教材：取之不竭的試題寶庫

[摘? 要] 教材不僅是課堂教學的知識載體，同時也是命題工作的資源寶庫.教師命題時要重視教材資源的再開發，依托教材而不拘泥于教材.教師要善于利用教材，基于教材，直接出新;情境改編，推陳出新;關注模型，遷移出新;抓住本質，歸真出新.

[關鍵詞] 高考命題;教材資源;經典賞析;命題實踐

高考命題秉承“原創為主，改編為輔”的格調，改編題目注重“源于教材，高于教材”. 教材中，知識建構過程中依托的情境與載體、蘊含的思想與方法，以及訓練鞏固過程中的練習試題、閱讀材料、知識鏈接等素材，均可成為新試題產生的有效資源. 可以說，教材就是一座取之不竭的試題寶庫. 文章以人教A版和蘇教版教材為例，結合對高考試題的理解及筆者的命題實踐，談談教材資源的再開發與應用.

[?] 基于教材，直接出新

高考試題，基本上可以在教材中找到題源，當然有的可能經過了很多層次的綜合和深化，而有的可能就是直接基于教材習題進行考查. 這需要教師用聯系的觀點去看待教材中的各種素材，尋找它們之間的內在聯系，并進行巧妙的整合，從而形成耳目一新的試題.

1. 經典賞析

【高考真題】

題1：（2021年新高考Ⅰ卷第10題）已知O為坐標原點，點P（cosα，sinα），P（cosβ，-sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（? ）

A.

=

B.

=

C. ·=·

D. ·=·

【教材鏈接】

題2：（人教A版必修2第35頁例12）用向量方法證明兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【高考真題】

題3：（2021年八省聯考第13題）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________.

【教材鏈接】

題4：（人教A版必修2第154頁例6）推導棱臺的體積公式V=h（S′++S），其中S′，S分別是棱臺的上、下底面面積，h是高.

命題方法分析：從兩道高考試題的命題方式來看，兩道題都是基于教材例題開發的. 教材的兩道原型題都是例題，都是對公式的推導，都需要學生從本質上理解和掌握公式的推導過程，并能夠靈活應用. 試題的呈現形式、命題方式具有連續性，讓學生學有方向，讓教師研有方法. 命題方式看似簡單，但彰顯的是一種用聯系的觀點看問題的數學眼光.

2. 命題實踐

題5：（2021年南通市市直高三期中調研第8題）由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式. 一般地，存在一個n次多項式P（t），使得cosnx=P（cosx），這些多項式P（t）稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項式.

例如：cos2x=P（cosx）=2cos2x-1，記作P（t）=2t2-1. 利用P（t）求得sin18°=（? ）

A. B.

C. D.

題6：（2021年南通市市直高三期中調研第16題）如圖1，將矩形紙片ABCD的右下角折起，使得點B落在CD邊上點B處，得到折痕MN.已知AB=5 cm，BC=4 cm，則當tan∠BMN=______時，折痕MN最短，其長度的最小值為______cm.

命題方法說明：以上兩道題的原型題均出自蘇教版必修第二冊教材. 題5的原型題是教材第79頁的第19題，是一道閱讀題. 筆者只是對給出的條件做了一個更明確的說明，題5的設問方式和所求結論與教材的第19題完全一致. 題6的原型題是教材第67頁的第10題，筆者只是將圖形以學生更易理解的方式給出的，簡單調整了原型題的數據，并以一題雙空的形式呈現了試題，題6考查的本質與教材的第10題卻是一致的. 基于教材，直接將教材中的題目稍微包裝后進行考查，試題既可以考查學生的數學能力，又可以讓學生在考試中產生似曾相識的親近感.

[?] 情境改編，推陳出新

命題時，選擇合適的問題情境是考查學生數學學科核心素養的重要載體.情境包括現實情境、數學情境、科學情境，每種情境可以分為熟悉的、關聯的、綜合的[1]. 教材里提供了豐富多彩的情境資源，這些資源具有典型性、可延伸性，具有很大的挖掘空間. 通過這些情境的再開發，設定特定的問題，可以引導學生展示數學理解力，滿足學生自主探究的欲望，開闊學生的數學視野.

