讓“等底等高的三角形面積相等”看得見

沈青 嚴(yán)秀麗

“等底等高的三角形，面積一定相等。”這是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊中的一個著名的命題。在現(xiàn)行人教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的練習(xí)題中，就有充分的體現(xiàn)（如圖1）。

在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中，相當(dāng)一部分學(xué)生是通過“賦值計算”的方法，“相信”等底等高的三角形面積相等。面對雖然等底等高、但形狀各異的三角形，還是有一部分學(xué)生不敢堅(jiān)信他們的面積是相等的（如圖2）。因?yàn)樵谒麄兛磥恚@些三角形的形態(tài)差異實(shí)在是太大了。

（每個三角形的底邊都相同，上下兩條虛線是互相平行的）

因此，如何幫助學(xué)生在面對此類問題的時候，讓一些理論上早就“明確”的結(jié)果看起來更加真實(shí)，就顯得特別有價值了。教材中也介紹了我國古代數(shù)學(xué)家劉輝的“出入相補(bǔ)”思想（如圖3），這就為幫助學(xué)生把“等底等高的三角形面積相等”這一數(shù)學(xué)命題可視化提供了強(qiáng)大的支撐。實(shí)驗(yàn)下來，效果特別好（如圖4）。

這一回，再也沒有人懷疑“等底等高的三角形面積相等”這一個數(shù)學(xué)結(jié)論了——因?yàn)樗鼈兺ㄟ^“出入相補(bǔ)”轉(zhuǎn)化以后，全部變成了一模一樣的長方形！

啟示：

1.數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)形態(tài)要多樣化。學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的個體差異是比較明顯的：有的學(xué)生喜歡數(shù)理分析，有的學(xué)生喜歡直覺形象，有的學(xué)生喜歡做中學(xué)，有的學(xué)生喜歡辯中思……面對個性鮮明的學(xué)生，數(shù)學(xué)知識不應(yīng)該像模子里刻出來的機(jī)器零件一樣千篇一律，而是應(yīng)該在保持本質(zhì)不變的情況下穿上不同的“外衣”，以適應(yīng)不同學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個性化需求。

2.數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要結(jié)構(gòu)化。數(shù)學(xué)知識邏輯嚴(yán)密，系統(tǒng)性強(qiáng)。學(xué)會了結(jié)構(gòu)化思維，數(shù)學(xué)知識就會越學(xué)越“少”。通過“出入相補(bǔ)”對三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合其他圖形的類似操作，很多學(xué)生都明白了平面圖形面積計算的本質(zhì)——用面積單位去度量圖形。在不方便度量的時候，就想辦法把不規(guī)則的平面圖形轉(zhuǎn)化得盡量規(guī)則，并最終歸結(jié)為“每行的面積單位個數(shù)×行數(shù)”這一根本方法上。