基于單元主題教學的初高中銜接課程設計研究

陳高翔

[摘? 要] 文章以平面解析幾何為例，以單元主題教學為途徑，對初高中銜接課程進行設計研究. 首先，在分析初高中平面解析幾何之間差異的基礎上，基于布魯納“螺旋式課程理論”，提出利用單元主題教學理念進行教學設計;其次，以曲線的方程為例，提出單元主題教學的設計原則;最后，以“曲線的方程”第一課時為例，依據設計原則，進行具體的教學設計.

[關鍵詞] 平面解析幾何;單元主題;銜接課程

平面解析幾何是17世紀數學重要研究成果之一，作為高中數學學科內容之一，平面解析幾何隸屬于《普通高中數學課程標準（2017年版）》選擇性必修課程主題二“幾何與代數”. 其主要研究用代數的方法解決幾何問題，通過建立坐標系，用坐標表征點、用方程表征曲線，進而將幾何問題轉化為代數問題. 在得到代數結論后，回歸問題的幾何本質，最終解決幾何問題.

那么，初中和高中關于平面解析幾何的課程存在哪些不同呢？

[?] 從課程目標來看

初中學段的課程目標要求學生在理解的基礎上，積極探究平面直角坐標系及其應用;初步理解和掌握平面直角坐標系中平面圖形的變換及相關性質;逐步培養學生從代數的角度思考幾何問題的意識與能力.

高中學段的課程目標要求較高，《普通高中數學課程標準（2017年版）》要求學生了解曲線的實際背景，感受曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用. 同時，要求學生經歷從具體情境中抽象出曲線的過程，掌握曲線的定義、標準方程、簡單性質等. 通過曲線與方程的學習，進一步體會數形結合思想，了解曲線的簡單應用及其數學歷史文化背景，學會用代數方法研究幾何問題，發展學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算等五大核心素養.

[?] 從課程內容來看

1. 課程的廣度不同

初中平面解析幾何涉及了直線、圓、特殊的拋物線，雖然都有所涉及，但是并未從曲線與方程的角度進行研究. 其中，直線和特殊的拋物線只是作為一次函數和二次函數的圖像被提出;圓只是作為一種幾何圖形，研究了它的一些幾何性質，并未結合平面直角坐標系進行解析. 高中平面解析幾何內容較為綜合，主要包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程. 不僅研究了它們的幾何形狀，而且通過平面直角坐標系用代數的方法研究了相關的幾何問題，同時提出了它們的簡單應用及其數學歷史文化背景.

2. 課程的深度不同

初中平面解析幾何主要研究的是“形”，側重于圖形本身，在數形結合、曲線與方程的聯系等方面的研究有所欠缺;高中平面解析幾何側重于從代數的角度研究幾何圖形，要求學生會用代數語言表征幾何問題，深入體會數形結合思想. 除了教材內容外，還要求學生自主學習、閱讀有關解析幾何發展的歷史文化資料，發展學生的數學觀、文化觀.

[?] 從學生的發展水平來看

1. 學習方式的不同

初中學段，平面解析幾何內容較少，生成性問題的抽象程度較低，學生習慣緊跟教師的節奏，掌握好教師課堂上準備的內容，課后通過簡單的模仿和機械訓練就可以基本完成學習任務. 高中學段，平面解析幾何研究的內容較多，具備較強的邏輯性和抽象性，僅僅依靠課堂上教師對知識和題型的講解是遠遠不夠的，學生課后必須在理解的基礎上接觸各種題型積累經驗，熟練掌握知識與技能，整體把握平面解析幾何的知識結構，才能靈活高效地解決問題.

2. 思維方式的不同

初中學生思維的發展水平較低，學生的感性思維占據主導地位. 初中平面解析幾何教學中，學生多數是從生活實例或者具體圖形中習得經驗，受到一定的啟發后教師就直接給出了相關的概念，這個習得概念的過程缺乏理性思考，思維的深度和廣度還需加強.

