探問數學核心：深度學習的復習課樣態

施惠芳

【摘 要】站位深度學習視角的復習課應體現對數學學科本質的持續追求、對數學核心素養的前瞻理解、對系統知識結構的深度建構、對學習成長歷程的理性反思。深度學習下的復習課從探問核心的視角入手，可以體現數學推理、數學抽象、數學創造、理性思維等育人價值，通過提煉核心內容，聚焦學科本質;明確核心目標，著眼基本思想;抽象核心結構，朝向思維進階;依循核心問題，實現自主生長等路徑實現學科育人的價值。

【關鍵詞】數學核心 深度學習 復習課

復習課是課堂教學中一種重要的課型，復習課有梳理知識點、完善結構網、查缺補短板、發展思維力、提高數學素養等諸多功能，理應受到數學教師的重視。然而反觀現實，復習課到底什么樣？

一、數學復習課現狀掃描

（一）理念性缺位

筆者曾經通過問卷的方式進行相關調研，其中談到復習課時有這樣一個問題——如果課時緊張需要縮減，你認為最能進行縮減調整的課型是：A.新授課;B.復習課;C.練習課;D.實踐課; E.其他。結果顯示，相比新授課，復習課、練習課與實踐課都被認為是可以縮減的課型之一。的確，對于部分教師而言，無論是從思想意識上，還是從教育理念上，都沒有真正認識到復習課的重要性，認為復習課可有可無。教師如果有上公開課的機會，大多也不會選擇復習課。日常的復習課大多也是以羅列知識點、講解練習題為主要教學方式，無視學生這個學習主體，無視復習課的育人功能。學生在枯燥乏味的重復中也缺乏學習的興趣與動力。

（二）實操性缺失

“復習課怎么上”這個問題可能比“復習課重要嗎”更加不容易回答。筆者在期末階段聽了數節復習課，大多數教師利用教材配套的光盤程序式一一呈現復習內容，從教材上的“回顧與整理”板塊討論的問題，到“練習與應用”板塊的習題，簡單播放，逐一處理，照本宣科，毫無創新。這樣的復習課只有知識的再現，沒有梳理，更沒有問題的發現、提出與解決。走過場、形式化成為復習課常態，漠視學生思維的發展、生命的成長。而究其根本是教師很少思考：復習課究竟上什么？怎么上？取而代之的是不厭其煩地做、練、講。筆者也就復習課進行了相關檢索，的確，復習課的研究成果與可借鑒的經驗也比較缺乏，實操性的實施策略有缺失，這也是導致教師怕上復習課、不會上復習課，復習課價值無法實現的重要原因。

（三）評價性缺憾

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中關于“學習評價”有這樣一段表述：學習評價的主要目的是全面了解學生數學學習的過程和結果，應建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程;既要關注學生數學學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我、建立信心。但現實情況是，考試評價仍然占據主導地位，“雙減”政策后的教學強調考核方式的多樣性、評價的多元性，可目前結果性評價仍然是主要的評價方式，“考什么教什么”“考什么復習什么”“考點在哪里，復習的重點就在哪里”，教、學、評難以保持一致，復習的應考價值反而大于育人價值，這就不難理解為什么現實復習課是那么的“簡單粗暴”了。

二、數學復習課的深度學習視角

如何體現復習課的育人價值？如何通過復習課這一載體實現提升學生數學素養的目標？筆者認為，深度學習視角是一條值得嘗試與探索的路徑。深度學習最早是由美國學者馬頓和塞利約提出的一個概念，之后，國內外許多學者對此展開了相關研究。美國研究院最新的研究成果指出，深度學習是學生對核心課程知識的深度理解以及在真實的問題和情境中應用這種理解的能力。具體而言，所謂深度學習是以解決挑戰性問題和發展高階思維為目標，通過對核心內容的分析和學生數學活動的全身心積極參與來形成對數學知識、思想方法的深度理解，通過不斷完善和發展認知結構，形成積極的學習動機、高級的社會情感、正確的價值觀，進而促進學生數學核心素養的全面發展。基于深度學習視角的數學復習課，應體現對以下幾個關鍵點的關注：

