澳大利亞初中數(shù)學(xué)教科書中的跨學(xué)科內(nèi)容

張維忠， 趙千惠

(浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

為了應(yīng)對當(dāng)今世界正面臨的日益增長的不確定性，聯(lián)合國教科文組織發(fā)起了“教育的未來”倡議(futures of education initiative)，發(fā)布了《學(xué)會融入世界：為了未來生存的教育》(《Learning to Become with the World:Education for Future Survival》)報告，勾勒出2050年后的教育.從了解世界到采取行動，再到與周圍的世界融為一體，實現(xiàn)教育范式的根本轉(zhuǎn)變[1].誠然，強(qiáng)調(diào)學(xué)會融入世界，就意味著必須適應(yīng)當(dāng)今以信息技術(shù)和知識經(jīng)濟(jì)為特征的21世紀(jì)：知識和智慧將取代資本和資源，體力勞動型和簡單腦力勞動型職業(yè)將逐漸被技術(shù)所取代，凸顯了培養(yǎng)綜合型、創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才的必要性和迫切性.這也促使教育工作者意識到培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)、創(chuàng)造力不僅是對時代訴求的回應(yīng)，也是深化我國課程教學(xué)改革的大勢所趨.

然而，在現(xiàn)今大眾數(shù)學(xué)的教育背景下，數(shù)學(xué)作為一門單一學(xué)科，強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)在結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，目前已無法獨自承擔(dān)培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的任務(wù).學(xué)生時常陷入“知識無用論”的窘境，所形成的惰性知識是無關(guān)聯(lián)的、孤立的，從而導(dǎo)致在面對真實情境問題時無法靈活調(diào)動已有知識來解決現(xiàn)實問題.因此，為了達(dá)成上述的教育愿景，人們不得不審視、反思傳統(tǒng)的知識及分類，并探尋一種超越學(xué)科邊界的融合的新知識觀[2].研究熱浪席卷全球的STEAM(科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)、數(shù)學(xué)的有機(jī)融合)教育就是這方面的典型，其以跨學(xué)科為核心特征，能有效軟化傳統(tǒng)學(xué)科的邊界，已成為各國提升核心競爭力的重要戰(zhàn)略.其中，澳大利亞作為西方發(fā)達(dá)國家的代表之一，為回應(yīng)21世紀(jì)社會變革對于中小學(xué)生綜合能力發(fā)展的時代要求，開展了以“共通能力”(general capabilities)培養(yǎng)為主線的綜合課程改革運(yùn)動，呈現(xiàn)出包含科內(nèi)整合、科際相關(guān)課程(correlated curriculum)與主題課程的系統(tǒng)化推進(jìn)形式，將跨學(xué)科思維貫穿于課程內(nèi)容的設(shè)計和實施上，其能為我國設(shè)計與開展跨學(xué)科教育提供諸多寶貴經(jīng)驗與借鑒[3].

《澳大利亞數(shù)學(xué)課程》(《The Australian Curriculum Mathematics》，以下簡稱《ACM》)在課程目標(biāo)中就明確指出：“認(rèn)識到數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，并將數(shù)學(xué)視為一門易于學(xué)習(xí)的愉快學(xué)科”“數(shù)學(xué)旨在確保學(xué)生成為自信的、富有創(chuàng)造力的使用者和交流者”[4].數(shù)學(xué)教科書作為課程標(biāo)準(zhǔn)的具體表現(xiàn)形式，也是教師教與學(xué)生學(xué)的重要載體之一.由此可見，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)如何設(shè)置跨學(xué)科內(nèi)容以實現(xiàn)上述目標(biāo)將成為一個值得關(guān)注的問題.因此，本文基于STEAM教育理念的視角，分析跨學(xué)科內(nèi)容在澳大利亞初中數(shù)學(xué)教科書中的呈現(xiàn)情況，探討其如何有效地促進(jìn)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的多樣化敘事，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力及跨界性思維，以期為我國數(shù)學(xué)教科書編寫者合理設(shè)置跨學(xué)科內(nèi)容及數(shù)學(xué)教師利用跨學(xué)科內(nèi)容實施數(shù)學(xué)教學(xué)提供啟示與借鑒.

