向量法在平面幾何問題中的應用

浙江省杭州第十四中學 (310006) 周 艷浙江省杭州第二中學錢江學校 (311215) 顧予恒

向量具有明確的幾何背景，即有向線段，例如對平面幾何圖形中的邊賦予方向，這些邊就成了向量．幾何對象與向量運算之間也有著對應的關系，例如線段長度對應于向量模長，垂直、平行關系對應于向量數量積與共線．本文探究利用向量來解決一些簡單的平面幾何問題．

用向量法解決平面幾何問題主要依托于以下四樣工具：

(2)向量數乘的意義和運算律，對應平行與共線的性質；

(3)向量數量積的意義和運算律，對應夾角，特別是數量積為零對應垂直；

向量法處理初中平面幾何問題基本只需要這四條，體現了向量法簡潔的特點．

反之亦然，故互為充要條件．

點評：向量證明四步曲一氣呵成，對稱統一，給人以美的享受．本結論還可以推廣到空間四邊形中，向量法顯現了問題的內在本質.

圖1

例2(垂直問題)如圖1，在正△ABC中，D,E分別是AB,BC上的一個三等分點，且AE,CD交于點P，求證：BP⊥CD．

點評：本解法是典型的向量法四步曲，選擇基底并用它將幾何圖形中的對象表示出來，通過向量運算求解，并對向量結果進行幾何翻譯．

例3(平行問題)求證：梯形ABCD的兩對角線的中點的連線平行于底邊且等于兩底差的一半．

圖2

圖3

圖4

點評：平面圖形與向量表示之間有著幾何的內在聯系，因此四步曲的第一步分析是必不可少的，借助平面幾何知識與正余弦定理等工具分析清楚圖形，有助于解決問題．

圖5

例6(長度問題)如圖5，AB為⊙O的直徑，C為圓上(除A,B外)一點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，若AC=6，BC=2，求CD的長．

點評：本解法是典型的向量法四步曲，選擇基底并用它將幾何圖形中的對象表示出來，通過向量運算求解，并對向量結果進行幾何翻譯，求線段長度往往與向量模長的平方有關．

圖6

例7 如圖6，扇形OAB的半徑OA=3，∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A,B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連結DE，點G,H在線段DE上，且DG=GH=HE，求證：CD2+3CH2是定值．

圖7

例8(角度問題)如圖7，直角△OAB中，∠AOB=90°,OA=3,OB=2，點M在OB上，且OM=1，點N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點，求∠MPN．

圖8

點評：平面幾何問題中求角度的問題，可以利用向量夾角公式來求解．建系坐標法也是向量法的一種形式．

圖9

分析：要證的對象是長度之比，故考慮用向量共線來解決．

點評：不添輔助線，只是進行向量的表示轉化，向量法處理平面幾何問題可以變得如此簡單．

圖10

點評：利用平面向量基本定理里向量基底表示的唯一性，可以將一個向量分別表示為在兩個共線向量上的分量的兩種表示，從而求出分比．

例11(向量投影)圓O過△ABC的頂點A，且分別與AB,AC及BC邊上得中線AD交于B1,C1,D1，求證：AB1·AB,AD1·AD,AC1·AC成等差數列．

圖11

點評：本解法巧妙地利用了向量數量積中的投影視角，將兩段共線的線段之積轉化為數量積運算．

向量在整個高中代數與幾何版塊中起著統領作用，在其他知識模塊中都有很多的應用，具有工具性的特征．經過本文的梳理，相信大家對用向量法解決平面幾何問題有了更深的認識．平面幾何問題，要學會遵循“先幾何直觀，再向量表示和運算”的順序，對平面幾何圖形進行必要的幾何分析，深刻領會向量法的關鍵在于選好“基底”，核心在于基于基本定理的表示，實質就是利用向量運算實現以數解形．