（一）素養目標

深度學習的復習課的目標定位一定不是舊知識的簡單重復，而應立足學生核心素養發展的視角，從數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學模型、數據分析等能力的培養來確立學習目標，更為核心的是確立促進學生思維更清晰、更深入、更全面、更合理的發展目標。

（二）思維進階

深度學習的復習課應體現對相關學習主題內容的依次進階、逐步深化的學習歷程，構建基于學生學習基礎的認知發展路徑，不斷經歷進階起點到進階終點的分段發展過程，引領學生始終處于思維進階的學習狀態。

（三）完整結構

深度學習的復習課應重視結構化的視角，通過結構化視角引領學生形成相關知識的基于聯結的體系化認知，這樣更有利于學生把握知識本質，實現知識的融會貫通，進而培養學生的核心素養。

（四）問題解決

深度學習的復習課必須確立具有挑戰意義的學習主題，圍繞挑戰性主題設計引發學生思考與探索的問題情境。通過獨立思考、互動交流等活動引領學生深度參與學習活動，在解決問題的過程中不斷探索、發現、理解、應用數學知識，提升學生發現問題、提出問題和解決問題的能力。

三、探問核心：深度學習的復習課實踐路徑

站位深度學習視角的復習課應體現對數學學科本質的持續追求、對數學核心素養的前瞻理解、對系統知識結構的深度建構、對學習成長歷程的理性反思。下面以蘇教版數學五年級上冊“小數的四則運算”的復習課為例，談一談深度學習視角下復習課的實踐路徑。

（一）探問核心內容，尋學科本質之“源”

義務教育階段的數學學習內容主要包括“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個領域。每個領域都有相應的核心內容，如“小數四則運算”所屬的“數與代數”板塊在一至六年級主要包括“數的認識”“數的運算”“常見的量”“式與方程”“正比例、反比例”“探索規律”，七至九年級主要包括“數與式”“方程與不等式”“函數”等，從橫向關聯與縱向發展的視角來理解核心內容可能更易于我們深入理解數學的學科本質。

四則運算無疑是“數的運算”當中的核心內容，學生從一年級入學就開始認識自然數，開始學習加、減、乘、除，隨著數的概念的擴充，四則運算從整數范圍向小數、分數擴展，再到有理數、整式、分式。基于對核心內容的本質進行分析，我們認為四則運算的意義及其關系是整體理解這部分內容的基礎，也是進行數的運算的基本依據，具體包括“四則運算的意義”“四則運算源于加法”“加法與減法、乘法與除法的互逆關系”等重要內容。

因此，在復習“小數的四則運算”時，可以組織這樣的主題內容進行交流：無論是整數四則運算還是小數四則運算，要想理解四則運算的意義，必須尋找它們在生活中的故事，四人小組交流一下，什么樣的問題情境用加法？什么樣的問題情境用減法？乘法、除法呢？這一主題核心內容的交流喚醒了學生對四則運算的意義的已有認知，感悟四種運算的現實模型。學生理解了四則運算的意義，但加是加、減是減、乘是乘、除是除的固有觀念仍然存在。因此，打通四種運算之間的關系也是重要的核心內容，我們可以組織學生討論：加、減、乘、除四則運算之間有怎樣的關系？加、減、乘、除四種運算誰是源頭？用這樣的問題引領學生以“聯系”的觀點看待四種運算，打破固有的思維，發掘內在根本，打通知識之間的壁壘，形成整體認知。

