垂心的判定及其性質

江西省豐城中學 (331100) 裴珊珊江西師范大學數學與統計學院 (330022) 陳德富

三角形的五心是中學平面幾何中重要的內容，垂心是其中最有趣的存在，充滿著巧合和探究樂趣.本文首先借助基本的幾何知識，對垂心的存在性展開多角度探究，路徑豐富，結論恰都回歸于幾何直觀中的巧合.其次，本文中所涉及的基礎幾何知識看似分散，卻都可以融洽地聚攏在垂心這一常見幾何知識點周圍，是一次廣泛利用基礎知識活學活用的有趣探究.最后利用本文的思路，我們對三角形本身關聯的廣泛特征點展開了探索.

一般地，平面中兩條不平行直線必然相交于一點，三條直線相交于一點則是偶然事件，當這類偶然事件緊密關聯于一個給定的一般三角形時，我們稱為三角形的特征點[1]，三角形的五心(一般指內心、旁心，重心，垂心，外心)，垂心的存在性可以概述為以下垂心定理.

圖1

垂心定理三角形的三條高所在直線交于一點，該點叫做三角形的垂心.

圖2

特別地，當∠A為直角時，結論也成立，且垂心H與頂點A重合.

等差冪線定理，往往可以簡明有效地應對各種垂直關系的論證.基于此得到如下證法.

圖3

證法二:如圖3，設BE與CF交于點H,連接AH交BC于D.由HC⊥AB,HB⊥AC及等差冪線定理得,HA2-HB2=CA2-CB2,HA2-HC2=BA2-CB2.所以HB2-HC2=AB2-AC2,從而AH⊥BC.

基于其他常見三角形更基礎的特征點(外心)，可以自然導出了垂心的存在性.

圖4

證法三:如圖4.過A,B,C分別作BC,CA,AB的平行線交于U,V,W,AW∥BC,BW∥AC?BCWA,同理BCAV.又AD⊥BC?AD⊥WV.所以AD垂直平分WV.同理,BE,CF分別垂直平分UW,UV.所以AD,BE,CF共點于△UVW的外心,得證.

在垂心的諸多性質中，會關聯出諸多個四點共圓情形，是否能基于四點共圓的基本判定及性質而得到三條高線共點？由此可得如下證法.

圖5

證法四:以銳角三角形情形為例.如圖5，已知AD⊥BC,BE⊥AC.設AD與BE交于H,CH與AB交于F.則∠AEB=∠ADB=90°.又由A,E,D,B和C,E,H,D四點共圓,所以∠AHF+∠FAH=∠DHC+∠BED=∠DHC+∠HCD=90°，即∠AFH=90°,所以CF⊥AB,得證.

基于以上探究，我們得到三角形高線的一個有趣性質.

垂線性質點D,E,F分別在△ABC三邊所在直線上,且直線AD,BE,CF交于點P,則AD⊥BC當且僅當∠PDE=∠PDF.

圖6

最后通過以下兩個命題實現對垂心的等價刻畫，以豐富其認識.

圖7

命題1H為△ABC的垂心時，有HA·HD=HB·HE=HC·HF.

圖8

cosB·cosC,所以HA·HA=4R2(-cosA)·cosB·cosC,其余情形與銳角情形類似,結論得證，且此時h=4R2(-cosA)·cosB·cosC.

命題2 當△ABC為銳角三角形時，H0為△ABC內部一點，且H0A·HD=H0B·H0E=H0C·H0F時，則H0為△ABC的垂心.

圖9

證明:因為EFBC,FDCA,DEAB分別四點共圓,所以∠ADB=∠ADF+∠FDB=∠ACF+∠A,∠ADC=∠ABE+∠A=∠ACF+∠A.∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC.同理BE⊥AC,CF⊥AB.所以H0為△ABC的垂心.