1 研究對象與分析框架

1.1 研究對象

由于澳大利亞實行“一綱多本”的教育政策，所以本研究以《ACM》為指南，選擇在澳大利亞使用較為廣泛的Pearson出版集團(tuán)出版的《Pearson Mathematics 7—10》(以下簡稱《PM》)[5]7年級數(shù)學(xué)教科書作為研究對象.根據(jù)澳大利亞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，初中數(shù)學(xué)由數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、統(tǒng)計與概率三大領(lǐng)域構(gòu)成.在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，7年級的學(xué)生學(xué)習(xí)非負(fù)整數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分比、比例、代數(shù)和線性方程組等內(nèi)容；在測量與幾何領(lǐng)域，7年級的學(xué)生學(xué)習(xí)測量、角度、形狀、轉(zhuǎn)化和可視化等內(nèi)容；在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域，7年級的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集、概率、樣本空間等內(nèi)容.

1.2 分析框架

通過梳理現(xiàn)有的跨學(xué)科內(nèi)容分析框架發(fā)現(xiàn)，研究者聚焦于呈現(xiàn)位置、分布領(lǐng)域、設(shè)置目的等功能性的橫向分析指標(biāo)[6-7]，而未縱深剖析跨學(xué)科內(nèi)容的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，即科際間的融合程度和方式，導(dǎo)致無法真正厘清其設(shè)計脈絡(luò)，不利于助推實質(zhì)性融合的發(fā)生.因此，本文旨在針對此方面實現(xiàn)突破和創(chuàng)新，基于STEAM教育理念建立了由來源維度和類型維度構(gòu)成的跨學(xué)科內(nèi)容分析框架.其中，來源維度借鑒美國弗吉尼亞理工大學(xué)格雷特·亞克曼(Georgette Yakman)教授提出的STEAM教育框架——ST∑@M金字塔[8]，具體含義如表1所示(由于研究的主體學(xué)科是數(shù)學(xué)，所以不再描述數(shù)學(xué)類內(nèi)容).類型維度則是借鑒羅賓·福格蒂(Robin Fogarty)提出的跨學(xué)科整合類型[9]，將其應(yīng)用于對數(shù)學(xué)教科書中跨學(xué)科內(nèi)容的分析，并對5種類型進(jìn)行補(bǔ)充描述、舉例說明，以便突出數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)科特征.具體含義如表2所示.

表1 跨學(xué)科內(nèi)容的來源維度

表2 跨學(xué)科內(nèi)容的類型維度

在跨學(xué)科內(nèi)容的類型維度中，5個子類對跨學(xué)科內(nèi)容的運(yùn)用水平不斷加深.其中，并列型和共享型的區(qū)別在于:在并列型中,2個學(xué)科的內(nèi)容按先后順序交付給學(xué)習(xí)者，學(xué)生必須自己完成將給定學(xué)習(xí)材料進(jìn)行整合的過程;但在共享型中，2個學(xué)科內(nèi)容同時且均勻地交付，學(xué)科之間的整合基于共享的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

此外，需要說明的是，在統(tǒng)計過程中，以跨學(xué)科元素與教材中設(shè)置的活動為共同的分析單元，即當(dāng)一個教學(xué)活動中涉及多種學(xué)科來源或跨學(xué)科類型時分別計數(shù)，同時當(dāng)一個跨學(xué)科元素出現(xiàn)在不同活動時也分別計數(shù).例如，“要求寫出彈簧測力計、量杯等器具上箭頭指向的小數(shù)值”，則統(tǒng)計時分別在物理學(xué)和化學(xué)學(xué)科的相關(guān)個數(shù)上都加“1”，即在科學(xué)(S)領(lǐng)域增加2個計數(shù)單位.此外，若教科書中插圖與相應(yīng)文本主題相關(guān)，或是教科書所設(shè)定的人物角色時，該插圖不作統(tǒng)計.

