不會是AB連線和直線OM的交點，但驗證不成立.于是想到會不會與點A和點B在直線OM上的射影點有關？

圖2

易得當點A、B在直線OM同側時，結論依然成立(如圖3)從而推廣本題可以得到以下：

圖3

由此可得如下的結論：

3 “見”向量點乘，“知”幾何意義，“思”圓的性質

探究2 如圖4，在上述問題中以AB為直徑作圓G，若圓G與直線OM相交，交點分別記為E、F點，則EF的中點即為CD的中點.

圖4 圖5 圖6

有了上面這的結論，其幾何意義的已經十分明朗了.

如圖6，以AB為直徑作圓G，交直線OM與E、F兩點，連BP延長BP交圓G與點K，連AK，則AK⊥KB.

4 “見”結構良好，“知”結構不良，“思”一般結論

當結構良好的問題逐步解決后，是否可能變換已知條件，從而使已生成的結論部分成立，甚至不再成立，探究新條件下的解答會讓問題更具挑戰，簡單的方法模仿或單一維度的思考已經很難解決新問題，這也進一步促進了思考的深入.

拓展思考如果以AB為直徑的圓與直線OM沒有交點怎么辦？即如果點A、B在直線OM的同側，那么其幾何意義是什么？

圖7 圖8

這些結論，體現了數學的統一性.到此，通過歸納猜想、驗證，圓滿地解決了平面上兩定點A、B與一條直線上動點P構成的向量的數量積的最小值以及其幾何意義，當讓點如果點A、B是定圓的動直徑的兩個端點，結論依然成立.

5 “見”直線，“知”曲線，“思”解析幾何

以上探究仍讓人有點意猶未盡的感覺，不僅心存疑惑.

如果點M不在定直線上運動，而在曲線上運動，如圓、或圓錐曲線上(或函數圖象)，又會有怎樣的結論？

圖9 圖10 圖11

其他位置關系，請讀者自行研究.

探究4 當點P在橢圓和雙曲線以及拋物線上運動時，如圖12—14，結論如下：

圖12 圖13 圖14

其它情形，大家可以自行研究.

6 “見”靜止，“知”運動，“思”軌跡

圖15 圖16 圖17

7 結語

整個探究，沿著“提出問題到取得最值的位置探究，再到幾何意義追尋，變換動點的軌跡后再探幾何意義，最后回到直線，讓直線動起來后探尋最值點的軌跡”這一思考路徑進行.思維外顯便于師生更高層面的思維互動，深化對數量積以及幾何意義、圓冪定理、軌跡方程等概念的理解，螺旋推進，最終實現對問題本質(定點AB中點G到動點P所在直線或曲線的最近的點)的探尋.

“見”形“知”數“思”軌跡，“見”結構良好而“知”結構不良，“思”一般結論的過程，依靠邏輯推理能力的支撐，學生逐步看清問題本質、突破難點，實現深度探究，完成從特殊向一般的數學抽象,實現深度學習.學生能關注知識廣度和深度的同時，充分理解知識間的關聯度， 清晰地感受知識間的邏輯關聯，將碎片化的知識體系化, 提升數學“整體觀”.創造條件讓學生經歷提出問題、分析問題、解決問題的過程，真切感受“冰冷”的數學結論里所掩藏的“火熱”思考，幫助學生實現 “四基”、“四能”向數學核心素養的發展.