例談切線放縮法在函數不等式證明中的應用

湖北省大冶市第一中學 (435100) 黃俊峰

高考導數壓軸題經常以不等式的證明或恒成立問題為背景，考查學生的現有思維能力與后繼學習能力.而對于不等式的證明或恒成立問題中，有一類需要借助放縮技巧，才能比較完美地解決問題.文章從一道調考題出發(fā)，以高考模擬題為例，淺析利用切線對超越函數進行放縮，使復雜的函數轉化成較為簡單的初等函數，希望對學生的學習有所幫助.

題目(2020年武昌四月調考理科21題)已知函數f(x)=(e-x)lnx(e為自然對數的底數).

解析：(1)易得函數f(x)的零點為1,e，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-1)(x-1)，在x=e處的切線方程為y=-x+e.過程略.

曲線的切線為一次函數，高中階段大部分函數的圖象均在切線的同側，即除切點外，函數圖象恒在切線的上方或下方，利用這一特征可以將超越函數放縮成一次函數.本題第(2)小題待證不等式的證明途徑只有從第(1)小題的探究切線的過程中挖掘，這是切線放縮法的典型運用.下面談談切線放縮在高考題以及模擬題中的應用.

例1 (2018年全國Ⅰ文科21題))已知函數f(x)=aex-lnx-1.

例2 (2013年高考新課標全國卷Ⅱ理科21題節(jié)選)已知函數f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時，證明f(x)≥0.

解析：當m≤2時，可通過單調性進行放縮ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，設g(x)=ex-ln(x+2)，要證明f(x)≥0，只需證明g(x)≥0.易知這兩條曲線沒有公共點，下面尋找到一條公切線y=x+1作為中間量構建兩個新函數.構建函數m(x)=ex-(x+1)(x>-1),與r(x)=(x+1)-ln(x+2)，要證明g(x)≥0，只需證明m(x)≥0,r(x)≥0恒成立.

評注：以上兩題均通過構建中間量將指數、對數函數的組合問題轉化成指數與一次函數，對數與一次函數的組合問題，從而使解題過程得到簡化.

例3 (2021屆湖北省部分重點中學聯考文科21題)已知函數f(x)=xlnx+ax+1,a∈R.

解析：(1)易得a的取值范圍是[-1,+∞).過程略.

②要證lnx1,x-1>0，所以x-1

評注：若第(1)小題是探求參數的范圍問題，第(2)小題的解決往往運用第(1)小題所求范圍的界點對于的不等關系進行放縮，此類問題實質就是應用函數的切線進行放縮.

不等式恒成立問題中，許多試題的幾何背景是曲線與切線靜態(tài)或動態(tài)的上下位置關系，以上例題中利用曲線的切線與曲線的位置關系實現了高中階段的常用函數到一次函數的放縮，進而獲得思路自然、過程簡潔的解法.文中借助切線放縮法的解題過程是建立在學生思考、分析、總結的基礎上，引導學生去尋找中間量，通過轉化化歸構造出合適的新函數來解決問題的過程.學生能夠靈活應用這些放縮法，不僅僅在解題方面起到事倍功半的效果，同時也在培養(yǎng)其邏輯思維和分析能力，乃至于創(chuàng)造能力.在教學中教師應引導學生學會思考、分析、歸納、總結，通過培養(yǎng)學生的邏輯推理、數學抽象、數學建模等能力，提升學生的核心素養(yǎng).