2 研究結(jié)果與統(tǒng)計分析

2.1 跨學(xué)科內(nèi)容的來源維度分析

從來源維度分析(見表3)，《PM》教科書實現(xiàn)了數(shù)學(xué)與科學(xué)(18.86%)、技術(shù)(25.48%)、工程(9.02%)、藝術(shù)(46.64%)的結(jié)合，涉及學(xué)科范圍較廣，總體分布較為均衡.譬如，在科學(xué)領(lǐng)域，介紹珠穆朗瑪峰和夏威夷島上的冒納凱阿火山(Mauna Kea)的相關(guān)背景，根據(jù)不同的基準(zhǔn)線計算二者的高度，在地球科學(xué)的情境中掌握解決混合整數(shù)計算問題的方法；利用物理學(xué)中電流(I)和電壓(V)的關(guān)系、攝氏度和華氏度的轉(zhuǎn)化問題來闡述數(shù)學(xué)中的公式及代換.在技術(shù)領(lǐng)域，設(shè)置了專門的“Technology Exploration”版塊，學(xué)習(xí)Excel處理數(shù)據(jù)以簡化問題、借助GeoGebra軟件生成可視化圖形，感受幾何直觀和信息技術(shù)的密切關(guān)聯(lián)；通過分析折線圖來了解墨爾本市的水壩蓄水量、判斷不同類型的水池蓋對水溫的影響，激發(fā)學(xué)生思考水資源儲存與損耗等能源問題.在工程領(lǐng)域，介紹歷史上比薩斜塔的建造及修繕過程，引導(dǎo)學(xué)生思考其傾斜程度加大將會造成的現(xiàn)實問題，凸顯幾何學(xué)中的角度在建筑設(shè)計中的重要作用；穿插環(huán)境工程背景，要求學(xué)生分析各種家庭垃圾的占比，以當(dāng)下舉世關(guān)注的垃圾分類主題喚起學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識.在藝術(shù)領(lǐng)域，以數(shù)學(xué)史為載體，通過介紹印度、羅馬、中國等世界上不同國家的數(shù)字體系，了解阿拉伯?dāng)?shù)字的真正起源，在差異中體驗數(shù)學(xué)學(xué)科中多元文化的碰撞與交融；欣賞故宮博物院、旋轉(zhuǎn)機(jī)器人等圖片，直觀感受反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱所帶來的視覺沖擊，并借助極具神秘色彩的對稱字(字母對稱、數(shù)字對稱、網(wǎng)格對稱)、設(shè)計“冰雪標(biāo)志”(snow logo)等活動，給予學(xué)生動手實操的機(jī)會，提升課堂的參與感.

表3 跨學(xué)科內(nèi)容中來源維度的分布情況 單位：%

從表3的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)和藝術(shù)的結(jié)合占比最高，表明《PM》教科書并沒有簡單局限于數(shù)學(xué)與一些經(jīng)典理工科科目的結(jié)合，也重視形體、歷史、哲學(xué)等藝術(shù)門類內(nèi)容對學(xué)生的熏陶.除了數(shù)學(xué)學(xué)科所能賦予的理性精神之外，教科書也希望克服數(shù)學(xué)課程與教學(xué)過于封閉、碎片化的傾向，而應(yīng)更具開放的特點，通過數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合達(dá)到提升學(xué)生的創(chuàng)造力和綜合能力的目的.同時，在如今信息技術(shù)高度發(fā)達(dá)的社會，教科書也順應(yīng)了學(xué)生所處的時代特征，設(shè)置了較多數(shù)學(xué)和技術(shù)融合的內(nèi)容，并注重引導(dǎo)學(xué)生合理利用技術(shù)解決貼近生活的實際問題，而不是走馬觀花式的介紹.科學(xué)和工程領(lǐng)域的內(nèi)容對7年級學(xué)生來說具有一定難度，故所占比例較少.

