“等式性質與不等式性質”研究型單元教學

2022-04-20 14:56:40李昌官

數學教學通訊·高中版 2022年3期

[摘? 要] 為了有效地培養學生的數學學科核心素養，在基于ADE模型進行學習內容分析、學生認知分析的基礎上，依據“五環十步”研究型教學模式對“等式性質與不等式性質”進行了單元教學設計.

[關鍵詞] 研究型單元教學;ADE模型;數學學科核心素養

為了有效地培養學生的數學學科核心素養，下面先基于ADE模型進行學習內容分析、學生認知分析與學習目標設計，然后依據“五環十步”研究型教學模式[1]對“等式性質與不等式性質”進行單元教學設計. 教學用時：2課時.

[?] 學習內容分析

1. 知識產生的背景

現實世界中，相等是相對的，不等是絕對的. 相等關系和不等關系是數學中最基本的數量關系. 不等關系用不等式來表示. 面對大量的不等式，就需要研究不等式的性質. 而要研究不等式的性質，就需要尋找其推理的起點與依據.

2. 知識生長的過程與階段

本單元知識的形成和發展主要有如下5個階段：一是用不等式（組）表示現實世界和日常生活中的不等關系;二是明確研究不等關系和不等式性質的邏輯起點;三是類比等式性質，猜想不等式可能具有的性質;四是證明不等式性質，使之建立在邏輯推理的基礎上，而不是在感覺和經驗的基礎上;五是運用不等式性質解決一些簡單的相關問題.

3. 知識建構的策略與方法

本單元知識建構所用的主要策略與方法：一是抽象建模，即把現實中的不等關系用不等式（組）來表示;二是類比猜想，即通過類比等式的性質，猜想不等式的性質;三是公理化，即從實數大小關系的基本事實出發，使不等式性質的研究建立在演繹推理的基礎上;四是轉化，即把需要證明的不等式性質轉化為實數大小關系的基本事實和已經證明的不等式性質;五是以形助數，即尋找不等式性質背后的幾何模型，揭示數與形內在的一致性.

4. 知識之間的聯系與結構

不等式基本性質是等式基本性質的拓展與推廣，它與等式基本性質既有共同點，也有不同點. 數的本質與功能在于刻畫事物的多少與次序. 兩個實數大小關系的基本事實是數的屬性的體現與反映，是對數的“多少”與“次序”的定性刻畫. 這個基本事實是研究不等式性質的邏輯基礎，是不等式“公理體系”中的“公理”. 與等式性質類似，不等式性質由兩部分組成：一是不等關系自身的性質，如自反性、傳遞性;二是不等關系在運算中保持不變的性質. 不等式性質是一個相互聯系、相互轉化的整體.

5. 知識的要點與本質

不等式是對現實世界中不等現象的數學刻畫，是式與式之間的一種關系，是實數序關系的一般化，也是刻畫射線、半平面和空間區域的代數模型. 不等式性質的實質是不等式運算過程中的不變性. “數量關系的本質是‘多少’，把這樣的關系一并抽象到數學的內部，這就是自然數的‘大小’關系. 因此，自然數的大小關系源于數量的多少關系，大小關系是自然數的最為本質的關系.”[2]同樣，實數大小關系的基本事實是對數量多少關系的抽象.

6. 知識的學科意義與教學價值

相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎. 不等式性質是進一步學習證明不等式和解不等式的基礎，也是解決三角函數、數列、線性規劃、解析幾何等有關問題的基礎. 從實數大小關系的基本事實出發，對不等式性質加以證明，是學生學習抽象、建模、邏輯推理，尤其是有條理、有依據地思維問題的極好素材.

[?] 學生認知分析

學生已經學過等式性質和一些不等式性質，也知道和理解實數之間的大小關系. 他們具有理解并運用不等式性質的基本能力. 學生在學習中會遇到下列兩個難點.

難點1：如何用不等式表示現實世界中的不等現象. 為此，應引導學生用“量”來刻畫和表示客觀事物，并搞清楚背后蘊含的數量大小關系，進而建立不等式.

難點2：如何從實數大小關系的基本事實出發證明不等式性質. 由于學生往往覺得這些性質是“理所當然”成立的，不需要證明，因此應指出：數學通常只承認通過邏輯證明的結論，而初中得到的不等式性質是基于經驗和直覺的，因而存在缺陷與不足. 應明確思維的出發點，把實數大小關系的基本事實作為證明不等式其他性質的邏輯起點.

