一道三角不等式的探討

安徽省岳西縣湯池中學(xué) (246620) 余娟娟 楊續(xù)亮

本文對不等式①進行研究，得到以下結(jié)論：

定理1 設(shè)△ABC的三邊為a,b,c，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，求證：

為了證明不等式②和③，先給出四個引理.

引理1[1]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2)，∑a3=2s(s2-6Rr-3r2)，∑a4=2(s2-4Rr-r2)2-8s2r2.

利用引理1和abc=4Rrs，可得(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=(2s+a)(2s+b)(2s+c)=8s3+4s2(a+b+c)+2s(ab+bc+ca)+abc=16s3+2s(s2+4Rr+r2)+4Rrs=18s3+12Rrs+2r2s;

∑a(2s+b)(2s+c)=∑a[4s2+2s(b+c)+bc]=∑a[4s2+2s(b+c)+bc]=∑a[4s2+2s(2s-a)+bc]=∑(8s2a-2sa2+abc)=8s2(a+b+c)-2s(a2+b2+c2)+3abc=12s3+28Rrs+4r2s;

由引理2和⑤式等號成立的條件可知，不等式③等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.