從三大主題分布來看，數(shù)與代數(shù)版塊中跨學(xué)科內(nèi)容的占比高達(dá)54.34%，統(tǒng)計與概率和測量與幾何版塊相差不大，分別占25.75%和19.91%.究其原因，必然與7年級內(nèi)容中每個主題所包含的章節(jié)數(shù)量有所關(guān)聯(lián).其中，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域共包含了6個單元，測量與幾何領(lǐng)域包含了3個單元，統(tǒng)計與概率包含了1個單元.相較于測量與幾何領(lǐng)域，統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的內(nèi)容往往基于實際問題情境，和日常生活的關(guān)聯(lián)更為密切，故雖只有1個單元，卻涉及了較多的跨學(xué)科內(nèi)容.但細(xì)究發(fā)現(xiàn)，《PM》教科書中通常只是單學(xué)科領(lǐng)域結(jié)合，多領(lǐng)域結(jié)合的案例屈指可數(shù).此外，同一學(xué)科下的主題內(nèi)容也較為單一，例如在代數(shù)章節(jié)接連多題均展示了水資源短缺主題，在統(tǒng)計與概率版塊中高頻出現(xiàn)了運(yùn)動項目主題.根據(jù)相關(guān)研究，我國的初中教科書也存在同樣的問題：人教版中地球科學(xué)所占比例較多，但多數(shù)都與氣溫有關(guān);上教版中計算機(jī)科學(xué)技術(shù)所占比例較多，但其中多數(shù)是關(guān)于計算器的使用，很少涉及計算機(jī)等其他信息技術(shù)的使用[10].誠然，學(xué)科和主題的單一性雖有利于知識點的鞏固，但也會對學(xué)生形成錯誤導(dǎo)向，使其錯失對數(shù)學(xué)實際意義及價值的理解.

2.2 跨學(xué)科內(nèi)容的類型維度分析

2.2.1 并列型

從類型維度分析，《PM》教科書中涉及的跨學(xué)科類型是豐富多樣的(見表4).其中，并列型(75.01%)在數(shù)學(xué)教科書中的使用率最高.除去純數(shù)學(xué)語言問題，各章節(jié)的正文及課后習(xí)題都會結(jié)合其他學(xué)科內(nèi)容構(gòu)造一定的情境，大部分均以并列型的方式呈現(xiàn)，符合數(shù)學(xué)教科書的基本特點.誠然，并列型的流行能夠保證數(shù)學(xué)教科書的常規(guī)性，而沒有為了實現(xiàn)所謂的“跨學(xué)科”而刻意獵奇以追求“標(biāo)新立異”，應(yīng)是經(jīng)過篩選的、具有目標(biāo)導(dǎo)向的、有價值的參與.總體而言，《PM》教科書中涉及的大部分并列型跨學(xué)科內(nèi)容無可厚非，但部分尚有值得改進(jìn)的空間，以達(dá)到充分發(fā)散學(xué)生思維的目的.譬如，在“通過加減法簡化表達(dá)式”小節(jié)末的“Outside the Square”版塊中，引入了拉丁方陣這一概念，并用問題引導(dǎo)學(xué)生填充4×4的拉丁方陣.通過介紹奇妙的數(shù)學(xué)原理和成果，有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，但是過于關(guān)注數(shù)學(xué)問題的求解，而缺乏對拉丁方陣來源及相關(guān)歷史背景的介紹，會導(dǎo)致學(xué)生無法理解數(shù)學(xué)是歷史意義下的人類實踐這一屬性.由于教科書中并未介紹與拉丁方陣有關(guān)的普魯士腓特列大帝排列儀仗隊的歷史背景，不加以說明地突兀引入，從而使學(xué)生錯失了一個領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)機(jī)會.相比之下，在“素數(shù)與合數(shù)”小節(jié)中呈現(xiàn)了埃拉托色尼篩選法(the sieve of Eratosthenes)，不僅介紹了古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托色尼的生平成就，還通過步驟提示引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)數(shù)學(xué)家成果的產(chǎn)生過程，給予了學(xué)生更加真實的切身體驗，能夠激發(fā)更多創(chuàng)造性行為的發(fā)生.