[?] 學習目標及其解析

“等式性質與不等式性質”單元的學習目標如下：

（1）能認識到現實世界、日常生活存在大量的不等現象，能用不等式表示一些簡單的不等現象，了解不等式（組）的現實背景;

（2）能全面、深入地理解不等式的有關性質，能從實數大小關系的基本事實出發對不等式的性質進行證明，能利用不等式的性質證明一些簡單的不等式問題;

（3）理解不等式性質的現實背景和幾何背景，能感受和欣賞不等式性質證明過程所蘊含的理性精神.

本單元的教學重點是兩個實數大小關系的基本事實與不等式的基本性質.

[?] 教學設計思路

本單元總的教學設計思路是基于等式與不等式的共性與差異探索不等式的性質，重過程、重探究、重研究不等式的基本方法、重數學思想方法. 具體做法是：強化用不等式表示現實問題的過程與方法;以探究不等式運算中的不變性與規律性為引領，強化類比等式性質猜想不等式性質的過程;強化從實數大小關系的基本事實出發，證明其他不等式性質.

[?] 學習過程與學習指導設計

相等關系和不等關系是數學中最基本的數量關系. 人們用等式表示相等關系，用不等式表示不等關系. 等式的性質大家比較熟悉，那么不等式又有哪些性質？考慮到相等、不等都是事物變化過程中的一種狀態，那么能否用函數的觀點把它們統一起來？能否借助于函數研究不等式？我們能發現一些重要、非常有用的基本不等式嗎？本章我們將帶著這些問題開啟新的學習旅程.

設計說明：本節課是本章的起始課，故簡要地揭示學習與研究的背景，說明學習的基本內容與基本方法.

1. 呈現背景，提出問題

背景1：生活中存在大量的不等現象，如大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于，等等. 這些不等現象需要用不等式表示.

設計說明：揭示生產生活中大量存在的不等現象，明確相等是暫時的、相對的，不等是永恒的、絕對的.

背景2：請用不等式或不等式組表示下列不等關系：

（1）某路段限速40 km/h;

（2）某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%;

（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;

（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短;

（5）某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？

設計說明：（1）在具體的情境中，讓學生充分感受不等式的現實背景;在教師舉例的基礎上再讓學生舉例，以提高學生的參與性與思維的深刻性. （2）闡明把現實的不等現象轉化為不等式的方法與步驟：一是用字母及其代數式表示特定的量;二是明確這些量之間的大小關系;三是用不等式表示這些大小關系. （3）區分已經用字母表示現實世界中的量與沒有給出、需要學生自己用字母表示這兩類不同難度的問題，因為前者已經適度數學化，而后者則需要學生自己完成數學化.

背景3：如圖1所示，把一個圓形鐵片剪去一個扇形，用余下的扇形制作成一個無蓋的圓錐形容器，怎樣剪裁才能使這個容器的體積最大？

設計說明：教師只需說明此問題可以利用不等式的性質來解決，不做進一步的探究. 提出此問題的目的重在讓學生認識到不等式還有許多我們沒有意識到的功能與價值，進而激發他們的學習興趣.

本單元的核心問題：不等式有哪些性質？應該怎樣證明這些性質？

2. 明確研究起點，尋找證明依據

子問題1：大家知道，初中的不等式性質是沒有經過邏輯證明的，是基于感覺與經驗得到的，而數學是基于概念和邏輯證明的. 那么研究不等關系和不等式性質的出發點是什么？判斷兩個數大小的依據又是什么？

設計說明：（1）此問題重在引發學生思考，引起學生注意. 由于難度太大，此問題不宜由學生探究和回答，而宜采用啟發式講解. （2）為了使兩個實數大小關系的基本事實形象化、具體化，教師可追問：憑什么說4比3大而比4.5小？在此基礎上，得到a>b?a-b>0，a=b?a-b=0，a<b?a-b<0，并指出：0是正數與負數的分界點，它為實數比較大小提供了“標準和參照物”. （3）讓學生能夠清晰地認識到：兩個實數的大小關系是研究不等關系、證明不等式性質的基礎與依據. （4）給出基本事實的幾何模型，即數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大，幫助學生養成從形與數兩方面思考問題的習慣.

例1 比較下列各組中兩個代數式的大小.

（1）（x-3）2與（x-2）（x-4）;

（2）當x>1時，x3與x2-x+1.

設計說明：（1）明確比較兩個代數式大小的依據是實數大小關系的基本事實. （2）根據這個基本事實，其操作步驟應是“作差—判斷正負”;而對作差后無法直接判斷正負的，應先變形，即應是“作差—變形—判斷正負”.

練習1：比較（x+3）（x+7）與（x+5）·（x+4）的大小.

練習2：已知a>b，證明a>>b.

設計說明：及時運用和鞏固兩個實數大小關系的基本事實.

3. 提出猜想，證明猜想

子問題2：你能類比等式的基本性質，猜想不等式有哪些基本性質嗎？

設計說明：（1）先回顧、梳理，明確等式具有如下的基本性質：

性質1：如果a=b，那么b=a.