1. 經典賞析

【高考真題】

題7：（2020年新高考Ⅰ卷第4題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間. 把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面. 在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（? ）

A. 20° B. 40°

C. 50° D. 90°

【教材鏈接】

題8：（人教A版必修1第256頁第27題）在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化.

如圖3，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點的緯度，φ為當地的緯度值，那么這三個量滿足θ=90°-φ-δ. 某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統計了連續400天太陽直射點的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負值）. 下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當地太陽高度角數據：

請根據數據完成上面的表格（計算結果精確到0.0001）.

命題方法分析：比較高考試題和教材習題可以發現，高考試題的情境與教材習題的情境實質上是一致的，只是教材中給出的是平面圖，而高考中給出的是立體圖，需要學生先將三維空間平面化.平面化后，只要將太陽光的直射方向調整為和赤道平面平行，此時的太陽光線所在的平面即為高考試題中的晷面所在的平面，兩題的本質就完全一致了. 教材中，這道題是一道探究題，探究題往往就是一個引子，由此及彼，由淺入深，由現象到本質.教學中，教師如果不淺嘗輒止，而是進一步挖掘、開發這類探究題的教育價值，那么這樣的高考試題對學生來說，應該是手到擒來的事了.

2. 命題實踐

題9：（2021年南通市市直高三期中調研第12題）在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，點M在線段AD上，點N在線段BD上，則（? ）

A. 當M為AD的中點時，AC⊥MN

B. 當MN∥平面CCDD時，AM=BN

C. 當N為BD的中點時，三棱錐C-BMN的體積為

D. 當M為AD的中點時，以M為球心，MN為半徑的球被平面BBDD截得圓的面積的最小值為

【教材鏈接】

題10：（蘇教版必修2第174頁第6題）將一本書打開后豎立在桌面α上（如圖4），P，Q分別為AC，BE上的點，且AP=BQ，求證：PQ∥平面α.

命題方法說明：該考題的命制，實質上就是借助于教材習題的情境，將原情境中的兩個半平面變成了特殊的垂直關系，然后再特殊化，將它補成了正方體. 兩個動點在對角線上運動是該題的靈魂，筆者將它遷移，再適當增設條件形成了考題，利用好教材中數學情境的亮點是解題關鍵.

[?] 關注模型，遷移出新

在數學學習中，深刻理解一些特定的數學模型，掌握這些模型的結構、特征、功能、變式，有助于學生學會遷移，舉一反三[2]. 對于教師來說，依托典型的數學模型，適當改變模型的呈現方式，可以開發出新的問題.

1. 經典賞析

【高考真題】

題11：（2019年江蘇高考第17題）如圖5，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a>b>0）的焦點為F（-1，0），F（1，0）. 過F作x軸的垂線l，在x軸上方，l與圓F：（x-1）2+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D. 連接AF并延長交圓F于點B，連接BF交橢圓C于點E，連接DF.已知DF=.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）求點E的坐標.

【鏈接教材】

題12：（蘇教版選擇性必修1習題）已知點N（2，0），圓M：（x+2）2+y2=36，點A是圓M上一個動點，線段AN的垂直平分線交直線AM于點P，求點P的軌跡方程.

命題方法分析：比較高考試題和教材習題可以發現，兩道題都結合了圖形的幾何特征，很好地將圓的定義和橢圓的定義融為一體. 這里的定義即一種模型. 在教材習題中，可通過平面幾何特征發現內在的數量關系，再結合定義發現隱形的軌跡——橢圓;而高考試題則反其道而行之，將橢圓顯性化，利用圓和橢圓的定義，結合題目中的數量關系，發現內隱的幾何特征.

2. 命題實踐

題13：（2020年南通市高三一模考試第17題）如圖7，在平面直角坐標系中，橢圓E：+=1（a>b>0）的焦距為4，兩條準線間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點.

（1）求橢圓E的標準方程;

（2）已知圖中四邊形ABCD是矩形，且BC=4，點M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內的點P.

