例析整體思想法求解不等式問題的策略*

江蘇省新沂市第一中學 (221400) 苗慶碩

整體思想是建立在整體與局部這種對立統一辯證關系上的一種數學思想方法，它要求以廣闊的視野來看待所研究的數學對象，在統攬全局的思想指導下，整體地考察和處理問題，再抓住個性特征謀求解題突破，以達到簡化和優化解題的目的.經常有目的地引導學生進行這樣的訓練，能進一步培養學生思維的廣泛性、敏捷性和深刻性，在教學和學習中應該受到重視.如在解答某些不等式的問題中，若將題設或結論視為整體，通過對整體結構的調節或轉化，可以收到簡化運算、降低思維難度、縮短推證過程之功效.本文通過分析不等式問題的典型題例的解法，從如何運用整體思想處理數學問題的角度，談一些常用做法和使用經驗，供同仁參考.

一、整體表示

視問題的多個結論為整體，根據結構特征，合理變形，直接求出欲求的答案.

例1 設函數f(x)=ax2+bx且滿足不等式1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

評注：通過將待求的f(-2)整體的用f(-1)和f(1)表示出來，再運用不等式相加解決問題.本題如果先分別求出a和b的范圍，再代入f(-2)=4a-2b求范圍，就可能造成范圍擴大的錯誤.

二、整體換元

在一些輪換式的不等式中，通過對相關式子整體換元后，可找到解題突破口.

解析：從待證的不等式可以看到，左邊的三個式子是輪換式，可采用整體換元處理.

評注：在證明問題時，抓住了分母是輪換式的特點，可將分母視為一個整體進行換元處理，通過整體變形，顯露了問題的內含，為用基本不等式解決問題指明了方向.

三、整體變形

把某一相關的知識塊看作一個整體，進行整體變形，尋找各知識塊之間內在聯系.

評注：解決關于Sn的問題一般方法是用前n項和公式，并對q=1與q≠1來討論解決，而本解法中將Sn，Sn+1，Sn+2視為整體，進行變形，避免了分類討論，使問題獲得了簡解.

四、整體配湊

在證明分式不等式時，抓住分母的特點進行巧妙配湊也是解題技巧之一.

評注：用整體的觀念分析1-x+y、1-y+z、1-z+x之間的關系，就能找到他們其中隱含的東西，從而發現了利用基本不等式解題的契機.

五、整體對偶

通過整體地設一個與已知式對偶的式子參與運算和化簡也可給我們帶來驚喜.

評注：題目中左邊出現的是一個整體的分式連乘式，要證明到右邊必須進行約分，只有再出現一個與之相乘可以消去左邊大部分分式的連乘式才能達到目的，于是對偶的式子就好找了.

六、整體求解

將所求的不等式看作一個整體求解，就可以避免分開求解或分類討論的情況.

七、整體構造

在證明不等式時，也可以通過整體地構造函數或方程等方法以幫助解題.

評注：構造法證明不等式也是一個重要方法，而抓住題設進行整體地構造體現了對題意的完全把握和深刻領會，需要有豐富的有經驗和較強的能力做支撐.

八、整體構形

通過挖掘所給條件中的幾何事實，構造相關的幾何圖形，利用幾何性質幫助解題.

例8 已知m為實數，x>0,y>0，x+y<π,求證：m(m-1)sin(x+y)+m(sinx-siny)+siny>0.

解析：由條件知，存在一個z>0，使得x+y+z=π，于是可構造△ABC，使其外接圓直徑為1，三內角為x,y,z，且x,y,z的對邊分別為a,b,c，由正弦定理知，待證的不等式即為m(m-1)c+m(a-b)+b>0，即cm2+(a-b-c)m+b>0；因c>0且△=(a-b-c)2-4bc=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)=a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-a-b)<0，故cm2+(a-b-c)m+b>0恒成立，即原不等式成立.

評注：在分析所給條件中，敏銳地洞察到含有x+y+z=π的隱含條件，為整體構造三角形將不等式轉化為三角形三邊之間的關系問題求解創造了機會.

九、整體思考

在統攬全局的思想指導下，整體的思考問題，再抓住個性特征去解題.

例9 設a,b，A,B均為已知實數，且對任何實數x，不等式Acos2x+Bsin2x+acosx+bsinx≤1成立，求證：a2+b2≤2，A2+B2≤1.

評注：由于題中的主要條件就是一個恒不等式，充分運用這個恒不等式是解題關鍵，通過整體地設函數，整體地化簡合并，然后再整體地運用特殊值變形，使問題獲得圓滿的解答.