研習高考真題 實現融合教學

姜衛東

[摘? 要] 2021年我國部分省份已進入全國卷數學高考，對于解析幾何的復習與教學，擬通過對全國卷真題的命題背景及解法的研習，找準解析幾何的復習定位，實施融合教學.

[關鍵詞] 高考真題;解法及背景;融合教學

問題的提出：2021年我國部分省份已進入全國卷數學高考，解析幾何問題如何考查？地方卷與全國卷的解析幾何問題是否差別較大、沒什么聯系？解析幾何教學是否需要重新建構？筆者擬通過對近三年全國卷解析幾何問題的解法研討及背景分析，探尋其中的答案.

[?] 2019年真題研習

2019年全國卷（新課標Ⅱ·理科數學）第21題：已知點A（-2，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-. 記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形;

②求△PQG面積的最大值.

1. 解法探究

解法1：（1）利用直接法不難得到C的方程. 由題意得·=-，整理得曲線C的方程為+=1（x≠2），所以曲線C是焦點在x軸上不含長軸端點的橢圓.

（2）①利用設點法求解. 設P（x，y），則Q（-x，-y），E（x，0），聯立直線QE的方程與橢圓的方程，利用韋達定理求得G點的坐標，然后再去證明PQ，PG的斜率之積為-1.

設P（x，y），則Q（-x，-y），E（x，0），G（x，y），所以直線QE的方程為y=（x-x），與+=1聯立后消去y，得（2x+y）x2-2x0yx+xy-8x=0. 所以-xx=，所以x=，所以y=（x-x）=，由此可得k===. 把x+2y=4代入上式，得k==-，所以k·k=·

-=-1，所以PQ⊥PG，故△PQG為直角三角形.

②利用S=PE·

x

+x，代入相關數據，即可將△PQG的面積表示為關于x，y的函數;然后通過變形，將它轉變為x，y的齊次式;最后分子、分母同除以xy，并對+進行換元，從而利用“對勾函數”的性質可得最值.

由已知可得S=PE·（x+x）=y（x+x）=y

+x0

=yx·== ====. 令t=+，則S==. 由“對勾函數”f（t）=2t+在[2，+∞）的單調性可知，f（t）≥4+=（t=2時取等號），所以S≤（此時x=y=），故△PQG面積的最大值為.

解法2：（1）同解法1.

（2）①利用設線法求解. 可設直線PQ的方程，同時引入參數k（直線PQ的斜率），聯立直線PQ的方程與橢圓的方程求得點P，Q的坐標，從而求出直線QE的方程. 又聯立直線QE的方程與橢圓的方程，借助于韋達定理可求得點G的坐標，然后再去證明PQ，PG的斜率之積為-1.

設直線PQ的方程為y=kx，將它代入+=1，解得x=±. 記μ=，則P（μ，μk），Q（-μ，-μk），E（μ，0），故直線QG的斜率為=，其方程為y=（x-μ），將其代入橢圓方程得（2+k2）x2-2μk2x+μ2k2-8=0. 根據韋達定理可得x+x=，所以-μ+x=，所以x=，將其代入直線QG的方程，得G

，

.于是直線PG的斜率k==-，所以PQ⊥PG，故△PQG為直角三角形.

②利用三角形的面積公式將△PQG的面積表示為關于k的函數，然后借助于換元求出所得函數的最大值.

由已知可得S△PQG=PQ·d=··=2μ2·

，將μ=代入上式，化簡得S△PQG=（k>0）. 求S△PQG的最大值，可以利用求導的方法來完成，但此種方法較煩瑣！如果對上述△PQG的面積表達式進行變形，然后再換元，就能便捷地解決問題，其解題過程如下：

S△PQG==，設k+=t（t≥2），可得S△PQG===. 又y=2t+在t≥2單調遞增，所以2t+≥2×2+=，所以S△PQG≤=（當且僅當t=2時，“=”成立），故△PQG面積的最大值為.

2. 背景分析

本題第（2）問中①題的背景就是橢圓的中心弦定理：設橢圓的方程為+=1（a>b>0），AB是經過中心O的弦，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線PA，PB與坐標軸不平行，可證k·k= -. 應用此定理，此問就能更迅捷地得以解決！

3. 真題關聯

2011年江蘇卷（數學）第18題：如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN，求k的值;

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d;

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.