①若M，N分別是BC，CD的中點，證明：點P在橢圓E上;

②若點P在橢圓E上，證明：為定值，并求出該定值.

【鏈接教材】

題14：（蘇教版選擇性必修1第87頁第17題）把矩形的各邊n等分，如圖8，連接直線，判斷對應直線的交點是否在一個橢圓上.

命題方法說明：題14以矩形為載體，通過矩形各邊等分的手段產生系列點，如果將等分進行拓展，實際就是“成比例”的問題，而“成比例”的方式，又能夠將系列點從“有限”拓展為“無限”，而研究這些點的特征，實質上就是研究這些動點的軌跡. 筆者借助于教材的這個模型，通過“逆向思維”以及“特殊化”的手段進行改編形成了考題.

具體來講，題13的第①問，就是將等分點特殊化，然后結合具體的數據，給出具體的橢圓，將原來的動態問題變為了靜態問題，降低了思維難度，轉化為了適合學生的考題;第②問，通過“逆向思維”的方式給出曲線上的動點，再研究定點滿足的幾何特征，這里就出現了多種引參的方案，能有效考查學生靈活變通的能力和數學運算的能力.

[?] 抓住本質，歸真出新

在知識的學習過程中，我們要強調知識的生成過程，強調生成過程就是強調方法，“過程即方法”，每一個定理的發現與證明都清晰地展示了一種或幾種數學思想方法. 波利亞在《怎樣解題》中指出：“當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現后，再四處看看，他們總是成群生長.”數學的思想方法促使了數學試題“成群生長”.

1. 經典賞析

【高考真題】

題15：（2020年新高考Ⅰ卷第21題）已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

題16：（2021年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<+<e.

【鏈接教材】

題17：（蘇教版選擇性必修1第67頁“問題與探究”）若點P（x，y）在圓O：x2+y2=r2外時，方程xx+yy=r2表示怎樣的直線呢？

過點P（x，y）作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，設A（x，y），B（x，y），則直線PA的方程為xx+yy=r2. 因為P（x，y）在直線PA上，所以xx+yy=r2，故（x，y）滿足方程xx+yy=r2，即點A在直線xx+yy=r2上. 同理，點B在直線xx+yy=r2上. 所以xx+yy=r2是直線AB的方程，即切點弦所在的直線方程.

命題方法分析：題15和題16均考查了解決一類函數問題的一種思想方法，即函數“同構思想”. 題15考查的是“同構思想”的直接應用，應用“同構思想”能達到快速解決問題的目的;題16以“同構思想”為基礎，通過“同構”，起到了將復雜問題轉化為學生熟悉且簡單的問題的目的. 而“同構思想”源自蘇教版教材的“問題與探究”.

2. 命題實踐

題18：（2021年南通市市直高三期中調研第21題）在△ABC中，已知D是BC上的點，AD平分∠BAC，且AC-CD=.

（1）若AB=2BD=5，求△ABC的面積;

（2）若AB+BD=6，求AD.

【鏈接教材】

題19：（蘇教版選擇性必修2的閱讀題）我們曾用組合數模型發現了組合恒等式C=C和C=C+C. 這里所使用的方法，實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”. 對此，我們并不陌生，如列方程時就要從不同的側面列出表示同一個量的代數式，幾何中常用的等積法也是“算兩次”的典范[3].

命題方法說明：題18在最初命制時，第（1）問經歷了多次調整，如最開始證明的是=，后來調整為BD·sin∠ABC=CD·sin∠ACB，最終將（1）（2）兩問都圍繞“算兩次”思想展開，本題就成了“算兩次”思想引領的一道典型數學題. 平時教學時，教師應立足教材，引領學生開展研究性學習，發現更多、更美的數學結論.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 曾榮. 精解·探規·尋根·遷移：數學教師研題的四重境界[J]. 江蘇教育，2021（91）：33-37.

[3]? 黃鋒. 一道高考試題的題源探析與拓展[J]. 中學數學研究，2021（12）：27-28.