表4 跨學(xué)科內(nèi)容中類型維度的分布情況 單位：%

2.2.2 共享型

相較于并列型，共享型的案例基于共通的學(xué)習(xí)內(nèi)容，把2個學(xué)科進(jìn)行均勻地交付，僅占5.32%.教科書對該跨學(xué)科類型的處理較為簡單，不利于促進(jìn)學(xué)生思維模式的創(chuàng)新，多在正文及習(xí)題除外的補(bǔ)充板塊中呈現(xiàn).譬如，在代數(shù)章節(jié)的“Maths Meets Art”專題中，介紹了達(dá)·芬奇使用的網(wǎng)格法(grid method)及基于斐波那契螺旋線的三分法(the rules of thirds)，共享了黃金分割這一主題要素，將數(shù)學(xué)規(guī)律與藝術(shù)中的視覺美感結(jié)合.但是，《PM》教科書引入網(wǎng)格法的概念后，在只改變案例數(shù)據(jù)的情況下，要求學(xué)生用給定方法對畫布上的方格大小進(jìn)行判斷.在該案例中，跨學(xué)科內(nèi)容被簡單地應(yīng)用于數(shù)據(jù)的處理，并沒有促進(jìn)學(xué)生對藝術(shù)和數(shù)學(xué)交融的體驗感.可見，教科書中共享型的案例可以通過對現(xiàn)有問題的升華及后續(xù)問題的增加，以此提供更多培養(yǎng)學(xué)生論證推理、問題解決等思維能力及數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的機(jī)會.

2.2.3 蜘蛛網(wǎng)型

根據(jù)分析框架，蜘蛛網(wǎng)型(7.72%)作為較高級的跨學(xué)科類型，涉及2個以上學(xué)科領(lǐng)域，圍繞單個主題要素組織內(nèi)容，對學(xué)生的整合學(xué)習(xí)和教師教學(xué)提出了較高要求.《PM》教科書充分審視了學(xué)科間的內(nèi)在聯(lián)系，避免了呈現(xiàn)內(nèi)容時形成“廣而淺”的樣態(tài)，足以引起學(xué)生進(jìn)行深層次的思考.例如，以下是一個蜘蛛網(wǎng)型的案例:

考慮以下示例，確定2個變量之間是否存在關(guān)系，改變一個值是否會導(dǎo)致另一個值的變化：購買巧克力的總塊數(shù)和總金額；建造房子的數(shù)量和所需要的磚塊數(shù)量；共享一包棒棒糖的學(xué)生人數(shù)和每人收到的根數(shù)；動物園圍欄中的動物總數(shù)和每個動物的活動空間范圍.

該案例以“關(guān)系”作為蜘蛛網(wǎng)的中心，結(jié)合了建造、經(jīng)濟(jì)等內(nèi)容，闡述了代數(shù)的主要用途之一，即描述2個或多個變量之間的關(guān)系.此外，在分?jǐn)?shù)章節(jié)的“Technology Exploration”版塊中，結(jié)合神話故事、Word軟件的計算功能、折紙演示等方式共同描述了數(shù)學(xué)中“極限”這一思想，同時拓展了收斂級數(shù)等概念，豐富的學(xué)科內(nèi)容及多樣的展示形式必能觸及學(xué)生內(nèi)心的探索熱情.蜘蛛網(wǎng)型的跨學(xué)科內(nèi)容，實則蘊(yùn)含了知識的整體性，倡導(dǎo)更注重整體、更注重聯(lián)系的教學(xué).充分利用數(shù)學(xué)特有的邏輯鏈，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的真正理解及對知識的整體把握，使數(shù)學(xué)在知識的內(nèi)、外關(guān)聯(lián)和融合中真正“活”起來.

2.2.4 連接型和統(tǒng)合型

連接型(11.95%)和統(tǒng)合型(0%)作為對跨學(xué)科內(nèi)容運(yùn)用水平最高的2種類型，其案例具有較高的參考價值.但是，統(tǒng)合型由于其特性而難以在一個學(xué)科的教科書中得以實現(xiàn)，故并未在《PM》教科書中發(fā)現(xiàn)相關(guān)案例，這也是較為理性的.因為作為數(shù)學(xué)教科書，數(shù)學(xué)是核心關(guān)鍵詞，首要的功能定位就是發(fā)展與傳授數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，需體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)科特征.因此，除去統(tǒng)合型的案例，連接型作為高級的跨學(xué)科融合類型，占比大于共享型和蜘蛛網(wǎng)型，表明《PM》教科書試圖通過連接型跨學(xué)科內(nèi)容獨有的屬性，培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實生活問題的綜合能力.