相比初中學生，高中學生思維的發展水平較高，思維方式逐漸從感性向理性轉變. 高中平面解析幾何教學中，在借助于實例引入、學生有了感性認識的基礎上，學生需要經歷從特殊到一般、從具體到抽象、從整體看局部的思維過程，對學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象、數學建模、數學運算等素養有較高的要求. 高中平面解析幾何的教學很好地體現了新課標的理念，即要求學生用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界.

[?] 基于以上差異，我們應該如何做好平面解析幾何的銜接教學呢？

著名教育家、認知心理學家布魯納在《教育過程》中提出了螺旋式課程. 所謂螺旋式課程就是以與兒童思維方式相符的形式將學科結構置于課程的中心地位，隨著年級的提升，不斷拓廣加深學科的基本結構，使之在課程中呈螺旋式上升的態勢. 實際上，高中平面解析幾何的主體結構就是呈螺旋式上升的、需要階段達成的：第一階段，直線與圓的方程;第二階段，圓錐曲線與方程;第三階段，坐標系與參數方程. 目前，大多數高中數學教師更習慣按部就班地“教教材”，而不是著眼于整體“用教材教”，對平面解析幾何的研究不夠系統和深入，教學設計缺乏整體性、主題性、連貫性.

基于以上分析，平面解析幾何教學應立足整體結構，加強知識的橫向聯系和縱向聯系，螺旋式構建學生的認知結構. 為此，我們可以利用模塊教學理念，設計單元主題教學幫助教學目標的達成. 單元主題教學是模塊教學理念的具體實現，它圍繞一個主題，讓學生在不斷解決問題的過程中把握知識本質，習得其內在的數學原理及思想方法. 單元主題教學并沒有固定的模式，通常可以設計以下環節開展教學：案例引入—問題驅動—師生探究—歸納提升—拓展應用. 單元主題教學實施的要點在于：引導學生從數學的角度整體把握問題，找到解決問題的關鍵，啟發學生體會其中的數學思想方法，圍繞主題不斷拓廣加深知識結構，強調學生對知識的主動建構.

我們以“曲線的方程”為例，具體談談如何進行單元主題教學.

1. 研課標、定地位、明內容

教師需要研讀課標，明確該單元主題的定位和內容. 在《普通高中數學課程標準（2017年版）》規定的課程內容中，平面解析幾何單元隸屬于選擇性必修課程主題二“幾何與代數”，而“曲線的方程”是平面解析幾何單元中的重要內容，要求學生能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程. 在建立方程的基礎上，能夠利用數形結合思想解決一些簡單的實際問題. 在建立曲線方程的過程中，重點提升學生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等素養.

2. 突出主題特點，開展階段教學

單元主題教學的重點在于，緊緊圍繞主題，分階段建構，螺旋上升. 對“曲線的方程”這一主題來說，應該分三個課時，包含以下幾個階段：

第一課時：第一階段，回顧初中有關直線的內容，提出問題;第二階段，問題驅動，探究如何建立直線方程及其所具備的數學本質;第三階段，概括提升，利用曲線方程的數學本質建立圓的方程.

第二課時：第四階段，拓展應用，把握曲線方程的本質，探索圓錐曲線的標準方程.

第三課時：第五階段，研究性學習坐標系與參數方程.

3. 合理利用教學軟件輔助教學

按照《普通高中數學課程標準（2017年版）》的要求，應充分發揮信息技術的作用，通過教學軟件展示曲線軌跡. 在本課中，我們借助于GeoGebra軟件向學生直觀呈現直線、圓、圓錐曲線的圖像以及它們所對應的方程. 通過改變方程中的參數，直接觀察圖像發生的變化，幫助學生體會圖像與方程的內在聯系，內化曲線方程的數學本質.

接下來，我們以“曲線的方程”的第一課時為例，具體設計教學過程.

“曲線的方程（一）”

單元主題教學設計

【教學目標】

（1）學生能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程.

（2）要求學生從代數的角度研究幾何圖形，會用代數語言表征幾何問題，深入體會數形結合思想.

