改進指數趨近率的PMSM矢量控制研究

高永超，尹紅彬，陳明軒，陳鵬飛

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049)

電動汽車電機的選擇主要考慮可靠性、高效性和魯棒性。近年來，永磁同步電機以其功率密度高、輸出轉矩大等優勢深受國內電動車廠商青睞[1]。電動車驅動電機的控制也成為研究熱點，然而，任何電機驅動器的控制性能都可能受到以下2種因素的嚴重影響:① 由參數變化和模型不確定性引起的內部擾動;② 與傳感器故障或意外的速度或轉矩變化有關的外部擾動。

目前，三相PMSM常運用傳統的速度控制調節器作為其轉速環控制器，如PI調節器。這種方法計算方便、占用資源少、可靠性較高，并且能較簡單地進行參數整定，但也存在抗擾動性能差等不足。如果系統受到外界干擾，則傳統PI速度控制器無法讓系統完美運行，滑模控制應運而生，由于特殊的設計，使其有較快的響應速度，更重要的是其對外界干擾和系統內部參數變化抵抗力較強，因而具有很好的魯棒性。滑模控制是一種特殊的非線性控制系統，不同于常規控制，主要在于控制的非連續性，即一種使系統“結構”跟隨時間變化的開關特性[2-3]。

高為炳[4]利用趨近律的概念，提出了一種用于消除系統的抖振方法。文獻[5-7]采用改進滑模觀測器的方法提升系統的抗擾動能力。許多學者致力于消除抖振，提出了不同的方法，如高階滑模理論[8]、模糊理論[9]、神經網絡理論[10]等。另外，從數學角度入手，通過改進滑模趨近率來提升滑模控制的性能也是一大研究方向。苗敬利等[11]在矢量控制的基礎上，設計了一種基于MARS的PMSM神經滑模控制策略。文獻[12-13]為了解決冪次趨近律收斂速度過慢的問題，提出了雙冪次趨近律與多冪次趨近律。諸德宏等[14]提出一種變指數多冪次趨近率，并對該算法進行了仿真驗證。趙峰等[15]在速度環提出一種基于分段函數的新型趨近率來抑制滑模固有的抖振問題，并提高系統的動態響應性能。劉京等[16]通過選取指數項、系統狀態、可變項、終端項和線性增益,進行新型趨近律的設計,解決了系統抖振和滑模面趨近時間的矛盾，并設計了滑模擾動觀測器。周楊等[17]在傳統指數趨近率等速項系數引入含有指數項的分數多項式，并采用可變邊界層飽和函數替代原有的符號函數，使系統有較好的動態品質。

上述文獻的研究結果驗證了滑模控制對三相PMSM的有效性。本文基于三相PMSM滑模速度控制器，設計了新型的滑模趨近率，使系統具有更快的動態響應以及更小的系統抖動，并在Matlab/Simulink中搭建了實驗模型，仿真驗證了設計的合理性。

1 三相PMSM模型

不同于直流電機，三相PMSM具有耦合強、非線性的特點，直接控制難度較大，因此必須要建立相應的數學模型便于研究[18]。為了使控制器設計簡單，以表貼式PMSM為例創建同步旋轉坐標系下的數學模型：

(1)

此時電機的機械運動方程為：

(2)

其中：pn為極對數；Ls為定子電感；ωm為電角速度；id、iq分別為定子電流的d、q軸分量；Ld、Lq為d、q軸的電感；t為時間；ωf為轉子永磁體產生的磁鏈；J為轉動慣量；TL為負載轉矩。

對于表貼式PMSM來說，要獲得較好的控制效果可采用id=0控制方法，此時由式(1)和式(2)變為式(3)：

(3)

2 滑模控制基本原理

滑模控制(sliding mode control，SMC)是一種變結構控制，其控制是非線性的。這種特性能夠讓被控制的系統于一定條件下進入“滑動模態”，即沿著預設的狀態軌跡作小幅、高頻率的波動。這種滑動模態是可以利用數學方法進行設計的，特點是與擾動或系統參數無關，因而魯棒性優越。

如圖1所示，2個階段共同構成了滑模運動的整個狀態，第1部分為AB段，其實質為運動向滑模面靠近并首次接觸滑模面；第2部分為BC段，其實質是系統在設計的滑模面s(x,t)=0周圍上下運動的階段。

圖1 滑模運動示意圖

1) 等速趨近率：

(4)

2) 指數趨近率：

(5)

3) 冪次趨近率：

(6)

4) 一般趨近率：

(7)

式中：ε為趨近系數；q為指數趨近系數；α為高階趨近系數。通過改變趨近系數得到不同的趨近速率，想要更快的趨近速率就需要更大的趨近系數，而此時整個滑動模式的靈敏度也會大大提高，產生超調量，并造成沖擊；反之，如果其值選取過小，滑模控制的響應速率將下降，系統控制性能下降。 不同于PI控制，在滑模控制過程中，無法直接量化系統的誤差，因此，選取合適的趨近法是使系統獲得更短響應時間的必要條件。