連接型的案例多在教科書的章首、“Maths 4 Real”“Investigation”“Math Space”等版塊中出現(xiàn).譬如，“1瓦特計劃”探究活動中，通過所提供的表格數(shù)據(jù)計算家用電器在使用及待機(jī)狀況下的耗電量，結(jié)合澳大利亞政府出臺的“1瓦特計劃”，讓學(xué)生意識到電量消耗之大，并考察家庭用電情況，利用已有的數(shù)學(xué)知識制定節(jié)電方案.該案例與電力領(lǐng)域知識共享了交流、創(chuàng)造性思維等功能，不僅能引起學(xué)生對電器高耗電量的思考，樹立良好的節(jié)電意識，還能通過實踐考察制定多樣化的方案以緩解現(xiàn)存問題，加強(qiáng)學(xué)習(xí)成就感；提供“選擇最優(yōu)零用錢協(xié)定方案”的真實情境，引導(dǎo)學(xué)生利用Excel軟件的公式計算功能分析不同方案的利弊并預(yù)見更長遠(yuǎn)的規(guī)劃，初步體驗信息技術(shù)所帶來的精準(zhǔn)和高效；穿插空間科學(xué)的背景，設(shè)置“如何用數(shù)學(xué)來發(fā)現(xiàn)宇宙中其他智慧生命的存在并與之交流”的問題，從而使學(xué)生明白理解數(shù)字之間的關(guān)系及本質(zhì)特征(質(zhì)數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)等)有助于我們實現(xiàn)這一愿望；以ATM的PIN碼、網(wǎng)上購物及銀行業(yè)務(wù)的密碼和信用卡號碼的安全系數(shù)激疑，探究RSA加密方法，用素數(shù)的相關(guān)知識破解設(shè)置加密信息的奧秘，提高學(xué)生在現(xiàn)今互聯(lián)網(wǎng)時代的信息安全意識；探究超市里相同產(chǎn)品的大小包裝的實惠程度；利用圖紙設(shè)計理想中的家庭后院；列舉置辦一臺晚會的各種開銷，權(quán)衡開設(shè)地點，選擇最佳方案等等.可見，除了在我國初中教科書中也較為常見的正文、例題、習(xí)題、專欄等版塊外，《PM》教科書中專門設(shè)置了上述形式豐富的非常規(guī)版塊，為學(xué)生搭建了資源充沛的學(xué)習(xí)平臺.主題呈現(xiàn)多樣化的特點，貼近學(xué)生的實際生活，符合7年級學(xué)生的年齡特征，能廣泛引起學(xué)生的共鳴.

3 結(jié)論與啟示

3.1 結(jié) 論

3.1.1 學(xué)科來源總體分布均衡，尤其重視數(shù)學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合，但同一學(xué)科下的主題內(nèi)容單一

從上述分析中可知，《PM》教科書在一定程度上重視構(gòu)建學(xué)生豐富的學(xué)科知識儲備，跨學(xué)科內(nèi)容總體分布均衡.其中，最為注重數(shù)學(xué)和藝術(shù)的融合，占比高達(dá)46.64%，其次是技術(shù)領(lǐng)域和科學(xué)領(lǐng)域，而工程領(lǐng)域與7年級學(xué)生的實際生活存在一定距離，故所涉及占比最少.但是，存在同一融合學(xué)科下的主題單一的情況，在多個問題中反復(fù)出現(xiàn)相同的情境，這一方面確實可以幫助學(xué)生在前后連貫呼應(yīng)的情境中，有意識地進(jìn)行已學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)和遷移，但另一方面也說明《PM》教科書中跨學(xué)科內(nèi)容的廣度存在一定的局限性，仍有拓寬的空間.

