借助函數模型 破解問題難點

安徽省合肥市第四中學 (233000) 管良梁

數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，構建數學模型處理數學問題的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程.借助合適的數學模型，有助于破除解題時遇到的難點，使得數學問題得以解決.接下來筆者結合3個案列談談借助合適數學模型的重要性.

1 模型f(x)=x2

題1 已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=( ).

評注：因為解答過程中“因為函數f(x)有唯一零點，所以函數h(t)的圖象與直線y=a有唯一交點，所以此交點的橫坐標為0”理解起來不是特別容易，所以可以借助偶函數f(x)=x2.易知t=1時，函數g(x)=t和函數f(x)=x2只有1個交點，此時x=0.借助模型f(x)=x2對“易得h(t)為偶函數因為函數f(x)有唯一零點，所以函數h(t)的圖象與直線y=a有唯一交點，所以此交點的橫坐標為0”加以理解，使得本題解答過程中的難點得以破解.

2 模型f(x)=|lnx|

圖1

解析：函數函數f(x)=|loga|x-1||(a>0且a≠1)的圖象如圖1所示.不妨設f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x3)=m(m>0)，由于f(x1)

評注：解答過程中的“由|loga|x1-1||=|loga|x2-1||，得loga(1-x1)=-loga(1-x2)”不容易理解，很容易出錯.借助函數f(x)=|lnx|，對其加以理解.當x1

3 模型

(1)若函數g(x)恰有三個不相同的零點，求實數a的值；(2)記h(a)為函數g(x)的所有零點之和.當-1

圖2

數學問題比較綜合、比較抽象，邏輯性也比較強,需要選擇合適的方法處理所遇問題.當問題初次見面，不太熟悉，甚至很陌生時，怎么辦？首先需要將所遇問題進行歸類，然后選取此類問題的基礎模型.通過對基礎模型的認知，對所遇問題加以研究.這樣就可以借助模型破解所遇問題的難點，使得問題得以解決.