基于四則運算的本質理解，有關小數計算算理與算法的復習梳理也是核心內容之一。因此，如何引導學生從理解“道理”的角度進行復習很有必要。由于小數與整數的關聯度非常高，我們可以基于整數向小數遷移推演，側重整數、小數四種運算的相同點與不同點的比較。因此，解決好“如何處理小數點”這個核心問題，就是抓住了最本質的“計數單位”的問題。加減運算的算理本質是相同計數單位的數相加減，乘法從與加法的關系角度看，也是相同計數單位的累加，除法是乘法的逆運算。因此，加法與乘法的運算過程都可以理解成是計數單位不斷累加的過程，減法與除法的運算過程則是計數單位不斷細化的過程。由此看來，所有的計算方法本質上都是要解決計數單位的問題，以計數單位為核心統領的計算本質是一致的，這樣四則運算向分數等后續內容的學習延伸也就能一以貫之了。

（二）探問核心目標，溯基本思想之“根”

深度學習視角下的復習課必須有效分析學生學習相關內容的基礎學情、主要挑戰，以及這一內容對于學生發展的意義與價值，進而明確復習課的挑戰性主題，以及立足學生發展，尤其是學生數學素養發展的目標：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。數學產生與發展所依賴的數學基本思想是數學教學的核心要素，基于此來理解與分析復習課的核心目標，其站位可充分體現學科育人與培育數學核心素養的要義。

蘇教版數學教材中“小數四則運算”涉及的內容均在五年級上冊呈現，主要包括“小數的意義和性質”“小數的加法和減法”“小數的乘法和除法”三個單元，小數四則運算的復習是經歷整數、小數四則運算的完整學習之后的一次回顧與反思。同時站位整個小學階段的學習，這一內容又是銜接同為十進制計數的整數與小數的四則運算與非十進計數的分數的四則運算的關鍵內容。因為我們發現，學生在分散學習之后形成的零散的四則運算的認知并不是完整的認知，教師在這個節點上做統整、勾連、打通特別有必要。數學課程標準有這樣的要求：體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和初步的推理意識。如何理解數的運算對整數、小數、分數的統籌，整體上理解和掌握算理與算法？這一問題是擺在學生面前的主要挑戰。基于這樣的基礎學情與挑戰性任務，從數學基本思想的視角來落實教學目標是非常重要的。

張景中院士說過，計算是具體的推理，推理是抽象的計算。拋開現實背景，拋開具體的量，純粹用計數單位這個工具去思考計算，無疑是通透了抽象的思想方法。“不管是做加法、減法，還是做乘法、除法，雖然是不同的運算，但支撐運算過程、幫助我們理解運算道理離不開一個重要的東西——計數單位”，這是復習課結束后，學生最直接、最深刻的認識。學生通過復習感悟運算的背后是運算律的支撐，計算不僅是算，更是依據交換律、結合律、分配律做推理，學生運用運算律去解釋計算背后的道理，無疑是通透了推理的思想方法。尤其在理解小數乘法的算理時，多步驟算理的分析實質上就是交換律與分配律的綜合運用與推理。正是推理與抽象，開啟了學生思考數學的一般路徑，也為數學的形式化、抽象化奠定了基礎。

再從數學模型的視角來看，從講述現實世界的故事到形成抽象的算式的過程，實際上就是讓學生用數學的語言和方法來描述一類現實問題。復習時，讓學生分別編寫一個用整數或小數的加法、減法、乘法、除法解決的數學問題，并通過計算來解決，可以是相關聯的同一故事的不同問題，也可以不同故事的不同問題。這樣的設計就是讓學生從生活中尋找小學數學最基本的兩個模型：加法模型、乘法模型的生活原型，讓學生建構現實背景以及現實背景中的各種數量以及數量之間的各種關系。這樣的教學不僅培養了學生分析問題、解決問題的能力，更培養了學生發現問題、提出問題的能力。

（三）探問核心結構，攀思維進階之“徑”

數學的結構化是數學教學的邏輯機理，基于深度學習的復習課需要通過結構化的設計、模塊化的重構、遞進式的展開引導學生自主架構、思維進階，形成結構性認知。這種結構可以是將零碎、分散的知識聯系起來的知識性結構，也可以是基于思維方式抽象的策略性結構。