3.1.2 并列型的跨學(xué)科內(nèi)容占主導(dǎo)地位，注重連接型和蜘蛛網(wǎng)型內(nèi)容的獨特價值

在《PM》教科書中，并列型的跨學(xué)科內(nèi)容的數(shù)量遠(yuǎn)超其他4種類型，占據(jù)主導(dǎo)地位.并列型中涉及的主題并不改變其學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)容，只是以適當(dāng)?shù)捻樞蛑亟M而先后傳授給學(xué)生.其他學(xué)科內(nèi)容多以背景的形式出現(xiàn)，拋開這層外殼并不會對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程產(chǎn)生實質(zhì)性的影響.這表明，《PM》教科書充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識及基本技能的掌握.此外，蜘蛛網(wǎng)型和連接型的跨學(xué)科內(nèi)容雖對教材編訂提出了較高的要求，但《PM》教科書注重其獨特的價值，除上述的非常規(guī)版塊外，在章首、正文的“Open-ended”版塊中也有所體現(xiàn).可見，《PM》教科書非常注重通過開放性問題、鮮活的真實情境及人們熱議的社會現(xiàn)象，站在數(shù)學(xué)的角度激發(fā)學(xué)生的有效思考，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的綜合能力.

3.2 啟 示

3.2.1 綜合考慮學(xué)科來源的內(nèi)容特點及學(xué)生的時代特征，改善不同融合學(xué)科的呈現(xiàn)比例

在我國以往的數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)與人文領(lǐng)域?qū)W科的關(guān)聯(lián)性較弱，但現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)新課程在這方面已有了耳目一新的表現(xiàn)[11].可見，數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合越來越受到人們的重視，理性思考和感性表達(dá)交織的產(chǎn)物正是21世紀(jì)人才不可或缺的要素.數(shù)學(xué)和藝術(shù)的跨學(xué)科結(jié)合對于數(shù)學(xué)教學(xué)的主要價值在于，它能夠更大程度地發(fā)揮學(xué)生的理解力和想象力，使其理解數(shù)學(xué)例證中的隱含意義.特別是對于那些具備一定知識基礎(chǔ)的學(xué)生來說，能使他們體會到由人們所賦予數(shù)學(xué)的，能夠使數(shù)學(xué)具有廣泛適用于整個世界的“功力”[12].譬如，“Musical Fractions”專題中，在介紹了音符和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系后，教科書可以再增加一個制作“音樂瓶”的環(huán)節(jié)，即在玻璃瓶中注水形成不同水位，并通過敲擊水瓶以發(fā)出音調(diào)各異的聲音.這樣不僅可以啟發(fā)學(xué)生挖掘音樂背后蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)思想,還能深入解析“物體振動產(chǎn)生聲音”的物理現(xiàn)象，探賾“音樂瓶”的發(fā)聲原理.整個過程涉及藝術(shù)、數(shù)學(xué)、物理及設(shè)計等方面的知識，鼓勵了融合思維的產(chǎn)生.此外，面對新時代的初中生，教科書也需不斷地捕捉、更新由社會變遷引起的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的良好素材，合理增加人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專業(yè)等新興學(xué)科及生物醫(yī)用材料、信息安全技術(shù)等高新技術(shù)學(xué)科的跨學(xué)科內(nèi)容，不僅能為教科書補(bǔ)充新鮮素材，同時也能解決同一融合學(xué)科下主題單一的問題.故在我國教科書編訂時，需要綜合考慮學(xué)科來源的內(nèi)容特點及學(xué)生的時代特征，適當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)與藝術(shù)、新興學(xué)科及高新技術(shù)學(xué)科的融合，改善不同融合學(xué)科的呈現(xiàn)比例，以此發(fā)揮數(shù)學(xué)教科書中跨學(xué)科內(nèi)容的最大效用.

3.2.2 重視蜘蛛網(wǎng)型與連接型跨學(xué)科內(nèi)容對學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培養(yǎng)的作用，注意凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，人們常常會因為過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯性、嚴(yán)密性、確定性，而忽視了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性.然而，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力正是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力，可以通過問題提出和問題解決2個方面的行為表現(xiàn)來刻畫學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的特征[13].此外，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在課程目標(biāo)中也提到：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”[14]這表明，獨特性和新穎性是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力內(nèi)涵的基本表現(xiàn).