3 滑模速度控制器的設計與比較

3.1 滑模速度控制器

滑模控制本質上是矢量控制的一種，圖2為三相PMSM矢量控制結構。對于表貼式PMSM而言，采用id=0的轉子磁場定向控制方法即可獲得如下數學模型：

(8)

圖2 三相PMSM矢量控制結構框圖

經過拉普拉斯變換即可得到狀態方程形式：

(9)

定義PMSM系統的狀態變量：

(10)

式中：ωref為電機的參考轉速，一般作為常量來看待；ωm為電機的實際轉速，又根據式(4)可知：

(11)

(12)

3.2 傳統指數趨近率的滑模控制器

定義一階滑模面函數為:

s=cx1+x2,c>0

(13)

式中：c為待設計參數。

對式(13)求導得到趨近率:

(14)

將指數趨近率的表達式(5)代入到式(12)中，得到指數控制器表達式：

(15)

相應的q軸參考電流為：

(16)

可以看出，一般指數趨近率由指數趨近項和等速趨近項2項構成，2項各司其職，其中指數趨近項能夠讓系統的趨近速率較快地逼近零，因此很好地縮短了這部分的耗時，并且使運動點以一個很低的速度到達切換面；等速趨近項的常數部分用于控制收斂速度，增大常數能夠加快正常運動時的收斂速度，相應地帶來的不利就是滑動模態的系統抖振變大，反之將減小抖振，相應地正常運動階段的收斂速度會減小。故可得出結論，抖振大小與收斂的快慢是一對天然的矛盾。一般的指數趨近率并未著重把握這對矛盾。圖3為一般指數趨近率滑模控制器內部結構。

圖3 一般指數趨近率滑模控制器結構示意圖

3.3 改進的指數趨近率滑模控制器

著力于使系統有較快的響應速度，同時減少系統滑模切換面上的抖振，因此，需要對一般的指數趨近率加以改進。

改進型的指數趨近率為：

(17)

式(17)相比原趨近率，變速趨近項替代了原來的部分，使得趨近速度大小與(kx1)2成正比，因此，狀態點相較于切換面距離較遠時，趨近速度提高很大；反之，趨近速度很小。采用這種方式的等速趨近項能夠增加系統的快速響應并且能夠削弱抖振。

因此，可以得到新型指數控制器的表達式：

(18)

從而可得q軸參考電流：

(19)

定義Lyapunov函數：

(20)

對式(20)求導，并將式(17)代入可得：

-ε(kx1)2s2-qs2≤0

(21)

由此可見，改進的冪次趨近率滿足滑模到達條件。

4 系統建模與仿真

為了驗證上一節理論的正確性，建立Matlab/Simulink模型，包括轉速環調節器、電流環調節器、坐標變換器、SVPWM生成模塊、逆變器以及三相PMSM模塊，具體參數如表1所示。圖4為改進指數趨近率的滑模控制器的仿真模型。

表1 仿真參數

圖4 改進的指數趨近率控制器結構示意圖

圖5為系統在0.2 s時突然加載負載，一般指數趨近率與改進后的指數趨近率轉速曲線。一般指數趨近率，電機從零速上升到參考轉速1 000 r/min時，有超過20%的超調量；采用改進型指數趨近率可以很好地避免這一問題，一般趨近率在0.06 s時達到額定轉速，改進的新型趨近率在0.04 s達到額定轉速，具有較快的動態響應速度。在0.2 s時突加負載轉矩TL=10 N·m后，采用新型指數趨近率的滑模控制器能更快地恢復額定轉矩，從而說明了改進型指數趨近率可以快速無超調地達到額定轉速，且加載時轉速波動小，能很快地恢復到給定轉速，以此滿足實際電機性能的需要。

圖5 轉速波形曲線

如圖6所示，采用一般指數趨近率的SMC控制器得到的電流波形曲線，其最大電流波動約為38 A,采用改進的指數趨近率的滑模速度控制器得到的電流波形圖最大波動約為28 A,電流波動在0.03 s左右停止，而一般趨近率電流波動持續到0.05 s(如圖7)；圖8、圖9分別為一般指數趨近率下和改進指數趨近率下的電磁轉矩波形曲線。可以看出，雖然一般指數趨近率的電磁轉矩從零時刻開始到趨于穩定的時間較短，但這對0.2 s后突然加入的負載影響甚微，相反，采用改進指數趨近率的電磁轉矩波形在0.2 s加入負載后，恢復穩定的時間更短，因此有著更好的抗擾動性能。

圖6 改進前的三相電流波形曲線

圖7 改進后的三相電流波形曲線

圖8 改進前的轉矩波形曲線

圖9 改進后的轉矩波形曲線

5 結論

為了提升車用永磁同步電機控制系統的動態性能，提出了一種改進型指數趨近率的滑模控制器。證明了其穩定性，以表貼式三相永磁同步電機為例，運用id=0控制方法，在Matlab/Simulink中搭建速度控制仿真模型，與原有的指數趨近率進行分析對比。結果表明，運用改進的指數趨近率的速度控制器，能消除轉速的超調量并且有著更好的抗干擾性能，證明了理論推導的正確性，說明本趨近率用于矢量控制的PMSM調速切實可行，對于空載初始運行的抖動有待進一步研究。