（3）通過對本節曲線方程的研究，掌握求曲線方程的一般步驟，學會運用其解決一些簡單的實際問題.

【教學重點】

理解曲線與方程的關系，掌握求曲線方程的一般步驟.

【教學難點】

探求建立曲線方程的一般步驟.

【教學輔助軟件】

GeoGebra軟件.

【教學過程】

引入：

師：請同學們回憶一下，在初中，我們學習過一次函數，它的圖像是什么呢？

生：一次函數的圖像是一條直線.

師：請同學們畫出函數y=x+3的圖像，并判斷點A（0，3）和B（1，4）是否在這個函數的圖像上.

學生畫圖作答.

師：y=x+3是一個代數方程，而直線AB是一個幾何圖形，也就是說，代數方程可以用幾何圖形表示，幾何圖形也可以用代數方程表示.

學生在教師的引導下理解代數方程與幾何圖形的對應關系. （由特殊到一般，為引入直線方程奠定基礎）

探究1：什么是直線方程

師：平面直角坐標系中的任意一條直線，都是由點組成的集合，但是，如果已知任意一點的坐標，我們該如何判斷它是不是在給定的直線上呢？例如，已知通過點（2，0）且垂直于x軸的直線m.

師：既然直線是點的集合，那么我們就可以利用集合的觀點來解決這一問題.直線m上的點的橫坐標有什么特點？橫坐標是2的點也一定在直線m上嗎？直線m可以用方程x=2來表示嗎？

學生回答教師提出的問題.

師：其實，對于平面直角坐標系中的任意一點，只要看它的橫坐標是否為x=2，就能判斷出這個點是否在直線m上.

師：由上面的分析，我們可以把x=2叫做直線m的方程，直線m上的點的坐標都滿足這個方程，而且滿足這個方程的坐標所表示的點都在直線m上.

定義：一般地，在平面直角坐標系中，給定一條直線，如果直線上任意點的坐標都滿足某個方程，而且滿足這個方程的坐標所表示的點都在直線上，那么這個方程就叫做直線的方程.

探究2：如何建立直線方程

師：通過之前的學習我們已經知道，“解析幾何之父”笛卡爾創立了直角坐標系，我們借助于直角坐標系，建立了代數和幾何的聯系.通過探究1的完成，我們認識到了直線的方程就是直線上任意一點P（x，y）的橫坐標x與縱坐標y滿足的方程，所以求直線的方程，就是求直線上任意一點P（x，y）的橫坐標x與縱坐標y滿足的等量關系.

提問：在之前的學習中，我們知道直線可以由一個點和方向來確定，這個方向就是我們之前學習的什么？

生：直線的斜率.

師：很好. 下面我們來思考這樣一個問題：已知直線l過點A（-1，2），且斜率為2，求直線l的方程.

學生思考、探究.

教師總結：求直線的方程，就是求直線上任意一點的橫坐標x與縱坐標y滿足的等量關系. 設P（x，y）是直線l上不同于A（-1，2）的任意一點，如何建立橫坐標x與縱坐標y滿足的等量關系呢？我們注意到，當點P（x，y）在直線l上運動時，A，P兩點連線的斜率始終都是直線l的斜率，我們要找的等量關系也就蘊含于此.由直線AP的斜率等于2，得到k==2，即y-2=2（x+1）. 通過驗證，這個方程對A（-1，2）是成立的，所以直線l的方程就是y-2=2（x+1）.

師：那么對于一般的情況，即經過點M（x，y）且斜率為k的直線的方程是什么？

學生自主得到結論：y-y=k（x-x）.

師：特殊地，經過點（0，b）且斜率為k的直線的方程是y=kx+b. 點（0，b）是直線y=kx+b與y軸的交點，交點的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距，這個方程叫做直線的斜截式方程.

師：對于直線的點斜式方程，同學們想一想，它能表示斜率不存在的直線嗎？

生：不能.

師：直線的點斜式方程適用于斜率存在的直線. 同學們再想一想，什么樣的直線的斜率不存在？

生：與x軸垂直的直線.