根據(jù)上述分析可知，蜘蛛網(wǎng)型的跨學(xué)科內(nèi)容站在全局、整體的視角，圍繞諸如函數(shù)關(guān)系、極限等單一主題，重新組織各種來源于不同學(xué)科的內(nèi)容，以此使學(xué)生對所學(xué)知識有一個整體把握，激發(fā)其敏銳的觀察力，從而源源不斷地立足于新的視角提出新的問題,并加以解決.連接型的跨學(xué)科內(nèi)容更是通過聯(lián)結(jié)不同學(xué)科，強(qiáng)化了思維技能、社交技能和學(xué)習(xí)技能之間的聯(lián)系，為學(xué)生提供了一個參與式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)境.這不僅僅是簡單地使用數(shù)學(xué)思維來解決問題，還意味著這是一種改變實際生活的數(shù)學(xué)，通過參與復(fù)雜多變的現(xiàn)實生活情境來體驗數(shù)學(xué)與其他學(xué)科交融的力量.可見，蜘蛛網(wǎng)型和連接型的跨學(xué)科內(nèi)容均能實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的促進(jìn)作用.教科書可以參考蜘蛛網(wǎng)型、連接型案例的設(shè)計模式，對其他類型的案例進(jìn)行改進(jìn)，以支持學(xué)生發(fā)展高級的認(rèn)知水平及思維能力.但同時也要注意在不過多增加負(fù)擔(dān)和影響學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下，保證各跨學(xué)科類型案例的均衡分布.

當(dāng)然，值得注意的是，教科書應(yīng)重視闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的跨學(xué)科內(nèi)容，切忌簡單、生造.跨界不是不要界，這個“界”就是數(shù)學(xué)的思想，是數(shù)學(xué)概念、原理等的本質(zhì)意義.在運(yùn)用跨學(xué)科思維時要注意處理好幾個關(guān)系：邊界跨越，本質(zhì)不變，處理好“變”與“不變”的關(guān)系；多向發(fā)散，問題聚焦，處理好多樣性和同一性的關(guān)系；“跨”得出，還要“回”得來，處理好模式抽象性與多學(xué)科情境具體性的雙向貫通的關(guān)系.

3.2.3 提升數(shù)學(xué)教師的跨學(xué)科思維及辨析教材的能力

教師作為教材教學(xué)活動的實踐者，教育理念的落實者，需要敏銳地感知到學(xué)科融合將是未來教育改革的大趨勢.因此，及時樹立正確的跨學(xué)科思維就顯得尤為重要.在教學(xué)過程中，重要的是以學(xué)生的思維特征為基點，用自然和諧的方式進(jìn)行銜接并延展啟發(fā)性問題，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生以主人翁的身份進(jìn)行創(chuàng)造性思考.譬如，在整數(shù)章節(jié)的一道課后習(xí)題中，要求學(xué)生利用給定的一串整數(shù)，編寫一個小故事來描述電腦技術(shù)員謝里夫(Sharif)一天的工作經(jīng)歷.教師可借助教科書提供的現(xiàn)有素材，實現(xiàn)教學(xué)創(chuàng)新.如若將故事中的虛擬人物換成是學(xué)生自己，則更能拉近數(shù)學(xué)與生活的距離.學(xué)生會思考自己在諸如教室等場合的獨特經(jīng)歷，比如，在班級大掃除情境下，統(tǒng)計教室中的物品數(shù)量并與所給數(shù)字對應(yīng)起來，思考其數(shù)量的合理性.這樣的主題允許進(jìn)一步討論學(xué)校該如何大規(guī)模購買設(shè)施且避免造成浪費，從而自然而然地與環(huán)境保護(hù)問題聯(lián)系起來.在實現(xiàn)了多學(xué)科自然交融的同時，也促進(jìn)了對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng).因此，為了達(dá)到數(shù)學(xué)課堂中跨學(xué)科教學(xué)的效果，應(yīng)賦予教師大量專業(yè)的STEAM教育等跨學(xué)科教學(xué)的師資培訓(xùn)機(jī)會，改進(jìn)現(xiàn)有的教學(xué)方式，還可以通過STEAM教育主題課程的構(gòu)建，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科內(nèi)容的共性融合，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基創(chuàng)造力素養(yǎng).