性質2：如果a=b，b=c，那么a=c.

性質3：如果a=b，那么a±c=b±c.

性質4：如果a=b，那么ac=bc.

性質5：如果a=b，c≠0，那么=.

（2）類比等式性質，讓每個學生先獨立猜想，然后相互補充、相互矯正，猜想不等式有如下的基本性質：

猜想1：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b.

猜想2：如果a>b，b>c，那么a>c.

猜想3：如果a>b，那么a+c>b+c.

猜想4：如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，那么ac<bc.

猜想5：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.

猜想6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

（3）如果學生不能提出猜想5、猜想6，那么教師可追問：如果兩邊加或乘不同的數，那么結果會怎樣？添加怎樣的條件，能保證兩邊加或乘不同的數后，不等號仍然成立？

子問題3：你能運用兩個實數大小關系的基本事實證明以上猜想嗎？

設計說明：（1）不輕易放棄證明，因為這是學生感受數學公理化思想、數學思維嚴謹性和發展邏輯推理素養的極好載體. （2）鑒于學生不習慣利用這個基本事實進行證明，故采取“說理+示范+模仿”的方式進行. 教師先示范證明猜想1，即由a>b得到a-b>0，故-（a-b）<0，b-a<0，因此b<a. 然后強調：兩個實數大小關系的基本事實是證明的依據，即根據這個基本事實，由a>b得到a-b>0;而要證明b<a，只要證明b-a<0即可. （3）師生一起證明猜想2，猜想3、猜想4作為練習，由學生獨立證明. （4）猜想5、猜想6既可像猜想1至猜想4一樣給出證明，也可借助于不等式的性質1至性質4給出證明.

子問題4：你能由不等式的性質6猜想其新的性質嗎？你能證明自己的猜想嗎？

設計說明：（1）特殊化、一般化是得到新的數學結論的常用方法. 在不等式的性質6中，令a=c，b=d，即得不等式的性質7：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥1）. （2）引導學生從不等式的性質7的逆命題是否成立的角度猜想、提出不等式的性質8：如果a>b>0，那么>（n∈N，n≥2）. 視學生的認知基礎，決定是否運用反證法證明不等式的性質8. （3）指出等式的性質1、性質2反映了相等關系自身的特性，等式的性質3、性質4、性質5是從運算角度提出的，反映了相等關系在加、減、乘、除四則運算中保持不變的性質;同樣，不等式的性質1、性質2反映了不等關系自身的特性，不等式的性質3至性質8反映了不等關系在運算中的不變性.

探究：你能給出不等式的性質3、性質6的幾何模型嗎？

設計說明：數形結合的關鍵點和難點在于“數”與“形”如何相互轉換. 此時，應指導學生從代數式的幾何意義出發，構建相應的幾何模型. 對于不等式的性質3，追問a>b，a+c，b+c，a+c>b+c的幾何意義，不難發現：把數軸上的兩個點A與B同時沿相同的方向移動相同的距離，得到另外兩個點A與B，A與B和A與B的左右位置關系不會變（如圖2所示）. 對于不等式的性質6，從追問a>b>0，c>d>0，ac>bd的幾何意義入手，不難發現：大矩形的面積大于小矩形的面積（如圖3所示）.

4. 運用新知，鞏固內化

例2 已知a>b>0，c<0，證明>.

設計說明：（1）明確證明的依據是實數大小關系的基本事實和不等式的性質;（2）搞清楚條件與結論的聯系與差異，進而使條件逐步轉化為結論.

練習1：已知a>b，c<d，證明a-c>b-d.

練習2：已知a>b>0，0<c<d，證明>.

練習3：設a，b為正實數，且a<b，m>0，證明>.

設計說明：（1）練習1至練習3鼓勵學生用多種方法證明. （2）練習3完成證明后，給出此結論的現實原形，如“糖水加糖更甜”.

5. 回顧反思，提煉升華

學生回顧反思：（1）等式性質與不等式性質有哪些相同點與不同點？（2）初中不等式性質與高中不等式性質在內容與處理方式兩方面有什么不同？（3）證明不等式的依據是什么？常用的思路與方法又是什么？

教師小結提煉：（1）兩個實數大小關系的基本事實是證明不等式性質的出發點和依據，不等式性質不僅要建立在直觀感知的基礎上，更要建立在邏輯推理的基礎上. （2）分析問題、解決問題時，應搞清楚思維的出發點與依據，學會有理有據、有條理地思考.

6. 學習目標達成檢測

檢測1：已知a>0，b>0，且a≠b，試比較a3+b3與a2b+ab2的大小.