筆者某次參加蘇州市教科院組織的一年一度的課改觀摩研討活動時，與全國著名特級教師徐斌老師同課異構，徐老師在復習課中就特別關注結構化，特別重視抓住核心知識以及核心知識間的聯系來梳理完整的知識結構，這一點通過徐老師的板書設計，我們就可見一斑（見下圖）。從板書中可以看到，徐老師抓住“小數”這個關鍵詞引導學生回憶關于小數的知識點，散點的知識存在內在關聯：小數的來源是基于生活與數學的需要，當整數不夠用時便產生了分數，十進分數可以表達成小數。這樣的回顧與梳理把學生零散的不成體系的知識點聯結成網，看似簡單的思維導圖式結構化的表達，卻將小數相關的核心知識串聯統整起來了，有效地為后續四則運算的復習掃清了障礙。

同樣的內容，不同的建構。鄭毓信教授認為，數學的發展常常表現為在原先被認為是互不相干的一些概念或理論之間發現了重要的聯系。他還強調：數學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯。因此，筆者認為教學中應很好地突出關鍵字“聯”。因此，在確定這節復習課的教學目標時，把“聯系”作為核心展開教學。從縱向視角來看，著力勾連整數與小數四則運算之間的關系;從橫向視角來看，著力勾連加、減、乘、除四種運算自身的相互關系。這一設計與徐老師結構化的側重點有所不同，它更關注學習策略的一種結構化，通過圖式化來突顯核心。

（四）探問核心問題，省生命成長之“路”

基于深度學習的復習課需要核心問題驅動，高質量的問題能夠有效促進學生積極思維的發展。問題是思維的路標，通過問題導學，我們可以切實喚醒學生的學習經驗，催化學習進程。核心問題往往對揭示知識本質、推動思維進階起到關鍵作用。

仍以“小數四則運算的復習”為例。這一內容是對五年級上冊“小數加減、乘除運算”的復習和整理，更是對“數的運算”這一主題內容的整體梳理和建構，縱觀學生的學習歷程，學生從一年級到四年級都有學習四則運算，四年的時間都是圍繞整數的四則運算在學習，而小數的四則運算的內容則集中在一個學期。因此，上課伊始，教師就引領學生回顧四則運算的學習歷程，通過反思質疑提出核心問題：為何整數四則運算要學四年，小數四則運算只要學一個學期？學生圍繞問題暢言：整數四則運算是基礎，基礎打扎實了，學習小數四則運算就簡單了;整數四則運算的方法與小數四則運算的方法有聯系……學生在交流中自然達成從“聯”字入手進行梳理的共識。而后從“聯”字出發形成系列核心問題：（1）小數與整數四則運算的意義相同嗎？四則運算之間有關系嗎？（2）小數與整數四則運算的道理與方法有關聯嗎？（3）通過今天的學習，你感覺對今后學習分數的四則運算有啟發嗎？一個核心問題帶動一個板塊的推進，核心問題引領下的課堂目標清晰、板塊分明。

再看徐老師的課堂，凝練的核心問題綱舉目張、清晰可見。上課伊始，徐老師問：“關于小數你知道了哪些知識？”引導學生回顧舊知，梳理關系。接著抓住運算的本質“計數”這一關鍵發問：“小數的計數單位有哪些？是如何確定的？”為學生解釋算理建立依據。而后提出：“如何運用計數方法解釋小數四則運算的算理？”這一問題順利過渡到四則運算的法則、聯系等內容的梳理。每一個核心問題的呈現都指向學生思維生長的方向，讓學生生命成長之路有腳手架的支撐。抓住核心問題，回溯復習過程，我們可以看到學生基于學科更好生長的教育價值。

提煉核心內容，聚焦學科本質;明確核心目標，著眼基本思想;抽象核心結構，朝向思維進階;依循核心問題，實現自主生長。深度學習的復習課從探問核心的視角入手，無不體現出數學推理、數學抽象、數學創造、理性思維等育人價值，學科實踐成就學科育人的目標追求引領我們不斷探索與實踐。

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