分析：本題的第（3）問與上述2019年全國卷第（2）問的①題，無論是題目還是解法，幾乎都一模一樣，它們的背景正是橢圓的中心弦定理.

[?] 2020年真題研習

2020年全國卷（新課標Ⅰ·理科數學）第20題：已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，·=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

1. 解法探究

解法1：（1）如圖2所示，求出·=a2-1=8，解出a=3，求出E的方程為+y2=1.

（2）設點P的坐標，得出直線PA，PB的方程，進而求出點C，D的坐標，最終得到直線CD的方程. 由直線方程來研究直線的性質，證明它過定點.

由（1）知A（-3，0），B（3，0），設P（6，m），則直線PA的方程是y=（x+3），聯立

+y2=1，

y=（x+3），得（9+m2）x2+6m2x+9m2-81=0. 由韋達定理得-3x=，即x=，將其代入直線PA的方程得C

，

. 直線PB的方程是y=（x-3），聯立

+y2=1，

y=（x-3），得（1+m2）x2-6m2x+9m2-9=0. 由韋達定理得3x=，即x=，將其代入直線PB的方程得D

，

. 則

①當x=x時，即=，m2=3時，此時x=x=，CD為直線x=.

②當x≠x時，直線CD的方程是y-=

x-

，整理得y=

x-

，直線CD過定點

，0

.

綜合①②，直線CD過定點

，0

.

解法2：（1）同解法1;

（2）可以首先根據圖形的對稱性，判斷直線CD必過x軸上一定點，然后采用先特殊后一般的解法求解.

同解法1可得C

，

，D

，

.

①當x=x，即=時，得m2=3，此時CD為直線x=，過定點E

，0

.

②當x≠x時，下證直線CD也過定點E，即證C，D，E三點共線. 因為k==，同理可得k=，所以C，D，E三點共線，即直線CD過定點E

，0

.

綜合①②，直線CD過定點

，0

.

2. 背景分析

本題的背景實際上是極點與極線. 設直線CD與AB相交于點E（n，0），則點E關于橢圓+y2=1的極線方程為+0·y=1，所以x=. 又此極線必過點P，且點P的橫坐標為6，所以=6，解得n=，所以直線CD必過定點

，0.

3. 真題關聯

2010年江蘇卷（數學）第18題：在平面直角坐標系xOy中，如圖3所示，已知橢圓+=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F. 設過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0.

（1）設動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡;

（2）設x1=2，x2=，求點T的坐標;

（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

分析：本題的第（3）問與上述2020年全國卷的第（2）問考查的都是定點問題，無論是題目的設置還是解法幾乎如出一轍，更加關鍵的是這兩問都是以極點與極線為背景而命制的.

[?] 2021年真題研習

2021年全國卷（理科數學·甲卷）第20題：拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M（2，0），且☉M與l相切.

（1）求C，☉M的方程;

（2）設A，A，A是C上的三個點，直線AA，AA均與☉M相切.判斷直線AA與☉M的位置關系，并說明理由.

1. 解法探究

（1）由題意結合直線垂直得到關于p的方程，解方程確定拋物線的方程，然后利用直線與圓的關系求得圓的方程. 即設拋物線C的方程為y2=2px（p>0），令x=1，則y=±. 根據拋物線的對稱性，不妨設P（1，），Q（1，-）. 因為OP⊥OQ，故1+·（-）=0?p=，所以拋物線C的方程為y2=x. 因為☉M與l相切，故其半徑為1，所以☉M：（x-2）2+y2=1.

（2）分類討論三個點的橫坐標是否相等，當有兩個點的橫坐標相等時明顯相切，否則，求得直線方程，利用直線與圓相切的充分必要條件和題目中的對稱性證得直線與圓相切.

設A（x，y），A（x，y），A（x，y）. 當A，A，A中某一點為坐標原點時（假設A為坐標原點時），設直線AA的方程為kx-y=0，根據點M（2，0）到該直線的距離為1可得=1，解得k=±;聯立直線AA的方程與拋物線的方程可得x=3，此時直線AA與☉M的位置關系為相切.

當A，A，A都不是坐標原點時，即x≠x≠x，直線AA的方程為x-（y+y）y+yy=0，此時有=1，即（y-1）y+2yy+3-y=0;同理，由對稱性可得（y-1）y+2yy+3-y=0，所以y，y是方程（y-1）t2+2yt+3-y=0的兩根. 依題意有，直線AA的方程為x-（y+y）y+yy=0. 令M到直線AA的距離為d，則有d2===1，此時直線AA與☉M的位置關系也為相切.