師：請同學們寫出經過點M（x，y）且與x軸垂直的直線的方程.

學生自主得到結論.

師：結合探究1的例子以及直線方程的定義，不難得到經過點M（x，y）且與x軸垂直的直線的方程為x=x.

師：通過剛才的學習，我們掌握了什么是直線的方程以及直線的點斜式方程和斜截式方程，還有沒有其他的方式建立直線的方程呢？比如直線過點A（x，y），B（x，y），如何建立直線AB的方程呢？這個問題留給同學們課后探究.

探究3：把握本質，探求圓的標準方程

師：請同學們回憶一下，初中時我們學習過二次函數，比如y=x2，它的圖像是什么？

生：一條曲線，叫做拋物線（記作曲線C）.

師：請同學們想一想，直線是一種特殊的曲線，既然直線是點的集合，那么曲線是否也是點的集合？請同學們思考，點（1，1），（2，4），（2，5）是否在曲線C上？曲線C上的點的坐標滿足什么等量關系？

學生自主探究得出結論：點（1，1），（2，4）在曲線C上，點（2，5）不在;曲線C上的任意一點P（x，y）的橫坐標x與縱坐標y都滿足y=x2.

師：同學們有什么感悟？事實上，直線也是一種曲線，我們可以將有關直線方程的結論擴展為曲線方程的結論，即曲線的方程就是曲線上任意一點P（x，y）的橫坐標x與縱坐標y滿足的方程，所以求曲線的方程，就是求曲線上任意一點P（x，y）的橫坐標x與縱坐標y滿足的等量關系.

師：平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓. 圓也是一種曲線，基于以上分析，我們能否建立圓的方程？

生：可以.

師：在前面的學習中我們認識到，借助于平面直角坐標系，我們才能建立曲線的方程表征曲線. 所以，第一步就是建立平面直角坐標系，確定好圓心的坐標.我們先考慮以O（0，0）為圓心，r為半徑的圓的方程. 同學們想一想，類比探究2中建立直線方程的步驟，如何建立☉O的方程呢？

學生自主探究……

教師總結：第一步，如圖3所示，以圓心O為原點建立平面直角坐標系;第二步，設P（x，y）是圓上任意一點;第三步，建立等量關系，由圓的定義可知，OP=r;第四步，由點的距離公式得=r;第五步，化簡=r得x2+y2=r2，這就是所求圓的方程.

[r][O][x][y][圖3][P]

師：事實上，我們剛才建立的求圓的方程的步驟，就是用軌跡法求曲線方程的步驟.下面我們一起來總結用軌跡法求曲線方程的步驟：第一步，建系（建立適當的平面直角坐標系）;第二步，設點（設曲線上任意一點的坐標）;第三步，限制條件（找出曲線上任意一點的坐標滿足的等量關系）;第四步，代入點的坐標（坐標化）;第五步，化簡（將曲線方程化到最簡，體現美觀、對稱）;第六步，證明（證明以方程的解為坐標的點都在曲線上，不作要求）.

師：剛才我們建立了以原點為圓心，r為半徑的圓的方程，請同學們自主探究以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程.

學生自主探究……

教師總結：以點C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2. 這個方程叫做圓的標準方程.我們注意到：圓可以由圓心和半徑兩大獨立的幾何條件確定，由圓的標準方程可以直接看出圓心和半徑（利用GeoGebra軟件給學生展示不同圓心、不同半徑的圓的標準方程，如圖4、圖5所示）.

師：本節課，我們師生一道，探究了什么是直線的方程，如何建立直線和圓的方程.在探究的過程中，我們總結了什么是曲線的方程以及怎樣用軌跡法求曲線方程的步驟.相信大家經過本節課的學習，對平面解析幾何有了更加深刻的認識，愿同學們在今后的學習中，用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界！

研究性作業

（1）已知直線過A（x，y），B（x，y），如何建立直線AB的方程？

（2）請同學們查閱課本，了解橢圓的定義，嘗試利用軌跡法建立橢圓的標準方程.