綜上，直線AA與☉M相切.

2. 背景分析

對于本題的第（2）問，其本質是射影幾何中同構思想的具體體現. 從形的角度來看，“直線AA與☉M相切”與“直線AA與☉M相切”是完全同構的，最后得出“直線AA與☉M相切”，也是同構的必然結果！從數的角度來看，根據直線AA，AA與☉M相切，得到（y-1）y+2yy+3-y=0與（y-1）y+2yy+3-y=0兩個方程，這就是兩個同構方程，從而利用韋達定理簡化計算！

3. 真題關聯

江蘇省揚州市2015—2016學年度第一學期高三期中調研測試第19題：已知直線x-2y+2=0與圓C：x2+y2-4y+m=0相交，截得的弦長為.

（1）求圓C的方程;

（2）過原點O作圓C的兩條切線，與拋物線y=x2相交于異于原點的兩點M，N，證明：直線MN與圓C相切;

（3）若拋物線y=x2上任意三個不同的點P，Q，R，且滿足直線PQ和PR都與圓O相切，判斷直線QR與圓O的位置關系，并加以證明.

分析：本題的第（3）問與上述2021年高考題的第（2）問，無論是題目的呈現方式還是解答過程，幾乎一模一樣！實際上，上面的高考題及揚州市的模擬題，均改編于《新課標高中數學競賽通用教材（高二分冊）》（浙江大學出版社，2013年7月底第3版）上的一道訓練題，原題如下：“已知圓O：x2+y2=1和二次函數曲線y=x2-2上三個不同的點P，Q，R，如果直線PQ和PR都與圓O相切，求證：直線QR也與圓O相切（見該書第73頁第13題）.”

[?] 注重教學融合

毋庸置疑，地方卷與全國卷中的解析幾何題存在著一定的區別：全國卷中對圓的要求有所降低;解答題中不僅以橢圓與圓為載體進行考查，也出現了更多以拋物線為載體的問題;全國卷中對軌跡與方程的考查要求有所提高. 但通過前面的分析，我們也發現，全國卷與地方卷的解析幾何題也有眾多的相似甚至相同之處：一是考查的內容，主要考查曲線與方程、離心率、長度、面積、定點、定值、最值等;二是考查的能力，地方卷及全國卷對學生的運算求解能力要求都較高，突出考查解析法在解題中的運用. 因此，在今后的教學中，我們不僅要了解地方卷與全國卷的區別所在，及時調整教學策略，更要清楚兩者之間存在著密切的聯系，注重在以下幾方面進行教學融合：

（1）注重靈活選擇算理和算法. 高考對運算求解能力的考查不僅在于學生的計算，更在于學生對算理和算法的選擇，所以教師在課堂教學中，必須教會學生設計合理、簡捷的算法，以減少運算量，避免陷入“死算”. 例如：涉及直線與圓錐曲線相交的問題時，通過消元，在得到關于x（或y）的方程后，這時為了減少運算量，往往不直接求出方程的根，而是巧妙運用韋達定理，設而不求、整體求解;又如：文章中的第一例，通過構造齊次式，再進行換元，以達到消參的目的.

（2）注重函數與方程、數形結合、不等式等思想方法的應用. 例如：求范圍或最值時，要善于利用函數思想或基本不等式來解決;又如：在處理解析幾何問題時，要將數與形緊密地結合起來. 實際上，對于某些問題，如果一味地用代數求解，有時會導致運算過于煩瑣;相反，若能充分利用圖形的幾何性質和圓錐曲線的定義，往往會使運算量大大減少、解法更加優化.

（3）注重培育學生解題運算的非智力因素. 培養學生的運算求解能力，當然需要學生在課外加強演練. 但作為教師，在平時的課堂教學中，在傳授知識與方法的同時，更應舍得花時間，注重培育學生解題的非智力因素，諸如細心、耐心、靜心等，使學生在碰到較復雜的運算時，能冷靜分析、精準計算.

（4）注重解題后的回顧與反思. 在每題的解題任務完成后，培養學生反思與回顧的習慣，可以讓學生想一想：算理與算法的選擇是否合理？能否優化運算過程？有無其他優解？長此以往，學生的運算求解能力必將得到進一步提高！